Question 105Asked in BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)

For α ∈ ℝ, let ⌊α⌋ denote the greatest integer smaller than or equal to α. Define d : ℝ × ℝ → [0, ∞) byα ∈ ℝ के लिए मान लीजिए ⌊α⌋ α से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। d : ℝ × ℝ → [0, ∞) को

For α ∈ ℝ, let ⌊α⌋ denote the greatest integer smaller than or equal to α. Define d : ℝ × ℝ → [0, ∞) by d(x, y) = ⌊|x − y|⌋, x, y ∈ ℝ Then which of the following is true?

α ∈ ℝ के लिए मान लीजिए ⌊α⌋ α से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। d : ℝ × ℝ → [0, ∞) को d(x, y) = ⌊|x − y|⌋, x, y ∈ ℝ द्वारा परिभाषित करें, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?

Ad(x, y) = 0 if and only if x = y, x, y ∈ ℝd(x, y) = 0 यदि और केवल यदि x = y, x, y ∈ ℝ
Bd(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝd(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝ
Cd(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), x, y, z ∈ ℝd(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), x, y, z ∈ ℝ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं

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Correct answer: (B) d(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝd(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝ

Explanation

|x − y| = |y − x|, so d is symmetric. (A) fails since d(0, 0.5) = 0, and (C) fails for x = 0, z = 0.6, y = 1.2, where d(x, y) = 1 but d(x, z) + d(z, y) = 0.|x − y| = |y − x| होने से d सममित है। (A) असत्य है क्योंकि d(0, 0.5) = 0 है, और (C) x = 0, z = 0.6, y = 1.2 के लिए असत्य है जहाँ d(x, y) = 1 पर d(x, z) + d(z, y) = 0 है।

From BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) — Previous Year Paper