BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) — Previous Year Paper
All 150 questions of BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) — Previous Year Paper with the correct answer from the official answer key and a solution, in English and Hindi. Read them free on UTpaper, or attempt the paper as a timed online test.
Q1BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
Direction (Q. Nos. 1 to 5) : Read the passage given below and choose the correct answer for the questions that follow :
A lion lived in a jungle and he killed many animals everyday for his meal. All the animals of the jungle were worried about this and they go to the lion to discuss the issue. The lion agreed not to kill the animals if one animal was sent to him everyday for his meal. This goes on for many days. One day, a rabbit goes to the lion. The rabbit sees an old well and it makes a plan to kill the lion. He tells the lion that there is another lion in the well who is stronger and more powerful. The lion then asks the rabbit to take him to meet the lion in the well. the lion jumps into the well to see where the other lion lives. The lion mistakes his own reflection in the water and takes it for the other lion and dies.
Who were worried?
ALion
BAll the animals
CAll the birds
DMore than one of the above
ENone of the above
Show answerHide answer
Correct answer: (B) All the animals
Explanation
The passage says all the animals of the jungle were worried about the lion killing many animals daily.
Q2BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
Direction (Q. Nos. 1 to 5) : Read the passage given below and choose the correct answer for the questions that follow :
A lion lived in a jungle and he killed many animals everyday for his meal. All the animals of the jungle were worried about this and they go to the lion to discuss the issue. The lion agreed not to kill the animals if one animal was sent to him everyday for his meal. This goes on for many days. One day, a rabbit goes to the lion. The rabbit sees an old well and it makes a plan to kill the lion. He tells the lion that there is another lion in the well who is stronger and more powerful. The lion then asks the rabbit to take him to meet the lion in the well. the lion jumps into the well to see where the other lion lives. The lion mistakes his own reflection in the water and takes it for the other lion and dies.
Who makes a plan to kill the lion?
AAll the animals
BThe lion in the well
CRabbit
DMore than one of the above
ENone of the above
Show answerHide answer
Correct answer: (C) Rabbit
Explanation
The rabbit sees an old well and makes a plan to kill the lion.
Q3BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
Direction (Q. Nos. 1 to 5) : Read the passage given below and choose the correct answer for the questions that follow :
A lion lived in a jungle and he killed many animals everyday for his meal. All the animals of the jungle were worried about this and they go to the lion to discuss the issue. The lion agreed not to kill the animals if one animal was sent to him everyday for his meal. This goes on for many days. One day, a rabbit goes to the lion. The rabbit sees an old well and it makes a plan to kill the lion. He tells the lion that there is another lion in the well who is stronger and more powerful. The lion then asks the rabbit to take him to meet the lion in the well. the lion jumps into the well to see where the other lion lives. The lion mistakes his own reflection in the water and takes it for the other lion and dies.
Who is more strong and powerful?
AAll the animals
BThe lion
CThe rabbit
DMore than one of the above
ENone of the above
Show answerHide answer
Correct answer: (E) None of the above
Explanation
The passage never says that any of the listed choices is the stronger one; the 'stronger lion' exists only in the rabbit's story. The official key is None of the above.
Q4BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
Direction (Q. Nos. 1 to 5) : Read the passage given below and choose the correct answer for the questions that follow :
A lion lived in a jungle and he killed many animals everyday for his meal. All the animals of the jungle were worried about this and they go to the lion to discuss the issue. The lion agreed not to kill the animals if one animal was sent to him everyday for his meal. This goes on for many days. One day, a rabbit goes to the lion. The rabbit sees an old well and it makes a plan to kill the lion. He tells the lion that there is another lion in the well who is stronger and more powerful. The lion then asks the rabbit to take him to meet the lion in the well. the lion jumps into the well to see where the other lion lives. The lion mistakes his own reflection in the water and takes it for the other lion and dies.
What does the lion see in the well?
AAnother lion
BIts own reflection
CThe rabbit
DMore than one of the above
ENone of the above
Show answerHide answer
Correct answer: (B) Its own reflection
Explanation
The lion mistakes his own reflection in the water for another lion, so he sees his own reflection.
Q5BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
Direction (Q. Nos. 1 to 5) : Read the passage given below and choose the correct answer for the questions that follow :
A lion lived in a jungle and he killed many animals everyday for his meal. All the animals of the jungle were worried about this and they go to the lion to discuss the issue. The lion agreed not to kill the animals if one animal was sent to him everyday for his meal. This goes on for many days. One day, a rabbit goes to the lion. The rabbit sees an old well and it makes a plan to kill the lion. He tells the lion that there is another lion in the well who is stronger and more powerful. The lion then asks the rabbit to take him to meet the lion in the well. the lion jumps into the well to see where the other lion lives. The lion mistakes his own reflection in the water and takes it for the other lion and dies.
What do you learn from this story?
ATo kill animals
BWisdom is more strong
CSmall rabbit cannot win a lion
DMore than one of the above
ENone of the above
Show answerHide answer
Correct answer: (B) Wisdom is more strong
Explanation
The small rabbit defeats the big lion by cleverness, so the lesson is that wisdom is stronger than strength.
Q6BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
Direction (Q. Nos. 6 and 7) : Choose the most appropriate prepositions in the following sentences :
Take the curtain _____ their hooks.
Afrom
Bfor
Cbehind
DMore than one of the above
ENone of the above
Show answerHide answer
Correct answer: (E) None of the above
Explanation
The natural phrase is 'Take the curtain off their hooks'; none of from, for or behind fits, so the answer is None of the above.
Q7BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
Direction (Q. Nos. 6 and 7) : Choose the most appropriate prepositions in the following sentences :
In compliance _____ the office order.
Awith
Bof
Cfor
DMore than one of the above
ENone of the above
Show answerHide answer
Correct answer: (A) with
Explanation
The fixed phrase is 'in compliance with'.
Q8BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
Paternal family belongs to _____ side.
Afather
Bmother
Cgrandson
DMore than one of the above
ENone of the above
Show answerHide answer
Correct answer: (A) father
Explanation
'Paternal' means relating to the father, so the paternal family belongs to the father's side.
Q9BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 9 से 12 तक) : निम्नलिखित प्रत्येक वाक्य में एक शब्द रेखांकित है। इनमें से रेखांकित शब्द के लिए, अर्थ की दृष्टि से, उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
तुम्हारा अगला (रेखांकित शब्द: अगला) कदम क्या होगा?
Aअग्र
Bपुरस्तात
Cअचल
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
'अगला' के पर्याय अग्र और पुरस्तात दोनों हैं, इसलिए एक से अधिक विकल्प सही हैं।
Q10BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 9 से 12 तक) : निम्नलिखित प्रत्येक वाक्य में एक शब्द रेखांकित है। इनमें से रेखांकित शब्द के लिए, अर्थ की दृष्टि से, उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
इस वर्ष अनाज (रेखांकित शब्द: अनाज) का भरपूर उत्पादन हुआ।
Aअनुपम
Bअन्न
Cचोखा
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B) अन्न
Explanation
'अनाज' का पर्यायवाची अन्न है।
Q11BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 9 से 12 तक) : निम्नलिखित प्रत्येक वाक्य में एक शब्द रेखांकित है। इनमें से रेखांकित शब्द के लिए, अर्थ की दृष्टि से, उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
वैदिक काल में सर्वश्रेष्ठ देवता इंद्र (रेखांकित शब्द: इंद्र) थे।
Aशक्र
Bअमरपति
Cकाम्य
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
इंद्र के पर्याय शक्र और अमरपति दोनों हैं, इसलिए एक से अधिक विकल्प सही हैं।
Q12BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 9 से 12 तक) : निम्नलिखित प्रत्येक वाक्य में एक शब्द रेखांकित है। इनमें से रेखांकित शब्द के लिए, अर्थ की दृष्टि से, उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
वृक्ष धरा (रेखांकित शब्द: धरा) के आभूषण हैं।
Aधन्वी
Bमाया
Cधारा
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
धरा का अर्थ पृथ्वी है; दिए गए तीनों विकल्प (धन्वी, माया, धारा) इसके पर्याय नहीं हैं, इसलिए सही उत्तर 'कोई नहीं' है।
Q13BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 13 से 16 तक) : निम्नलिखित शब्दों में से उपसर्ग छाँटकर सही विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
अधिकार
Aअधि
Bकार
Cअ
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A) अधि
Explanation
'अधिकार' में 'अधि' उपसर्ग है और 'कार' मूल शब्द।
Q14BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 13 से 16 तक) : निम्नलिखित शब्दों में से उपसर्ग छाँटकर सही विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
अनुदान
Aअन्
Bअन
Cदान
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
'अनुदान' में उपसर्ग 'अनु' है, जो दिए गए विकल्पों में नहीं है; इसलिए उत्तर 'कोई नहीं' है।
Q15BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 13 से 16 तक) : निम्नलिखित शब्दों में से उपसर्ग छाँटकर सही विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
आत्मगौरव
Aआत्म
Bआ
Cगौरव
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A) आत्म
Explanation
आधिकारिक कुंजी के अनुसार 'आत्म' को उपसर्ग माना गया है (आत्म- जैसे आत्मगौरव, आत्मसम्मान में शब्द के आरंभ में जुड़ता है)।
Q16BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 13 से 16 तक) : निम्नलिखित शब्दों में से उपसर्ग छाँटकर सही विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
उत्कृष्ट
Aकृ
Bउत्
Cकृष्ट
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B) उत्
Explanation
'उत्कृष्ट' = उत् (उपसर्ग) + कृष्ट।
Q17BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 17 से 20 तक) : निम्नलिखित शब्दों में कौन-सा समास है? सही विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
यथाशीघ्र
Aकर्मधारय
Bअव्ययीभाव
Cतत्पुरुष
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B) अव्ययीभाव
Explanation
'यथा' से बना शब्द अव्ययीभाव समास है, जिसका पहला पद अव्यय होता है।
Q18BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 17 से 20 तक) : निम्नलिखित शब्दों में कौन-सा समास है? सही विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
गगनचुम्बी
Aतत्पुरुष
Bद्वंद्व
Cबहुव्रीहि
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A) तत्पुरुष
Explanation
'गगन को चूमने वाला' - द्वितीया विभक्ति का लोप, इसलिए तत्पुरुष समास।
Q19BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 17 से 20 तक) : निम्नलिखित शब्दों में कौन-सा समास है? सही विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
नियमानुसार
Aतत्पुरुष
Bबहुव्रीहि
Cद्वंद्व
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
'नियम के अनुसार' अव्ययीभाव समास है, जो विकल्पों में नहीं है; इसलिए उत्तर 'कोई नहीं' है।
Q20BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 17 से 20 तक) : निम्नलिखित शब्दों में कौन-सा समास है? सही विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
पीताम्बर
Aद्वंद्व
Bबहुव्रीहि
Cकर्मधारय
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
पीताम्बर का विग्रह 'पीला है जो अम्बर' (कर्मधारय) और 'पीला है अम्बर जिसका अर्थात विष्णु' (बहुव्रीहि) दोनों हो सकता है, इसलिए एक से अधिक विकल्प सही हैं।
Q21BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 21 से 23 तक) : दिए गए वाक्य के लिए शुद्ध वाक्य चुनिए तथा उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
मैं सायंकाल के समय घूमने जाता हूँ।
Aमैं सायंकाल को घूमने जाता हूँ।
Bमैं सायंकाल घूमने जाता हूँ।
Cमैं घूमने जाता हूँ, सायंकाल के समय।
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B) मैं सायंकाल घूमने जाता हूँ।
Explanation
'के समय' और 'सायंकाल' दोनों का एक ही अर्थ है, इसलिए शुद्ध वाक्य 'मैं सायंकाल घूमने जाता हूँ' है।
Q22BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 21 से 23 तक) : दिए गए वाक्य के लिए शुद्ध वाक्य चुनिए तथा उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
गंगा पतित पावन नदी है।
Aगंगा पतित पावनी नदी है।
Bगंगा पतित पावनी है।
Cगंगा पतित पावन है।
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A) गंगा पतित पावनी नदी है।
Explanation
स्त्रीलिंग 'गंगा' के साथ विशेषण 'पतितपावनी' आता है, इसलिए 'गंगा पतित पावनी नदी है' शुद्ध है।
Q23BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 21 से 23 तक) : दिए गए वाक्य के लिए शुद्ध वाक्य चुनिए तथा उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
आज कृष्ण जन्माष्टमी की छठी मनाई जाएगी।
Aआज मनाई जाएगी कृष्ण जन्माष्टमी की छठी।
Bआज जन्माष्टमी की छठी मनाई जाएगी।
Cआज छठी कृष्ण जन्माष्टमी की मनाई जाएगी।
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
'कृष्ण जन्माष्टमी' के बाद 'छठी' नहीं होती; मूल वाक्य और विकल्प दोनों में दोष है, इसलिए आधिकारिक उत्तर 'कोई नहीं' है।
Q24BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 24 से 26 तक) : निम्नलिखित वाक्य या वाक्यांश के लिए उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
जिसकी कल्पना न की जा सके
Aअकल्पनीय
Bकल्पनातीत
Cअकल्पित
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
'जिसकी कल्पना न की जा सके' के लिए अकल्पनीय और कल्पनातीत दोनों सही हैं।
Q25BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 24 से 26 तक) : निम्नलिखित वाक्य या वाक्यांश के लिए उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
जिसे प्राप्त करना बहुत कठिन हो
Aदुर्गम
Bऊर्ध्वगामी
Cऊर्ध्वबाहु
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
इस वाक्यांश के लिए शब्द 'दुर्लभ' है, जो विकल्पों में नहीं है; दुर्गम का अर्थ है 'जहाँ पहुँचना कठिन हो'।
Q26BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 24 से 26 तक) : निम्नलिखित वाक्य या वाक्यांश के लिए उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
जिस पर विश्वास किया जा सके
Aविश्वसनीय
Bअविश्वसनीय
Cविश्वासी
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A) विश्वसनीय
Explanation
जिस पर विश्वास किया जा सके उसे 'विश्वसनीय' कहते हैं।
Q27BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 27 से 30 तक) : निम्नलिखित अवतरण को ध्यानपूर्वक पढ़िए और पूछे गए प्रश्नों के लिए उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
राष्ट्रीय चेतना का प्रवाह अविराम गति से बहता रहता है। जिस प्रकार हिमालय से निकलने वाली गंगा अनेक मार्ग और रूप ग्रहण करती है तथा भारत के लोगों की आध्यात्मिक और भौतिक आवश्यकताओं को पूरा करती है। उसी प्रकार हिमालय की कन्दराओं में रहने वाले मनीषियों के विचार देशवासियों को अनेक रूपों में एकता का संदेश देने वाले प्रेरणास्रोत रहे हैं। गंगा एक है, किन्तु उसके नाम अनेक हैं। चाहे उसे देवनदी कहें या भागीरथी अथवा किसी अन्य नाम से पुकारें, वह है एक ही। उसका पवित्र जल लोगों को तृप्ति प्रदान करने वाली संजीवनी है। गंगा देश के विभिन्न स्थानों, विभिन्न वर्गों, जातियों, गाँवों और शहरों के निवासियों का माँ के समान पालन-पोषण करती है। अपनी जन्मभूमि के प्रति भी यही मातृत्व भावना भारतीयों की राष्ट्रीय चेतना का मूल आधार है।
‘मनीषियों’ शब्द से आशय है
Aव्यापारियों
Bउद्यमियों
Cविद्वानों
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C) विद्वानों
Explanation
मनीषी का अर्थ विद्वान या चिंतक है।
Q28BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 27 से 30 तक) : निम्नलिखित अवतरण को ध्यानपूर्वक पढ़िए और पूछे गए प्रश्नों के लिए उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
राष्ट्रीय चेतना का प्रवाह अविराम गति से बहता रहता है। जिस प्रकार हिमालय से निकलने वाली गंगा अनेक मार्ग और रूप ग्रहण करती है तथा भारत के लोगों की आध्यात्मिक और भौतिक आवश्यकताओं को पूरा करती है। उसी प्रकार हिमालय की कन्दराओं में रहने वाले मनीषियों के विचार देशवासियों को अनेक रूपों में एकता का संदेश देने वाले प्रेरणास्रोत रहे हैं। गंगा एक है, किन्तु उसके नाम अनेक हैं। चाहे उसे देवनदी कहें या भागीरथी अथवा किसी अन्य नाम से पुकारें, वह है एक ही। उसका पवित्र जल लोगों को तृप्ति प्रदान करने वाली संजीवनी है। गंगा देश के विभिन्न स्थानों, विभिन्न वर्गों, जातियों, गाँवों और शहरों के निवासियों का माँ के समान पालन-पोषण करती है। अपनी जन्मभूमि के प्रति भी यही मातृत्व भावना भारतीयों की राष्ट्रीय चेतना का मूल आधार है।
मनीषियों के विचार देशवासियों को क्या संदेश देते हैं?
Aएकता
Bभौतिकता
Cअकिंचनता
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A) एकता
Explanation
अवतरण के अनुसार मनीषियों के विचार देशवासियों को अनेक रूपों में एकता का संदेश देते हैं।
Q29BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 27 से 30 तक) : निम्नलिखित अवतरण को ध्यानपूर्वक पढ़िए और पूछे गए प्रश्नों के लिए उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
राष्ट्रीय चेतना का प्रवाह अविराम गति से बहता रहता है। जिस प्रकार हिमालय से निकलने वाली गंगा अनेक मार्ग और रूप ग्रहण करती है तथा भारत के लोगों की आध्यात्मिक और भौतिक आवश्यकताओं को पूरा करती है। उसी प्रकार हिमालय की कन्दराओं में रहने वाले मनीषियों के विचार देशवासियों को अनेक रूपों में एकता का संदेश देने वाले प्रेरणास्रोत रहे हैं। गंगा एक है, किन्तु उसके नाम अनेक हैं। चाहे उसे देवनदी कहें या भागीरथी अथवा किसी अन्य नाम से पुकारें, वह है एक ही। उसका पवित्र जल लोगों को तृप्ति प्रदान करने वाली संजीवनी है। गंगा देश के विभिन्न स्थानों, विभिन्न वर्गों, जातियों, गाँवों और शहरों के निवासियों का माँ के समान पालन-पोषण करती है। अपनी जन्मभूमि के प्रति भी यही मातृत्व भावना भारतीयों की राष्ट्रीय चेतना का मूल आधार है।
राष्ट्रीय चेतना का मूल आधार है
Aजन्मभूमि के प्रति मातृत्व की भावना
Bलोगों की भौतिक आवश्यकताएँ
Cसांसारिक सुख
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A) जन्मभूमि के प्रति मातृत्व की भावना
Explanation
अंतिम पंक्ति में कहा गया है कि जन्मभूमि के प्रति मातृत्व भावना ही राष्ट्रीय चेतना का मूल आधार है।
Q30BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · Language
निर्देश (प्रश्न संख्या 27 से 30 तक) : निम्नलिखित अवतरण को ध्यानपूर्वक पढ़िए और पूछे गए प्रश्नों के लिए उपयुक्त विकल्प चुनकर उत्तर-पत्रक में चिह्नित कीजिए।
राष्ट्रीय चेतना का प्रवाह अविराम गति से बहता रहता है। जिस प्रकार हिमालय से निकलने वाली गंगा अनेक मार्ग और रूप ग्रहण करती है तथा भारत के लोगों की आध्यात्मिक और भौतिक आवश्यकताओं को पूरा करती है। उसी प्रकार हिमालय की कन्दराओं में रहने वाले मनीषियों के विचार देशवासियों को अनेक रूपों में एकता का संदेश देने वाले प्रेरणास्रोत रहे हैं। गंगा एक है, किन्तु उसके नाम अनेक हैं। चाहे उसे देवनदी कहें या भागीरथी अथवा किसी अन्य नाम से पुकारें, वह है एक ही। उसका पवित्र जल लोगों को तृप्ति प्रदान करने वाली संजीवनी है। गंगा देश के विभिन्न स्थानों, विभिन्न वर्गों, जातियों, गाँवों और शहरों के निवासियों का माँ के समान पालन-पोषण करती है। अपनी जन्मभूमि के प्रति भी यही मातृत्व भावना भारतीयों की राष्ट्रीय चेतना का मूल आधार है।
उपर्युक्त अवतरण का उपयुक्त शीर्षक हो सकता है
Aलोगों की शारीरिक आवश्यकताएँ
Bराष्ट्रीय चेतना
Cदेशवासियों का पालन-पोषण
Dउपर्युक्त में से एक से अधिक
Eउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B) राष्ट्रीय चेतना
Explanation
पूरा अवतरण राष्ट्रीय चेतना के प्रवाह और उसके आधार की बात करता है, इसलिए उपयुक्त शीर्षक 'राष्ट्रीय चेतना' है।
General Studies 40 questions
Q31BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Given 168 × 32 = 5376, then 5·376 ÷ 16·8 is equal toदिया गया है 168 × 32 = 5376, तो 5·376 ÷ 16·8 बराबर है
A0·0320·032
B0·320·32
C3·23·2
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)0·320·32
Explanation
5·376 = 5376/1000 and 16·8 = 168/10, so the ratio is (5376 ÷ 168)/100 = 32/100 = 0·32.5·376 = 5376/1000 और 16·8 = 168/10, अतः अनुपात (5376 ÷ 168)/100 = 32/100 = 0·32।
Q32BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Which one of the following numbers has rational square root?निम्नलिखित में से किस संख्या का परिमेय वर्गमूल है?
A0·40·4
B0·090·09
C0·90·9
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)0·090·09
Explanation
√0·09 = 0·3, which is rational; 0·4 and 0·9 are 4/10 and 9/10, whose square roots are irrational (√0·9 = 3/√10, √0·4 is irrational).√0·09 = 0·3 परिमेय है; 0·4 और 0·9 के वर्गमूल अपरिमेय हैं।
Q33BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
If 5^(x + 3) = 25^(3x − 4), then the value of x isयदि 5^(x + 3) = 25^(3x − 4), तो x का मान है
A5/115/11
B11/511/5
C11/311/3
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)11/511/5
Explanation
25^(3x − 4) = 5^(6x − 8), so x + 3 = 6x − 8, giving 5x = 11 and x = 11/5.25^(3x − 4) = 5^(6x − 8), अतः x + 3 = 6x − 8, यानी 5x = 11 और x = 11/5।
Q34BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
In a college, the ratio of the number of boys to girls is 8 : 5. If there are 160 girls, the total number of students in the college isएक कॉलेज में लड़के और लड़कियों की संख्या का अनुपात 8 : 5 है। यदि 160 लड़कियाँ हैं, तो कॉलेज में छात्रों की कुल संख्या है
A250250
B100100
C416416
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)416416
Explanation
One part = 160/5 = 32, so boys = 8 × 32 = 256 and the total is 256 + 160 = 416.एक भाग = 160/5 = 32, अतः लड़के = 8 × 32 = 256 और कुल 256 + 160 = 416।
Q35BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
How long will it take a sum of money invested at 5% p.a. simple interest to increase its value by 40%?5% वार्षिक साधारण ब्याज पर निवेश की गई राशि को अपने मूल्य में 40% की वृद्धि करने में कितना समय लगेगा?
A8 years8 वर्ष
B5 years5 वर्ष
C7 years7 वर्ष
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)8 years8 वर्ष
Explanation
The interest must be 40% of the principal, so 5% × t = 40% and t = 8 years.ब्याज मूलधन का 40% होना चाहिए, अतः 5% × t = 40% और t = 8 वर्ष।
Q36BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
The ratio of women and men employees of an organization is 5 : 7. If the number of women employees is 50 less than the men employees, then the number of women and men employees, respectively, areएक संस्था में महिला और पुरुष कर्मचारियों की संख्याओं का अनुपात 5 : 7 है। यदि महिला कर्मचारियों की संख्या पुरुष कर्मचारियों की संख्या से 50 कम है, तो महिला और पुरुष कर्मचारियों की संख्याएँ क्रमशः हैं
A125, 175125, 175
B150, 200150, 200
C135, 185135, 185
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)125, 175125, 175
Explanation
The difference 7k − 5k = 2k = 50 gives k = 25, so women = 125 and men = 175.अंतर 7k − 5k = 2k = 50 से k = 25, अतः महिलाएँ = 125 और पुरुष = 175।
Q37BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Which of the following statements is true?निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
AEvery rational number is an integer.प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णांक होती है।
BEvery natural number is a rational number.प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक परिमेय संख्या होती है।
CEvery whole number is a natural number.प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)Every natural number is a rational number.प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक परिमेय संख्या होती है।
Explanation
Every natural number n can be written as n/1, so it is rational. 1/2 is rational but not an integer, and 0 is a whole number but not natural.प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n को n/1 लिखा जा सकता है, अतः वह परिमेय है। 1/2 परिमेय है पर पूर्णांक नहीं, और 0 पूर्ण संख्या है पर प्राकृतिक नहीं।
Q38BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
If the sum of the cubes of first n natural numbers is 2025, then what is the value of n?यदि प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योगफल 2025 है, तो n का मान क्या है?
A77
B1212
C99
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)99
Explanation
The sum of cubes is [n(n + 1)/2]² = 2025, so n(n + 1)/2 = 45, i.e. n(n + 1) = 90 and n = 9.घनों का योग [n(n + 1)/2]² = 2025, अतः n(n + 1)/2 = 45, यानी n(n + 1) = 90 और n = 9।
Q39BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
The speed of an electron in the orbit of the hydrogen atom in the ground state isमूल अवस्था में, हाइड्रोजन परमाणु की कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की चाल होती है
Ac/1·37c/1·37
Bc/1370c/1370
Cc/137c/137
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)c/137c/137
Explanation
In Bohr's model v = αc, where the fine-structure constant α ≈ 1/137, so v = c/137.बोर मॉडल में v = αc, जहाँ सूक्ष्म संरचना स्थिरांक α ≈ 1/137, अतः v = c/137।
Q40BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
The aqueous solution whose pH is zero will beजलीय विलयन, जिसका pH शून्य है, होगा
Aacidicअम्लीय
Bamphotericउभयधर्मी
Calkalineक्षारीय
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)acidicअम्लीय
Explanation
A pH below 7 means an acidic solution, and pH 0 is strongly acidic.pH 7 से कम अम्लीय विलयन को दर्शाता है और pH 0 अत्यंत अम्लीय है।
Q41BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Which of the following interactions is weakest?निम्नलिखित में से कौन-सी अन्योन्यक्रिया सबसे क्षीण है?
AElectromagneticवैद्युत्-चुम्बकीय
BElectrostaticस्थिर-वैद्युत्
CGravitationalगुरुत्वीय
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)Gravitationalगुरुत्वीय
Explanation
Gravity is by far the weakest of the fundamental interactions, about 10³⁶ times weaker than the electromagnetic force.मूल अन्योन्यक्रियाओं में गुरुत्व सबसे क्षीण है, यह विद्युत-चुम्बकीय बल से लगभग 10³⁶ गुना कमजोर है।
Q42BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Which of the following is an insectivorous plant?निम्नलिखित में से कौन कीटाहारी पौधा है?
ACuscutaकस्कुटा (अमरबेल)
BOrobancheओरोबंकी (आग्या)
CDroseraड्रॉसेरा
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)Droseraड्रॉसेरा
Explanation
Drosera (sundew) traps and digests insects. Cuscuta and Orobanche are parasitic plants.ड्रॉसेरा (सनड्यू) कीटों को पकड़कर पचाता है। कस्कुटा और ओरोबंकी परजीवी पौधे हैं।
Q43BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Endolymph is a fluid present inएंडोलिम्फ नामक तरल पदार्थ किसमें होता है?
AAscarisऐस्केरिस में
Beyeआँख में
Cinternal earआन्तरिक कर्ण में
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)internal earआन्तरिक कर्ण में
Explanation
Endolymph fills the membranous labyrinth of the internal ear.एंडोलिम्फ आन्तरिक कर्ण की झिल्लीमय लैबिरिंथ में भरा रहता है।
Q44BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
At what temperature, a ferromagnetic material becomes paramagnetic?किस तापमान पर लौहचुम्बकीय पदार्थ अनुचुम्बकीय बन जाता है?
AMelting temperatureगलन तापमान
BCurie temperatureक्यूरी तापमान
CNéel temperatureनील तापमान
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)Curie temperatureक्यूरी तापमान
Explanation
Above the Curie temperature a ferromagnet loses its spontaneous magnetisation and behaves paramagnetically.क्यूरी तापमान से ऊपर लौहचुम्बकीय पदार्थ की स्वतः चुम्बकता समाप्त हो जाती है और वह अनुचुम्बकीय हो जाता है।
Q45BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Which of the following is a positively charged particle emitted by a radioactive element?रेडियोधर्मी तत्त्व द्वारा उत्सर्जित निम्नलिखित में से कौन-सा एक धनात्मक रूप से आवेशित कण है?
ABeta rayबीटा किरण
BAlpha rayअल्फा किरण
CCathode rayकैथोड किरण
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)Alpha rayअल्फा किरण
Explanation
Alpha particles are helium nuclei and carry a positive charge; cathode rays are electrons.अल्फा कण हीलियम नाभिक हैं और धनावेशित होते हैं; कैथोड किरणें इलेक्ट्रॉन हैं।
Q46BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Stomata are tiny pores on the surface of leaves through which plants take inस्टोमेटा पत्तियों की सतह पर छोटे-छोटे छिद्र होते हैं, जिनके द्वारा पौधे ग्रहण करते हैं
Anitrogenनाइट्रोजन
Bcarbon dioxideकार्बन डाइऑक्साइड
Cwaterपानी
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
The official key gives 14 February 2020 (Valentine's Day) as the launch date of the campaign.आधिकारिक कुंजी के अनुसार अभियान 14 फरवरी 2020 (वैलेंटाइन डे) को शुरू किया गया था।
Q52BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Which district of Bihar has the lowest literacy rate?बिहार के किस जिले की साक्षरता दर सबसे कम है?
AArariaअररिया
BPurniaपूर्णिया
CNawadaनवादा
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)Purniaपूर्णिया
Explanation
Among the options, Purnia has the lowest literacy rate (about 51% in Census 2011); the official key is (B).विकल्पों में पूर्णिया की साक्षरता दर सबसे कम (जनगणना 2011 में लगभग 51%) है; आधिकारिक कुंजी (B) है।
Q53BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
What was the distance covered in Javelin throw by Neeraj Chopra in Tokyo Olympics?नीरज चोपड़ा ने टोक्यो ओलंपिक में भाला फेंक में कितनी दूरी तय की?
A87·58 metres87·58 मीटर
B87·85 metres87·85 मीटर
C88·38 metres88·38 मीटर
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)87·58 metres87·58 मीटर
Explanation
Neeraj Chopra won gold at Tokyo 2020 with a throw of 87·58 m.नीरज चोपड़ा ने टोक्यो 2020 में 87·58 मीटर के थ्रो से स्वर्ण पदक जीता।
Q54BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Who among the following is the Chairman of Cotton Council of India?निम्नलिखित में से कौन भारतीय कपास परिषद् के अध्यक्ष हैं?
AShyam Makhariaश्याम मखारिया
BSuresh Amritlal Kotakसुरेश अमृतलाल कोटक
CKishore Miraniकिशोर मिरानी
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Suresh Amritlal Kotak is the Chairman of the Cotton Council of India (the official key is B).सुरेश अमृतलाल कोटक भारतीय कपास परिषद् के अध्यक्ष हैं (आधिकारिक कुंजी B)।
Q55BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Ganga Ka Maidan is full of which type of soil?गंगा का मैदान किस प्रकार की मिट्टी से भरा है?
ABlack soilकाली मिट्टी
BRed soilलाल मिट्टी
CAlluvium soilजलोढ़ मिट्टी
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)Alluvium soilजलोढ़ मिट्टी
Explanation
The Ganga plain is built from river-deposited alluvium.गंगा का मैदान नदियों द्वारा जमा की गई जलोढ़ मिट्टी से बना है।
Q56BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
What is the height of Someshwar peak of Bihar?बिहार के सोमेश्वर श्रेणी की ऊँचाई क्या है?
A875 metres875 मीटर
B850 metres850 मीटर
C825 metres825 मीटर
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)875 metres875 मीटर
Explanation
The Someshwar range in West Champaran rises to about 875 m.पश्चिमी चम्पारण की सोमेश्वर श्रेणी की ऊँचाई लगभग 875 मीटर है।
Q57BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Which of the following places has the highest rainfall in Bihar?बिहार में सर्वाधिक वर्षा कहाँ होती है?
APatnaपटना
BKishangarhकिशनगढ़
CMuzaffarpurमुजफ्फरपुर
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)Patnaपटना
Explanation
Note: the official key gives (A) Patna. Kishanganj is normally cited as Bihar's wettest district, but 'Kishangarh' as printed is not a Bihar district, so the key was kept.टिप्पणी: आधिकारिक कुंजी (A) पटना है। सामान्यतः किशनगंज को बिहार का सबसे अधिक वर्षा वाला जिला माना जाता है, पर छपा 'किशनगढ़' बिहार का जिला नहीं है, इसलिए कुंजी यथावत रखी गई है।
Q58BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Where does the Chenab River finally join the Indus River?चिनाब नदी अन्ततः सिन्ध नदी में कहाँ पर मिलती है?
AMithankotमिथनकोट
BTandiतांदी
CAhmedpur Sialअहमदपुर सियाल
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)Mithankotमिथनकोट
Explanation
After joining the Sutlej near Uch Sharif, the combined river meets the Indus at Mithankot.उच शरीफ के पास सतलुज से मिलने के बाद यह संयुक्त धारा मिथनकोट में सिन्धु से मिलती है।
Q59BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
The Melghat Tiger Reserve is associated withमेलघाट टाइगर रिज़र्व का संबंध किससे है?
AUttarakhandउत्तराखंड
BMaharashtraमहाराष्ट्र
CWest Bengalपश्चिम बंगाल
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)Maharashtraमहाराष्ट्र
Explanation
Melghat Tiger Reserve is in Amravati district, Maharashtra.मेलघाट टाइगर रिज़र्व महाराष्ट्र के अमरावती जिले में है।
Q60BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Barabar Hills are situated in the vicinity of which city of Bihar?बराबर की पहाड़ियाँ निम्नलिखित में से बिहार के किस शहर के सबसे समीप हैं?
AMakhdumpurमखदूमपुर
BMungerमुंगेर
CMadhubaniमधुबनी
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)Makhdumpurमखदूमपुर
Explanation
The Barabar Hills are in Jehanabad district, close to Makhdumpur.बराबर की पहाड़ियाँ जहानाबाद जिले में मखदूमपुर के समीप हैं।
Q61BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Arrange the following districts of Bihar from North to South :
1. Sheohar
2. Vaishali
3. Nalanda
4. Nawada
Select the correct answer using the codes given below.बिहार के निम्नलिखित जिलों को उत्तर से दक्षिण दिशा में व्यवस्थित करें :
1. शिवहर
2. वैशाली
3. नालन्दा
4. नवादा
नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर सही उत्तर चुनिए।
A3, 2, 1, 43, 2, 1, 4
B1, 2, 3, 41, 2, 3, 4
C2, 3, 1, 42, 3, 1, 4
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)1, 2, 3, 41, 2, 3, 4
Explanation
Sheohar lies north of the Ganga, Vaishali is just north of Patna, Nalanda is south of Patna and Nawada is further south, giving 1, 2, 3, 4.शिवहर गंगा के उत्तर में, वैशाली पटना के ठीक उत्तर में, नालंदा पटना के दक्षिण में और नवादा उससे भी दक्षिण में है, अतः क्रम 1, 2, 3, 4।
Q62BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Tribeni Canal in West Champaran obtains its water supply fromत्रिवेणी नहर, पश्चिमी चम्पारण में किस स्थान से पानी की आपूर्ति लेती है?
ABhainsa Lotanभैंसा लोटन
BKhaira Tolaखैरा टोला
CThakrahanथकराण
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)Bhainsa Lotanभैंसा लोटन
Explanation
The Triveni canal takes off from the Gandak river at Bhainsa Lotan (Valmiki Nagar area); the official key is (A).त्रिवेणी नहर गंडक नदी से भैंसा लोटन (वाल्मीकि नगर क्षेत्र) में निकलती है; आधिकारिक कुंजी (A) है।
Q63BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
In which year was the 'Madras Mahajan Sabha' formed?'मद्रास महाजन सभा' की स्थापना किस वर्ष हुई थी?
A18791879
B18811881
C18831883
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
The Madras Mahajan Sabha was formed in 1884, which is not among the options 1879, 1881 and 1883.मद्रास महाजन सभा की स्थापना 1884 में हुई थी, जो विकल्पों 1879, 1881 और 1883 में नहीं है।
Q64BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Who began the 'Self-Respect Movement' in India?भारत में 'सेल्फ-रिस्पेक्ट मूवमेन्ट' किसने प्रारम्भ किया था?
AJyotiba Phuleज्योतिबा फुले
BNarayan Swamiनारायण स्वामी
CB. R. Ambedkarबी॰ आर॰ अम्बेडकर
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
The Self-Respect Movement was started in 1925 by E. V. Ramasamy 'Periyar', who is not among the options.आत्म-सम्मान आंदोलन 1925 में ई. वी. रामासामी 'पेरियार' ने शुरू किया था, जो विकल्पों में नहीं हैं।
Q65BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Who formulated the powerful slogan 'India for Indians' ?'इंडिया फॉर इंडियन्स' प्रसिद्ध नारा किसने दिया था?
ARaja Ram Mohan Royराजा राम मोहन राय
BSwami Dayananda Saraswatiस्वामी दयानंद सरस्वती
CSwami Vivekanandaस्वामी विवेकानन्द
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
The slogan 'India for Indians' is credited to Swami Dayananda Saraswati.'इंडिया फॉर इंडियन्स' का नारा स्वामी दयानंद सरस्वती से जोड़ा जाता है।
Q66BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
In which year did 'All India Muslim League' table the demand of Separate Pakistan?'ऑल इंडिया मुस्लिम लीग' ने किस वर्ष अलग पाकिस्तान की माँग का प्रस्ताव रखा था?
A22 December, 193922 दिसम्बर, 1939
B23 March, 194023 मार्च, 1940
C8 August, 19408 अगस्त, 1940
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)23 March, 194023 मार्च, 1940
Explanation
The Lahore Resolution demanding separate Muslim-majority states was passed on 23 March 1940.अलग मुस्लिम-बहुल राज्यों की माँग वाला लाहौर प्रस्ताव 23 मार्च 1940 को पारित हुआ।
Q67BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Who formed a Congress Ministry in Bihar as Premier on 20 July, 1937?20 जुलाई, 1937 को बिहार में काँग्रेस मंत्रिमण्डल का गठन प्रीमियर के रूप में किसने किया था?
AProf. Abdul Bariप्रो॰ अब्दुल बारी
BAnugrah Narayan Sinhaअनुग्रह नारायण सिन्हा
CShri Krishna Sinhaश्रीकृष्ण सिन्हा
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Shri Krishna Sinha became Premier of Bihar and formed the Congress ministry on 20 July 1937.श्रीकृष्ण सिन्हा 20 जुलाई 1937 को बिहार के प्रीमियर बने और काँग्रेस मंत्रिमण्डल का गठन किया।
Q68BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
With which of the following places is Babu Kunwar Singh associated?बाबू कुँवर सिंह निम्नलिखित में से किस स्थान से सम्बन्धित हैं?
AArrahआरा
BBhagalpurभागलपुर
CPatnaपटना
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
Babu Kunwar Singh, the hero of 1857 from Jagdishpur, is associated with Arrah; the official key marks 'more than one of the above' (D).1857 के नायक बाबू कुँवर सिंह जगदीशपुर के थे और आरा से जुड़े हैं; आधिकारिक कुंजी 'उपर्युक्त में से एक से अधिक' (D) है।
Q69BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Who established the Arya Samaj?आर्य समाज की स्थापना किसने की थी?
ASwami Vivekanandaस्वामी विवेकानन्द
BSwami Dayananda Saraswatiस्वामी दयानंद सरस्वती
CAurobindo Ghoseअरबिन्द घोष
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Swami Dayananda Saraswati founded the Arya Samaj in Bombay in 1875.स्वामी दयानंद सरस्वती ने 1875 में बम्बई में आर्य समाज की स्थापना की।
Q70BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) · General Studies
Where was the First Session of the Indian National Congress held?भारतीय राष्ट्रीय काँग्रेस का पहला अधिवेशन कहाँ हुआ?
ACalcuttaकलकत्ता
BBombayबम्बई
CMadrasमद्रास
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)Bombayबम्बई
Explanation
The first session of the INC was held in Bombay in December 1885, under W. C. Bonnerjee.भारतीय राष्ट्रीय काँग्रेस का पहला अधिवेशन दिसम्बर 1885 में बम्बई में डब्ल्यू. सी. बनर्जी की अध्यक्षता में हुआ।
Mathematics 80 questions
Q71BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let D be a subset of real line. Consider the assertion: “Every infinite sequence in D has a subsequence which converges in D.” This assertion is true ifमान लीजिए D वास्तविक रेखा का एक उपसमुच्चय है। इस दावे पर विचार करें: “D में प्रत्येक अनंत अनुक्रम का एक उप-अनुक्रम होता है जो D में परिवर्तित होता है।” यह दावा सत्य है यदि
AD = [0, ∞)D = [0, ∞)
BD = [0, 1] ∪ [3, 4]D = [0, 1] ∪ [3, 4]
CD = [−1, 1) ∪ (1, 2]D = [−1, 1) ∪ (1, 2]
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
The assertion holds exactly when D is compact (Bolzano-Weierstrass). [0,1] ∪ [3,4] is closed and bounded, while [0,∞) is unbounded and [−1,1) ∪ (1,2] is not closed.यह दावा तभी सत्य है जब D संहत (बंद और परिबद्ध) हो। [0,1] ∪ [3,4] बंद और परिबद्ध है, जबकि [0,∞) परिबद्ध नहीं है और [−1,1) ∪ (1,2] बंद नहीं है।
Q72BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Evaluate:
lim (n→∞) ∑ (k = 0 to n) n / (k² + n²)मूल्यांकन करें:
lim (n→∞) ∑ (k = 0 से n) n / (k² + n²)
Aπ/2π/2
Bππ
Cπ/4π/4
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)π/4π/4
Explanation
Write the term as (1/n)·1/(1 + (k/n)²); the sum is a Riemann sum for ∫₀¹ dx/(1 + x²) = tan⁻¹(1) = π/4.पद को (1/n)·1/(1 + (k/n)²) के रूप में लिखने पर योग ∫₀¹ dx/(1 + x²) का रीमान योग है, जिसका मान tan⁻¹(1) = π/4 है।
Q73BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
If {xₙ} is a convergent sequence in ℝ and {yₙ} is a bounded sequence in ℝ, then we can conclude thatयदि {xₙ}, ℝ में एक अभिसरण अनुक्रम है और {yₙ}, ℝ में एक बद्ध अनुक्रम है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि
A{xₙ + yₙ} is convergent{xₙ + yₙ} अभिसरण है
B{xₙ + yₙ} is bounded{xₙ + yₙ} परिबद्ध है
C{xₙ + yₙ} has no convergent subsequence{xₙ + yₙ} का कोई अभिसरण उपअनुक्रम नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B){xₙ + yₙ} is bounded{xₙ + yₙ} परिबद्ध है
Explanation
A convergent sequence is bounded, and the sum of two bounded sequences is bounded. Convergence of the sum need not hold, and by Bolzano-Weierstrass a bounded sequence always has a convergent subsequence.अभिसरण अनुक्रम परिबद्ध होता है और दो परिबद्ध अनुक्रमों का योग परिबद्ध होता है। योग का अभिसरण आवश्यक नहीं है, और बोल्जानो-वायरस्ट्रास प्रमेय से परिबद्ध अनुक्रम का अभिसरण उपअनुक्रम अवश्य होता है।
Q74BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let α = ∫₀^∞ 1/(1 + t²) dt
Which of the following is true?मान लीजिए α = ∫₀^∞ 1/(1 + t²) dt
निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
Adα/dt = 1/(1 + t²)dα/dt = 1/(1 + t²)
Bα is a rational numberα एक परिमेय संख्या है
Csin(α) = 1sin(α) = 1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)sin(α) = 1sin(α) = 1
Explanation
α = tan⁻¹(∞) − tan⁻¹(0) = π/2, a constant. So dα/dt = 0, α is irrational, and sin(π/2) = 1.α = tan⁻¹(∞) − tan⁻¹(0) = π/2 एक अचर है। अतः dα/dt = 0, α अपरिमेय है और sin(π/2) = 1 है।
Q75BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Define f(x) = 1/√x for x > 0. Then f is uniformly continuousयदि x > 0 के लिए f(x) = 1/√x, तो f एकसमानतः संतत है
Aon (0, ∞)(0, ∞) पर
Bon [r, ∞) for any r > 0[r, ∞) पर सब r > 0 के लिए
Con (0, r] for any r > 0(0, r] पर सब r > 0 के लिए
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)on [r, ∞) for any r > 0[r, ∞) पर सब r > 0 के लिए
Explanation
On [r, ∞) the derivative |f′(x)| = 1/(2x^(3/2)) is bounded, so f is Lipschitz and uniformly continuous. Near 0, f is unbounded, so it fails on (0, ∞) and on (0, r].[r, ∞) पर |f′(x)| = 1/(2x^(3/2)) परिबद्ध है, अतः f एकसमानतः संतत है। 0 के निकट f अपरिबद्ध है, इसलिए यह (0, ∞) और (0, r] पर एकसमानतः संतत नहीं है।
Q76BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let gₙ(x) = nx / (1 + n²x²), x ∈ [0, ∞)
Which of the following is true as n → ∞?मान लीजिए gₙ(x) = nx / (1 + n²x²), x ∈ [0, ∞)
n → ∞ होने पर निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Agₙ → 0 pointwise but not uniformlygₙ → 0 बिंदुवार लेकिन एकसमानतः नहीं
Bgₙ → 0 uniformlygₙ → 0 एकसमानतः
Cgₙ(x) → x ∀ x ∈ [0, ∞)gₙ(x) → x ∀ x ∈ [0, ∞)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)gₙ → 0 pointwise but not uniformlygₙ → 0 बिंदुवार लेकिन एकसमानतः नहीं
Explanation
For fixed x the limit is 0, but gₙ(1/n) = 1/2 for every n, so the sup-norm does not tend to 0. Hence convergence is pointwise only.स्थिर x के लिए सीमा 0 है, परंतु प्रत्येक n के लिए gₙ(1/n) = 1/2 है, अतः अधिकतम अंतर 0 की ओर नहीं जाता। इसलिए अभिसरण केवल बिंदुवार है।
Q77BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the vector space ℙₙ of real polynomial in x of degree less than or equal to n. Define T : ℙ₂ → ℙ₃ by
(Tf)(x) = ∫₀ˣ f(t) dt + f′(x)
Then the matrix representation of T with respect to the bases {1, x, x²} and {1, x, x², x³} isn से कम या उसके बराबर डिग्री वाले x में वास्तविक बहुपदों के सदिश समष्टि ℙₙ पर विचार करें। यदि T : ℙ₂ → ℙ₃ को
(Tf)(x) = ∫₀ˣ f(t) dt + f′(x)
द्वारा परिभाषित करें, तो आधारों {1, x, x²} तथा {1, x, x², x³} के लिए T का आव्यूह निरूपण है
T(1) = x, T(x) = x²/2 + 1, T(x²) = x³/3 + 2x. Writing these as columns in the basis {1, x, x², x³} gives the 4×3 matrix with rows (0,1,0), (1,0,2), (0,1/2,0), (0,0,1/3), which is option (B).T(1) = x, T(x) = x²/2 + 1, T(x²) = x³/3 + 2x। इन्हें आधार {1, x, x², x³} में स्तंभ के रूप में लिखने पर 4×3 आव्यूह की पंक्तियाँ (0,1,0), (1,0,2), (0,1/2,0), (0,0,1/3) मिलती हैं, जो विकल्प (B) है।
Q78BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let A = [[0, 1], [−1, 1]]. Then the smallest positive integer n such that Aⁿ = I isमानें कि A = [[0, 1], [−1, 1]] है। तो न्यूनतम धन पूर्णांक n ताकि Aⁿ = I है
A11
B22
C66
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)66
Explanation
The characteristic polynomial is λ² − λ + 1, so A² = A − I and A³ = −I. Hence A⁶ = I, and no smaller power equals I.अभिलाक्षणिक बहुपद λ² − λ + 1 है, अतः A² = A − I और A³ = −I। इसलिए A⁶ = I है और कोई छोटी घात I के बराबर नहीं है।
Q79BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let A be a real matrix with characteristic polynomial (X − 1)³. Pick the correct statement from below:यदि A वास्तविक आव्यूह हो जिसका अभिलाक्षणिक बहुपद (X − 1)³ हो तो निम्न में से सही कथन चुनिए:
AA is necessarily diagonalizableA आवश्यक रूप से विकर्णीय है।
BIf the minimal polynomial of A is (X − 1)³, then A is diagonalizableयदि A का न्यूनतम बहुपद (X − 1)³ है, तो A विकर्णीय है।
CCharacteristic polynomial of A² is (X − 1)³A² का अभिलाक्षणिक बहुपद (X − 1)³ है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)Characteristic polynomial of A² is (X − 1)³A² का अभिलाक्षणिक बहुपद (X − 1)³ है।
Explanation
All eigenvalues of A equal 1, so those of A² are 1² = 1 and its characteristic polynomial is (X − 1)³. A need not be diagonalizable, and a minimal polynomial with a repeated factor means it is not diagonalizable.A के सभी आइगेनमान 1 हैं, अतः A² के भी 1² = 1 हैं और इसका अभिलाक्षणिक बहुपद (X − 1)³ है। A का विकर्णीय होना आवश्यक नहीं है, और न्यूनतम बहुपद में repeated गुणनखंड हो तो A विकर्णीय नहीं होता।
Q80BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let T : ℝⁿ → ℝⁿ be a linear map that satisfies T² = T − Iₙ. Then which of the following are true?मान लीजिए T : ℝⁿ → ℝⁿ एक रेखीय मानचित्र है जो T² = T − Iₙ को संतुष्ट करता है। निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
AT is invertibleT व्युत्क्रमणीय है।
BT − Iₙ is not invertibleT − Iₙ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
CT has a real eigenvalueT का वास्तविक अभिलाक्षणिक मान है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)T is invertibleT व्युत्क्रमणीय है।
Explanation
From T² − T = −I we get T(T − I) = −I, so both T and T − I are invertible. An eigenvalue would satisfy λ² − λ + 1 = 0, which has no real root. Only (A) is true.T² − T = −I से T(T − I) = −I मिलता है, अतः T और T − I दोनों व्युत्क्रमणीय हैं। आइगेनमान λ² − λ + 1 = 0 को संतुष्ट करेगा जिसका कोई वास्तविक मूल नहीं है। केवल (A) सत्य है।
Q81BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The trace of the matrix [[2, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]²⁰ isआव्यूह [[2, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]²⁰ का trace है
A7²⁰7²⁰
B2²⁰ + 3²⁰2²⁰ + 3²⁰
C2·2²⁰ + 3²⁰2·2²⁰ + 3²⁰
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)2·2²⁰ + 3²⁰2·2²⁰ + 3²⁰
Explanation
The matrix is upper triangular, so its 20th power has diagonal entries 2²⁰, 2²⁰ and 3²⁰. The trace is 2·2²⁰ + 3²⁰.आव्यूह ऊपरी त्रिकोणीय है, अतः इसकी 20वीं घात के विकर्ण अवयव 2²⁰, 2²⁰ और 3²⁰ हैं। trace = 2·2²⁰ + 3²⁰ है।
Q82BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Which of the following real quadratic forms on ℝ² is positive definite?निम्नलिखित में से ℝ² पर कौन-सा वास्तविक द्विघात रूप positive definite है?
AQ(X, Y) = XYQ(X, Y) = XY
BQ(X, Y) = X² + 2XY + Y²Q(X, Y) = X² + 2XY + Y²
CQ(X, Y) = X² − XY + Y²Q(X, Y) = X² − XY + Y²
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
X² − XY + Y² has matrix [[1, −1/2], [−1/2, 1]] with positive leading minors 1 and 3/4, so it is positive definite. XY is indefinite and X² + 2XY + Y² = (X + Y)² vanishes at (1, −1).X² − XY + Y² का आव्यूह [[1, −1/2], [−1/2, 1]] है जिसके अग्रणी मानक 1 और 3/4 धनात्मक हैं, अतः यह positive definite है। XY अनिश्चित है और X² + 2XY + Y² = (X + Y)² बिंदु (1, −1) पर शून्य हो जाता है।
Q83BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let V be an inner product space and let v₁, v₂, v₃ ∈ V be an orthogonal set of vectors. Which of the following statements is true?मान लीजिए V एक inner product space है और मान लीजिए v₁, v₂, v₃ ∈ V सदिशों का एक ऑर्थोगोनल सेट है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
AThe vectors 5v₁ + 6v₂ + 7v₃, 5v₂ + v₃, v₂ + 3v₃ can be extended to a basis of V.वेक्टर 5v₁ + 6v₂ + 7v₃, 5v₂ + v₃, v₂ + 3v₃ को V के आधार तक बढ़ाया जा सकता है।
BThe vectors 4v₁ + v₂ + 2v₃, v₂ + 3v₃, v₂ + 3v₃ can be extended to an orthogonal basis of V.वेक्टर 4v₁ + v₂ + 2v₃, v₂ + 3v₃, v₂ + 3v₃ को V के ऑर्थोगोनल आधार तक बढ़ाया जा सकता है।
CThe vectors v₁ + v₂ + 2v₃, v₂ + v₃, 2v₁ + v₂ + 3v₃ can be extended to a basis of V.वेक्टर v₁ + v₂ + 2v₃, v₂ + v₃, 2v₁ + v₂ + 3v₃ को V के आधार तक बढ़ाया जा सकता है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)The vectors 5v₁ + 6v₂ + 7v₃, 5v₂ + v₃, v₂ + 3v₃ can be extended to a basis of V.वेक्टर 5v₁ + 6v₂ + 7v₃, 5v₂ + v₃, v₂ + 3v₃ को V के आधार तक बढ़ाया जा सकता है।
Explanation
Since v₁, v₂, v₃ are orthogonal (independent), the vectors in (A) are independent because their coefficient matrix has determinant 5(15 − 1) = 70 ≠ 0, so they extend to a basis. In (B) two vectors are equal, and in (C) the coefficient determinant is 0, so those sets are dependent.(A) के सदिशों के गुणांक आव्यूह का सारणिक 5·(15 − 1) = 70 ≠ 0 है, अतः वे रैखिकतः स्वतंत्र हैं और आधार तक बढ़ाए जा सकते हैं। (B) में दो सदिश समान हैं और (C) में गुणांक सारणिक 0 है, अतः वे आश्रित हैं।
Q84BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The number of group homomorphisms from ℤ₁₀ to ℤ₂₀ isℤ₁₀ से ℤ₂₀ तक समूह समरूपता की संख्या है
Azeroशून्य
Boneएक
Ctenदस
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)tenदस
Explanation
The number of homomorphisms from ℤ_m to ℤ_n is gcd(m, n). Here gcd(10, 20) = 10.ℤ_m से ℤ_n तक समरूपताओं की संख्या gcd(m, n) होती है। यहाँ gcd(10, 20) = 10 है।
Q85BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let S₇ denote the group of permutations of the set {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Which of the following is true?मान लीजिए S₇ सेट {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} के क्रमपरिवर्तन के समूह को दर्शाता है। निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
AThere are no elements of order 6 in S₇S₇ में order 6 का कोई element नहीं है।
BThere are no elements of order 8 in S₇S₇ में order 8 का कोई element नहीं है।
CThere are no elements of order 7 in S₇S₇ में order 7 का कोई element नहीं है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)There are no elements of order 8 in S₇S₇ में order 8 का कोई element नहीं है।
Explanation
Orders in S₇ are lcm's of cycle lengths summing to at most 7. Order 6 occurs (a 3-cycle times a 2-cycle), order 7 occurs (a 7-cycle), but order 8 would need an 8-cycle (or a 4-cycle together with a disjoint element of order 8), which does not fit in 7 points.S₇ में कोटियाँ उन चक्र-लंबाइयों के ल.स. हैं जिनका योग अधिकतम 7 है। कोटि 6 (3-चक्र × 2-चक्र) और कोटि 7 (7-चक्र) संभव हैं, पर कोटि 8 के लिए 8-चक्र चाहिए जो S₇ में असंभव है।
Q86BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let p be a prime number. How many distinct sub-rings (with unity) of cardinality p does the field F_{p²} have?मानें कि p एक अविभाज्य संख्या है। फ़ील्ड F_{p²} में कार्डिनैलिटी p के कितने अलग-अलग उप-रिंग (एकता के साथ) हैं?
A00
B11
Cpp
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)11
Explanation
A subring with unity of size p contains 1 and hence the prime field F_p, which already has p elements. So it is exactly F_p, and there is only one.p अवयवों वाले एकता-सहित उप-रिंग में 1 होता है, अतः वह अभाज्य क्षेत्र F_p को समाहित करता है जिसमें पहले से p अवयव हैं। इसलिए वह ठीक F_p है और केवल एक है।
Q87BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let p ≥ 5 be a prime. Thenमानें कि p ≥ 5 एक अविभाज्य संख्या है। तो
A𝔽ₚ × 𝔽ₚ has at least five subgroups of order p𝔽ₚ × 𝔽ₚ के कोटि p के कम-से-कम पाँच उपसमूह हैं
Bevery subgroup of 𝔽ₚ × 𝔽ₚ is of the form H₁ × H₂ where H₁, H₂ are subgroups of 𝔽ₚ𝔽ₚ × 𝔽ₚ का प्रत्येक उपसमूह H₁ × H₂ रूप का है, जहाँ H₁, H₂, 𝔽ₚ के उपसमूह हैं
Cevery subgroup of 𝔽ₚ × 𝔽ₚ is an ideal of the ring 𝔽ₚ × 𝔽ₚ𝔽ₚ × 𝔽ₚ का प्रत्येक उपसमूह वलय 𝔽ₚ × 𝔽ₚ का एक आदर्श है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)𝔽ₚ × 𝔽ₚ has at least five subgroups of order p𝔽ₚ × 𝔽ₚ के कोटि p के कम-से-कम पाँच उपसमूह हैं
Explanation
𝔽ₚ × 𝔽ₚ ≅ ℤₚ × ℤₚ has p + 1 subgroups of order p, and p + 1 ≥ 6, so (A) holds. The diagonal subgroup {(a, a)} is not of product form and is not an ideal, so (B) and (C) fail.𝔽ₚ × 𝔽ₚ ≅ ℤₚ × ℤₚ में कोटि p के p + 1 उपसमूह हैं और p + 1 ≥ 6, अतः (A) सत्य है। विकर्ण उपसमूह {(a, a)} गुणनफल रूप का नहीं है और आदर्श भी नहीं है, इसलिए (B) और (C) असत्य हैं।
Q88BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Any group of order 25 isक्रम 25 का कोई भी समूह है
Acyclicचक्रीय
Bsimpleसरल
CAbelian but not simpleएबेलियन लेकिन सरल नहीं
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)Abelian but not simpleएबेलियन लेकिन सरल नहीं
Explanation
Every group of order p² is Abelian, but it need not be cyclic (ℤ₅ × ℤ₅). It has a normal subgroup of order 5, so it is not simple.कोटि p² का प्रत्येक समूह एबेलियन होता है, पर चक्रीय होना आवश्यक नहीं (ℤ₅ × ℤ₅)। इसमें कोटि 5 का प्रसामान्य उपसमूह होता है, अतः यह सरल नहीं है।
Q89BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
If R is a ring with unity, a, b ∈ R such that ab = 1, thenयदि R एकता वाला एक वलय है, a, b ∈ R जैसे कि ab = 1, तो
Aba is an idempotent in R but (1 − ba) is notR में ba एक idempotent है लेकिन (1 − ba) नहीं है
Bboth ba and (1 − ba) are idempotent elements in Rba और (1 − ba) दोनों R में idempotent element हैं
Cneither ba nor (1 − ba) is an idempotent element in RR में न तो ba और न ही (1 − ba) कोई idempotent element है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)both ba and (1 − ba) are idempotent elements in Rba और (1 − ba) दोनों R में idempotent element हैं
Explanation
(ba)(ba) = b(ab)a = ba, so ba is idempotent. Then (1 − ba)² = 1 − 2ba + ba = 1 − ba, so 1 − ba is idempotent too.(ba)(ba) = b(ab)a = ba, अतः ba idempotent है। तब (1 − ba)² = 1 − 2ba + ba = 1 − ba, अतः 1 − ba भी idempotent है।
Q90BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let G be a commutative group of order 202. Then the number of element(s) of order 2 in G isमान लीजिए कि G क्रम 202 का एक क्रमविनिमेय समूह है। तब G में क्रम 2 के तत्वों की संख्या है
A11
B22
C101101
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)101101
Explanation
Note: the official key gives (C), but 202 = 2 × 101 with distinct primes, so G ≅ ℤ₂₀₂ and has exactly one element of order 2, which is option (A). Official key kept.टिप्पणी: आधिकारिक कुंजी (C) देती है, परंतु 202 = 2 × 101 है, अतः G ≅ ℤ₂₀₂ और इसमें क्रम 2 का केवल एक ही तत्व होता है, जो विकल्प (A) है। आधिकारिक कुंजी यथावत रखी गई है।
Q91BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The class equation of a group of order 10 isक्रम 10 के समूह का वर्ग समीकरण है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
The official key is (D), more than one of the above: both (A) and (C) can occur. A group of order 10 is either abelian (ℤ₁₀: ten classes of size 1, option A) or the dihedral group D₅ with class sizes 1, 2, 2, 5 (option C). Option (B) is not possible, so the key is 'more than one'.आधिकारिक कुंजी (D) है: (A) और (C) दोनों संभव हैं। क्रम 10 का समूह या तो आबेली (ℤ₁₀, दस वर्ग प्रत्येक आकार 1, विकल्प A) है या डायहेड्रल समूह D₅ है जिसके वर्ग-आकार 1, 2, 2, 5 हैं (विकल्प C)। विकल्प (B) असंभव है, इसलिए उत्तर 'एक से अधिक' है।
Q92BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The function f(z) = |z|² isफलन f(z) = |z|²
Acontinuous at the origin onlyकेवल मूल पर ही संतत है
Bcontinuous everywhere but nowhere differentiableहर जगह संतत लेकिन कहीं भी differentiable नहीं है
Ccontinuous everywhere but nowhere differentiable, except at the originसर्वत्र संतत लेकिन मूल को छोड़कर कहीं भी differentiable नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)continuous everywhere but nowhere differentiable, except at the originसर्वत्र संतत लेकिन मूल को छोड़कर कहीं भी differentiable नहीं है
Explanation
f = x² + y² is continuous everywhere. The Cauchy-Riemann equations 2x = 2y and 2y = −2x hold only at (0, 0), so f is complex differentiable only at the origin.f = x² + y² सर्वत्र संतत है। कॉशी-रीमान समीकरण 2x = 2y और 2y = −2x केवल (0, 0) पर संतुष्ट होते हैं, अतः f केवल मूल पर अवकलनीय है।
Q93BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
For the function f(z) = (1 − e⁻ᶻ)/z, the point z = 0 is a/anफलन f(z) = (1 − e⁻ᶻ)/z के लिए, बिंदु z = 0 एक है
Aessential singularityआवश्यक विलक्षणता
Bpole of order oneorder एक का पोल
Cremovable singularityहटाने योग्य विलक्षणता
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)removable singularityहटाने योग्य विलक्षणता
Explanation
1 − e⁻ᶻ = z − z²/2 + …, so f(z) = 1 − z/2 + … has a finite limit 1 at z = 0. The singularity is removable.1 − e⁻ᶻ = z − z²/2 + …, अतः f(z) = 1 − z/2 + … की z = 0 पर सीमित सीमा 1 है। यह हटाने योग्य विलक्षणता है।
Q94BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let γ be any positively oriented circle whose centre is at the origin. Then the value of the integral ∫_γ (cos z / z²) dz isमान लीजिए γ कोई धनात्मक उन्मुख वृत्त है जिसका केन्द्र मूल बिंदु पर है। फिर समाकलन ∫_γ (cos z / z²) dz का मान है
A2πi2πi
B00
C−2πi−2πi
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)00
Explanation
cos z / z² = 1/z² − 1/2 + …, which has no 1/z term, so the residue at 0 is 0 and the integral is 2πi × 0 = 0.cos z / z² = 1/z² − 1/2 + … में 1/z का पद नहीं है, अतः 0 पर अवशेष 0 है और समाकलन 2πi × 0 = 0 है।
Q95BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let a₋₂ be the coefficient of 1/z² in the Laurent series of f(z) = (z + 1) / (z³(z² + 1)) around z = 0 in the region 0 < |z| < 1. Then a₋₂ is equal toमान लें कि क्षेत्र 0 < |z| < 1 में z = 0 के आसपास f(z) = (z + 1) / (z³(z² + 1)) की लॉरेंट शृंखला में 1/z² का गुणांक a₋₂ है। तब a₋₂ बराबर है
A11
B00
C−1−1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)11
Explanation
Using 1/(1 + z²) = 1 − z² + …, f(z) = (1 + z)(1 − z² + …)/z³ = (1 + z − z² − …)/z³ = 1/z³ + 1/z² − 1/z − …. The coefficient of 1/z² is 1.1/(1 + z²) = 1 − z² + … का प्रयोग करने पर f(z) = (1 + z)(1 − z² + …)/z³ = 1/z³ + 1/z² − 1/z − …। 1/z² का गुणांक 1 है।
Q96BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let f : ℂ → ℂ be an entire function with f(0) = 1 and f(1) = 0. Then f mapsमान लीजिए f : ℂ → ℂ, f(0) = 1 और f(1) = 0 के साथ एक संपूर्ण फ़ंक्शन है। फिर f मैप करता है
Aopen sets in ℂ into open sets in ℂℂ में खुले सेटों को ℂ में खुले सेटों में
Bclosed sets in ℂ into closed sets in ℂℂ में बंद सेटों को ℂ में बंद सेटों में
Copen sets in ℂ into closed sets in ℂℂ में खुले सेटों को ℂ में बंद सेटों में
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)open sets in ℂ into open sets in ℂℂ में खुले सेटों को ℂ में खुले सेटों में
Explanation
f takes two different values, so it is non-constant, and by the open mapping theorem a non-constant entire function maps open sets to open sets.f दो भिन्न मान लेता है, अतः अचर नहीं है, और विवृत मानचित्रण प्रमेय के अनुसार अचर न होने वाला संपूर्ण फलन खुले समुच्चयों को खुले समुच्चयों में भेजता है।
Q97BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A non-constant entire functionएक अचर-भिन्न (non-constant) संपूर्ण फ़ंक्शन
Ahas at least one zero in ℂℂ में कम-से-कम एक शून्य होता है
Bcannot have finite number of real zerosमें वास्तविक शून्यों की संख्या सीमित नहीं हो सकती
Ccannot have uncountable number of zeros in ℂमें ℂ में शून्यों की बेशुमार संख्या नहीं हो सकती
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)cannot have uncountable number of zeros in ℂमें ℂ में शून्यों की बेशुमार संख्या नहीं हो सकती
Explanation
Zeros of a non-constant entire function are isolated, so they form a countable set and cannot be uncountable. e^z has no zero, and z has just one real zero, so (A) and (B) are false.अचर-भिन्न संपूर्ण फलन के शून्य विलगित होते हैं, अतः वे गणनीय होते हैं और बेशुमार नहीं हो सकते। e^z का कोई शून्य नहीं है और z का केवल एक वास्तविक शून्य है, इसलिए (A) और (B) असत्य हैं।
Q98BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
f is an entire function. If f satisfies the following two equations f(z + 1) = f(z) and f(z + i) = f(z) for every z ∈ ℂ thenf एक संपूर्ण फ़ंक्शन है। यदि f, ℂ में प्रत्येक z के लिए निम्नलिखित दो समीकरण f(z + 1) = f(z) और f(z + i) = f(z) को संतुष्ट करता है तो
Af ≡ constantf ≡ constant
Bf(z) ∈ ℝ ∀ zf(z) ∈ ℝ ∀ z
Cf is a non-constant polynomialf एक non-constant बहुपद है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)f ≡ constantf ≡ constant
Explanation
f is periodic with periods 1 and i, so its values are all attained on the compact unit square. Hence f is bounded and entire, and by Liouville's theorem it is constant.f के आवर्त 1 और i हैं, अतः इसके सभी मान संहत इकाई वर्ग पर ही मिलते हैं। इसलिए f परिबद्ध और संपूर्ण है और लिउविल प्रमेय से अचर है।
Q99BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
For any positive integers a and 3, there exist unique integers q and r such that a = 3q + r, where r must satisfyकिसी भी धनात्मक पूर्णांक a और 3 के लिए, अद्वितीय पूर्णांक q और r मौजूद हैं जैसे कि a = 3q + r, जहाँ r को संतुष्ट करना होगा
A1 < r < 31 < r < 3
B0 < r < 30 < r < 3
C0 ≤ r < 30 ≤ r < 3
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)0 ≤ r < 30 ≤ r < 3
Explanation
By the division algorithm the remainder satisfies 0 ≤ r < 3 (r can be 0 when 3 divides a).भाग-एल्गोरिथ्म के अनुसार शेषफल 0 ≤ r < 3 को संतुष्ट करता है (जब 3, a को विभाजित करे तब r = 0 होता है)।
Q100BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the congruence xⁿ ≡ 2 (mod 13). This congruence has a solution for x ifसर्वांगसमता xⁿ ≡ 2 (mod 13) पर विचार करें। इस सर्वांगसमता का x के लिए एक समाधान है यदि
An = 8n = 8
Bn = 7n = 7
Cn = 6n = 6
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)n = 7n = 7
Explanation
2 is a primitive root mod 13 (order 12), so xⁿ ≡ 2 is solvable only when gcd(n, 12) = 1. Only n = 7 satisfies this; n = 8 and n = 6 do not.2, मॉड्यूलो 13 का आदिम मूल है (क्रम 12), अतः xⁿ ≡ 2 का हल तभी होता है जब gcd(n, 12) = 1 हो। केवल n = 7 यह शर्त पूरी करता है; n = 8 और n = 6 नहीं।
Q101BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Which of the following statements is true?निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा सत्य है?
AEvery even integer n ≥ 16 divides (n − 1)! + 3प्रत्येक सम पूर्णांक n ≥ 16, (n − 1)! + 3 को विभाजित करता है
BEvery odd integer n ≥ 16 divides (n − 1)!प्रत्येक विषम पूर्णांक n ≥ 16, (n − 1)! को विभाजित करता है
CEvery even integer n ≥ 16 divides (n − 1)!प्रत्येक सम पूर्णांक n ≥ 16, (n − 1)! को विभाजित करता है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)Every even integer n ≥ 16 divides (n − 1)!प्रत्येक सम पूर्णांक n ≥ 16, (n − 1)! को विभाजित करता है
Explanation
An even n ≥ 16 can be written 2m with m ≥ 8, and 2 and m are distinct numbers below n, so both occur in (n − 1)! and n divides it. An odd prime n does not divide (n − 1)!, so (B) fails.सम n ≥ 16 को 2m (m ≥ 8) लिखा जा सकता है, और 2 तथा m, n से छोटी भिन्न संख्याएँ हैं, अतः दोनों (n − 1)! में आते हैं और n इसे विभाजित करता है। विषम अभाज्य n, (n − 1)! को विभाजित नहीं करता, इसलिए (B) असत्य है।
Q102BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let p be a prime number and Nₚ be the number of pairs of positive integers (x, y) such that
1/x + 1/y = 1/p⁴
Which among the following are possible values of Nₚ?मान लीजिए p एक अभाज्य संख्या है और Nₚ धनात्मक पूर्णांक (x, y) के युग्मों की संख्या इस प्रकार है कि
1/x + 1/y = 1/p⁴
निम्नलिखित में से Nₚ के संभावित मान कौन-से हैं?
A00
B44
C99
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ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)99
Explanation
The equation is equivalent to (x − p⁴)(y − p⁴) = p⁸. Positive solutions correspond to positive divisors of p⁸, so Nₚ = 9 for every prime p.समीकरण (x − p⁴)(y − p⁴) = p⁸ के तुल्य है। धनात्मक हल p⁸ के धनात्मक भाजकों से मिलते हैं, अतः प्रत्येक अभाज्य p के लिए Nₚ = 9 है।
Q103BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the function f(n) = n⁵ − 2n³ + n, where n is a positive integer. Which of the following statements is not true?फलन f(n) = n⁵ − 2n³ + n पर विचार करें, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है?
AFor every positive integer k, there exists a positive integer n such that f(n) is divisible by 2ᵏ.प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक k के लिए, एक धनात्मक पूर्णांक n मौजूद होता है जैसे कि f(n), 2ᵏ से विभाज्य हो।
Bf(n) is even for every integer n ≥ 20.f(n) प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 20 के लिए सम है।
CFor every integer n ≥ 20, either f(n) is odd or f(n) is divisible by 4.प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 20 के लिए, या तो f(n) विषम है या f(n), 4 से विभाज्य है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)For every integer n ≥ 20, either f(n) is odd or f(n) is divisible by 4.प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 20 के लिए, या तो f(n) विषम है या f(n), 4 से विभाज्य है।
Explanation
f(n) = n(n − 1)²(n + 1)² is always even, so it is never odd. For n = 22 it equals 22 × (21 × 23)², which is not divisible by 4, so (C) is not true. (A) holds with n = 2ᵏ and (B) holds always.f(n) = n(n − 1)²(n + 1)² सदैव सम है, अतः कभी विषम नहीं होता। n = 22 के लिए यह 22 × (21 × 23)² है जो 4 से विभाज्य नहीं है, इसलिए (C) सत्य नहीं है। (A) n = 2ᵏ से और (B) सदैव सत्य है।
Q104BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let a, b be positive integers with a > b and a + b = 24. Suppose that the following congruences have a common integer solution:
2x ≡ 3a (mod 5); x ≡ 4b (mod 5)
Which of the following statements is true?मान लीजिए कि a, b धनात्मक पूर्णांक हैं जिनमें a > b और a + b = 24 हैं। मान लीजिए कि निम्नलिखित सर्वांगसमताओं का एक सामान्य पूर्णांक समाधान है:
2x ≡ 3a (mod 5); x ≡ 4b (mod 5)
निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा सही है?
Aa − b is divisible by 5a − b, 5 से विभाज्य है
B3b > a > 2b3b > a > 2b
Ca > 3ba > 3b
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)a − b is divisible by 5a − b, 5 से विभाज्य है
Explanation
The first congruence gives x ≡ 3 × 3a ≡ 4a (mod 5). A common solution requires 4a ≡ 4b (mod 5), i.e. a ≡ b (mod 5), so 5 divides a − b. The pairs (17, 7) and (22, 2) both fit, and (B) and (C) fail for at least one of them.पहली सर्वांगसमता से x ≡ 3 × 3a ≡ 4a (mod 5) मिलता है। उभयनिष्ठ हल के लिए 4a ≡ 4b (mod 5), अर्थात a ≡ b (mod 5) चाहिए, अतः 5, a − b को विभाजित करता है। युग्म (17, 7) और (22, 2) दोनों संभव हैं और (B), (C) कम से कम एक के लिए असत्य हैं।
Q105BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
For α ∈ ℝ, let ⌊α⌋ denote the greatest integer smaller than or equal to α. Define d : ℝ × ℝ → [0, ∞) by
d(x, y) = ⌊|x − y|⌋, x, y ∈ ℝ
Then which of the following is true?α ∈ ℝ के लिए मान लीजिए ⌊α⌋ α से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। d : ℝ × ℝ → [0, ∞) को
d(x, y) = ⌊|x − y|⌋, x, y ∈ ℝ
द्वारा परिभाषित करें, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
Ad(x, y) = 0 if and only if x = y, x, y ∈ ℝd(x, y) = 0 यदि और केवल यदि x = y, x, y ∈ ℝ
Bd(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝd(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝ
Cd(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), x, y, z ∈ ℝd(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), x, y, z ∈ ℝ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)d(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝd(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝ
Explanation
|x − y| = |y − x|, so d is symmetric. (A) fails since d(0, 0.5) = 0, and (C) fails for x = 0, z = 0.6, y = 1.2, where d(x, y) = 1 but d(x, z) + d(z, y) = 0.|x − y| = |y − x| होने से d सममित है। (A) असत्य है क्योंकि d(0, 0.5) = 0 है, और (C) x = 0, z = 0.6, y = 1.2 के लिए असत्य है जहाँ d(x, y) = 1 पर d(x, z) + d(z, y) = 0 है।
Q106BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let X be a countable set. Then which of the following is not true?मान लें कि X एक गणनीय समुच्चय है। तो निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य नहीं है?
AThere exists a metric d on X such that (X, d) is completeX पर एक मीट्रिक d इस प्रकार मौजूद है कि (X, d) पूर्ण है
BThere exists a metric d on X such that (X, d) is not completeX पर एक मीट्रिक d इस प्रकार मौजूद है कि (X, d) पूर्ण नहीं है
CThere exists a metric d on X such that (X, d) is compactX पर एक मीट्रिक d इस प्रकार मौजूद है कि (X, d) सघन है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
For a countably infinite X all three statements are true: the discrete metric is complete, ℚ-type metrics are incomplete, and X can be given the metric of {0} ∪ {1/n}, which is compact. So none of (A)-(C) is false, which is option (E).गणनीय अनंत X के लिए तीनों कथन सत्य हैं: असतत मीट्रिक पूर्ण है, ℚ जैसी मीट्रिक अपूर्ण है, और {0} ∪ {1/n} की मीट्रिक देने पर X संहत हो जाता है। अतः (A)-(C) में से कोई असत्य नहीं है, यानी विकल्प (E)।
Q107BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let (X, d) be a metric space and let A ⊆ X. For x ∈ X, define
d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}
If d(x, A) = 0 for all x ∈ X, then which of the following assertions must be true?मान लीजिए (X, d) एक मीट्रिक स्थान है और A ⊆ X है। x ∈ X के लिए, परिभाषित करें
d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}
यदि सभी x ∈ X के लिए d(x, A) = 0, तो निम्नलिखित में से कौन-सा दावा सत्य होना चाहिए?
AA is compactA कॉम्पैक्ट है
BA is closedA बंद है
CA is dense in XA, X में सघन है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)A is dense in XA, X में सघन है
Explanation
d(x, A) = 0 means x is in the closure of A. Since this holds for every x ∈ X, the closure of A is X, i.e. A is dense in X.d(x, A) = 0 का अर्थ है कि x, A के सवृत (closure) में है। यह प्रत्येक x ∈ X के लिए सत्य है, अतः A का सवृत X है, अर्थात A, X में सघन है।
Q108BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The equation
(αxy³ + y cos x) dx + (x²y² + β sin x) dy = 0
is exact forसमीकरण
(αxy³ + y cos x) dx + (x²y² + β sin x) dy = 0
बिल्कुल सही (exact) है
Aα = 2/3, β = 1α = 2/3, β = 1 के लिए
Bα = 1, β = 3/2α = 1, β = 3/2 के लिए
Cα = 1, β = 2/3α = 1, β = 2/3 के लिए
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)α = 2/3, β = 1α = 2/3, β = 1 के लिए
Explanation
Exactness needs ∂M/∂y = ∂N/∂x: 3αxy² + cos x = 2xy² + β cos x. Hence 3α = 2 and β = 1, i.e. α = 2/3, β = 1.यथातथ होने के लिए ∂M/∂y = ∂N/∂x चाहिए: 3αxy² + cos x = 2xy² + β cos x। अतः 3α = 2 और β = 1, यानी α = 2/3, β = 1।
Q109BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
An integrating factor of
x dy/dx + (3x + 1)y = x e⁻²ˣ
isएक समाकलन कारक
x dy/dx + (3x + 1)y = x e⁻²ˣ
का है
Ax e³ˣx e³ˣ
B3x eˣ3x eˣ
Cx eˣx eˣ
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ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)x e³ˣx e³ˣ
Explanation
Divide by x: dy/dx + (3 + 1/x)y = e⁻²ˣ. The integrating factor is exp(∫(3 + 1/x) dx) = e³ˣ · x = x e³ˣ.x से भाग देने पर dy/dx + (3 + 1/x)y = e⁻²ˣ। समाकलन कारक exp(∫(3 + 1/x) dx) = e³ˣ · x = x e³ˣ है।
Q110BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The differential equation representing the family of circles touching y-axis at the origin isमूल बिन्दु पर y-अक्ष को छूने वाले वृत्तों के परिवार का प्रतिनिधित्व करने वाला अंतर समीकरण है
Alinear and of first orderरैखिक और प्रथम क्रम का
Blinear and of second orderरैखिक और दूसरे क्रम का
Cnon-linear and of first orderअरैखिक और प्रथम क्रम का
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)non-linear and of first orderअरैखिक और प्रथम क्रम का
Explanation
The family is x² + y² = 2ax with one parameter. Eliminating a gives y² − x² = 2xy y′, a first-order equation that is non-linear in y.परिवार x² + y² = 2ax है जिसमें एक प्राचल है। a हटाने पर y² − x² = 2xy y′ मिलता है, जो प्रथम क्रम का और y में अरैखिक है।
Q111BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let f, g : [−1, 1] → ℝ, f(x) = x³, g(x) = x²|x|. Thenमान लीजिए f, g : [−1, 1] → ℝ, f(x) = x³, g(x) = x²|x| तब
Af and g are linearly independent on [−1, 1]f और g रैखिक रूप से [−1, 1] पर स्वतंत्र हैं
Bf and g are linearly dependent on [−1, 1]f और g रैखिक रूप से [−1, 1] पर निर्भर हैं
Cf(x)g′(x) − f′(x)g(x) is not identically zero on [−1, 1]f(x)g′(x) − f′(x)g(x), [−1, 1] पर समान रूप से शून्य नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)f and g are linearly independent on [−1, 1]f और g रैखिक रूप से [−1, 1] पर स्वतंत्र हैं
Explanation
g = f for x ≥ 0 and g = −f for x < 0, so no single constant relation holds on the whole interval and f, g are linearly independent. Their Wronskian is zero everywhere, so (C) is false.x ≥ 0 पर g = f और x < 0 पर g = −f है, अतः पूरे अंतराल पर कोई एक अचर संबंध नहीं बनता और f, g रैखिकतः स्वतंत्र हैं। इनका रॉन्स्कियन सर्वत्र शून्य है, इसलिए (C) असत्य है।
Q112BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let y be the solution of the initial value problem
d²y/dx² + y = 6 cos 2x, y(0) = 3, y′(0) = 1
Let the Laplace transform of y be F(s). Then the value of F(1) isमान लीजिए y प्रारंभिक मान समस्या
d²y/dx² + y = 6 cos 2x, y(0) = 3, y′(0) = 1
का समाधान है। माना कि y का लाप्लास रूपांतरण F(s) है। तब, F(1) का मान है
A17/517/5
B13/513/5
C11/511/5
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ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)13/513/5
Explanation
Transforming: (s² + 1)F = 3s + 1 + 6s/(s² + 4). At s = 1, 2F(1) = 4 + 6/5 = 26/5, so F(1) = 13/5.रूपांतरण करने पर (s² + 1)F = 3s + 1 + 6s/(s² + 4)। s = 1 पर 2F(1) = 4 + 6/5 = 26/5, अतः F(1) = 13/5।
Q113BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The integral surface satisfying the equation
y ∂z/∂x + x ∂z/∂y = x² + y²
and passing through the curve x = 1 − t, y = 1 + t, z = 1 + t² isसमाकलन सतह, जो समीकरण
y ∂z/∂x + x ∂z/∂y = x² + y²
को संतुष्ट करती है और वक्र x = 1 − t, y = 1 + t, z = 1 + t² से होकर गुजरती है, है
Az = xy + (1/2)(x² − y²)²z = xy + (1/2)(x² − y²)²
Bz = xy + (1/4)(x² − y²)²z = xy + (1/4)(x² − y²)²
Cz = xy + (1/8)(x² − y²)²z = xy + (1/8)(x² − y²)²
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The characteristics give x² − y² = c₁ and z − xy = c₂, so z − xy = φ(x² − y²). On the curve, z − xy = 2t² and x² − y² = −4t, so φ(c) = c²/8. Hence z = xy + (x² − y²)²/8.अभिलक्षणों से x² − y² = c₁ और z − xy = c₂ मिलते हैं, अतः z − xy = φ(x² − y²)। वक्र पर z − xy = 2t² और x² − y² = −4t है, इसलिए φ(c) = c²/8। अतः z = xy + (x² − y²)²/8।
Q114BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let the general integral of the partial differential equation
(2xy − 1) ∂z/∂x + (z − 2x²) ∂z/∂y = 2(x − yz)
be given by F(u, v) = 0, where F : ℝ² → ℝ is a continuously differentiable function.
(ℝ is the set of all real numbers and ℝ² = {(x, y) : x, y ∈ ℝ})
Then which of the following is true?मान लीजिए कि आंशिक अवकल समीकरण
(2xy − 1) ∂z/∂x + (z − 2x²) ∂z/∂y = 2(x − yz)
का सामान्य समाकलन F(u, v) = 0 द्वारा दिया गया है, जहाँ F : ℝ² → ℝ एक निरंतर अवकलनीय फलन है।
(ℝ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और ℝ² = {(x, y) : x, y ∈ ℝ})
तो निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
Au = x² + y² + z, v = xz + yu = x² + y² + z, v = xz + y
Bu = x² + y² − z, v = xz − yu = x² + y² − z, v = xz − y
Cu = x² − y² + z, v = yz + xu = x² − y² + z, v = yz + x
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)u = x² + y² + z, v = xz + yu = x² + y² + z, v = xz + y
Explanation
u and v must be constant along the characteristics, i.e. satisfy (2xy − 1)uₓ + (z − 2x²)u_y + 2(x − yz)u_z = 0. For u = x² + y² + z this gives 2x(2xy − 1) + 2y(z − 2x²) + 2(x − yz) = 0, and likewise for v = xz + y, so (A) is correct.u और v को अभिलक्षणों के अनुदिश अचर होना चाहिए, अर्थात (2xy − 1)uₓ + (z − 2x²)u_y + 2(x − yz)u_z = 0। u = x² + y² + z के लिए 2x(2xy − 1) + 2y(z − 2x²) + 2(x − yz) = 0 मिलता है, और इसी प्रकार v = xz + y के लिए भी, अतः (A) सही है।
Q115BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The partial differential equation
x ∂²u/∂x² + (x − y) ∂²u/∂x∂y − y ∂²u/∂y² + (1/4)(∂u/∂y − ∂u/∂x) = 0
isआंशिक अवकल समीकरण
x ∂²u/∂x² + (x − y) ∂²u/∂x∂y − y ∂²u/∂y² + (1/4)(∂u/∂y − ∂u/∂x) = 0
है
Ahyperbolic along the line x + y = 0रेखा x + y = 0 के अनुदिश अतिपरवलयिक
Belliptic along the line x − y = 0रेखा x − y = 0 के अनुदिश दीर्घवृत्तीय
Cparabolic along the line x + y = 0रेखा x + y = 0 के अनुदिश परवलयिक
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)parabolic along the line x + y = 0रेखा x + y = 0 के अनुदिश परवलयिक
Explanation
With A = x, 2B = x − y, C = −y, the discriminant is B² − AC = (x − y)²/4 + xy = (x + y)²/4. It vanishes exactly on x + y = 0, so the equation is parabolic there and hyperbolic elsewhere (never elliptic).A = x, 2B = x − y, C = −y लेने पर विविक्तकर B² − AC = (x − y)²/4 + xy = (x + y)²/4 है। यह ठीक x + y = 0 पर शून्य होता है, अतः समीकरण वहाँ परवलयिक है और अन्यत्र अतिपरवलयिक (दीर्घवृत्तीय कहीं नहीं)।
Q116BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the wave equation
∂²u/∂t² = 4 ∂²u/∂x², 0 < x < π, t > 0
with u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = sin x and ∂u/∂t = 0 at t = 0.
Then u(π/2, π/2) isतरंग समीकरण पर विचार करें:
∂²u/∂t² = 4 ∂²u/∂x², 0 < x < π, t > 0
u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = sin x और t = 0 पर ∂u/∂t = 0 के साथ, तब u(π/2, π/2) है
A22
B11
C−1−1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)−1−1
Explanation
The solution is u = sin x cos 2t (it satisfies the equation and all conditions). At (π/2, π/2) it equals 1 × cos π = −1.हल u = sin x cos 2t है (यह समीकरण और सभी शर्तों को संतुष्ट करता है)। (π/2, π/2) पर इसका मान 1 × cos π = −1 है।
Q117BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let φ : [0, 1] → ℝ be three times continuously differentiable. Suppose that the iterates defined by xₙ₊₁ = φ(xₙ), n ≥ 0 converge to the fixed point ξ of φ. If the order of convergence is three, thenमान लीजिए φ : [0, 1] → ℝ तीन गुना निरंतर अवकलनीय है। मान लीजिए कि xₙ₊₁ = φ(xₙ), n ≥ 0 द्वारा परिभाषित पुनरावृत्त φ के निश्चित बिन्दु ξ पर एकत्रित होते हैं। यदि अभिसरण का क्रम तीन है, तो
Aφ′(ξ) = 0, φ″(ξ) = 0φ′(ξ) = 0, φ″(ξ) = 0
Bφ′(ξ) ≠ 0, φ″(ξ) = 0φ′(ξ) ≠ 0, φ″(ξ) = 0
Cφ′(ξ) ≠ 0, φ″(ξ) ≠ 0φ′(ξ) ≠ 0, φ″(ξ) ≠ 0
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
By Taylor expansion, convergence of order p requires the first p − 1 derivatives of φ to vanish at ξ and the p-th not to. For order three, φ′(ξ) = φ″(ξ) = 0 and φ‴(ξ) ≠ 0.टेलर प्रसार से, p क्रम के अभिसरण के लिए ξ पर φ के पहले p − 1 अवकलज शून्य होने चाहिए और p-वाँ शून्य नहीं। क्रम तीन के लिए φ′(ξ) = φ″(ξ) = 0 और φ‴(ξ) ≠ 0 होता है।
Q118BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
While solving the equation x² − 3x + 1 = 0 using the Newton-Raphson method with the initial guess of a root as 1, the value of the root after one iteration isसमीकरण x² − 3x + 1 = 0 को Newton-Raphson विधि का उपयोग करके हल करते समय जड़ के प्रारंभिक अनुमान 1 के साथ, एक पुनरावृत्ति के बाद जड़ का मान है
A1·51·5
B00
C11
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Q119BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the system of equations
[[5, 2, 1], [−2, 5, 2], [−1, 2, 8]] [x₁, x₂, x₃]ᵀ = [13, −22, 14]ᵀ
With the initial guess of the solution [x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, x₃⁽⁰⁾]ᵀ = [1, 1, 1]ᵀ the approximate value of the solution [x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾, x₃⁽¹⁾]ᵀ after one iteration by the Gauss-Seidel method isसमीकरणों की प्रणाली पर विचार करें:
[[5, 2, 1], [−2, 5, 2], [−1, 2, 8]] [x₁, x₂, x₃]ᵀ = [13, −22, 14]ᵀ
समाधान [x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, x₃⁽⁰⁾]ᵀ = [1, 1, 1]ᵀ के प्रारंभिक अनुमान के साथ गॉस-सीडेल विधि द्वारा एक पुनरावृत्ति के बाद समाधान [x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾, x₃⁽¹⁾]ᵀ का अनुमानित मूल्य है
A[2, −4·4, 1·625]ᵀ[2, −4·4, 1·625]ᵀ
B[2, −4, −3]ᵀ[2, −4, −3]ᵀ
C[2, −4, 3]ᵀ[2, −4, 3]ᵀ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)[2, −4, 3]ᵀ[2, −4, 3]ᵀ
Explanation
x₁ = (13 − 2·1 − 1)/5 = 2. Using the new x₁: x₂ = (−22 + 2·2 − 2·1)/5 = −4. Then x₃ = (14 + 2 − 2(−4))/8 = 3. The result is [2, −4, 3]ᵀ.x₁ = (13 − 2·1 − 1)/5 = 2। नए x₁ से x₂ = (−22 + 2·2 − 2·1)/5 = −4। फिर x₃ = (14 + 2 − 2(−4))/8 = 3। परिणाम [2, −4, 3]ᵀ है।
Q120BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
For what values of α and β, the quadrature formula
∫₋₁¹ f(x) dx ≈ α f(−1) + f(β)
is exact for all polynomials of degree ≤ 1?α और β के किन मानों के लिए, चतुर्भुज सूत्र
∫₋₁¹ f(x) dx ≈ α f(−1) + f(β)
घात ≤ 1 के सभी बहुपदों के लिए सटीक है?
Aα = 1, β = 1α = 1, β = 1
Bα = −1, β = 1α = −1, β = 1
Cα = 1, β = −1α = 1, β = −1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)α = 1, β = 1α = 1, β = 1
Explanation
Exactness for f = 1 gives 2 = α + 1, so α = 1. For f = x it gives 0 = −α + β, so β = α = 1.f = 1 के लिए सटीकता से 2 = α + 1, अतः α = 1। f = x के लिए 0 = −α + β, अतः β = α = 1।
Q121BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The value of the integral
I = ∫₋₁¹ exp(x²) dx
using a rectangular rule is approximated as 2. Then, the approximation error |I − 2| lies in the intervalअभिन्न (समाकलन)
I = ∫₋₁¹ exp(x²) dx
का मूल्य एक आयताकार नियम का उपयोग करके 2 के रूप में अनुमानित किया गया है। फिर, सन्निकटन त्रुटि |I − 2| किस मध्यान्तर में स्थित है?
A(2e, 3e](2e, 3e]
B(2/3, 2e](2/3, 2e]
C(0, e/8](0, e/8]
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)(2/3, 2e](2/3, 2e]
Explanation
The true value is I ≈ 2.925 (from the series 2(1 + 1/3 + 1/10 + 1/42 + …)), so |I − 2| ≈ 0.925. This lies in (2/3, 2e] and not in the other two intervals.वास्तविक मान I ≈ 2.925 है (श्रेणी 2(1 + 1/3 + 1/10 + 1/42 + …) से), अतः |I − 2| ≈ 0.925। यह (2/3, 2e] में स्थित है, अन्य दो अंतरालों में नहीं।
Q122BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Which of the following is true?निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
AEvery linear programming problem has a feasible solutionप्रत्येक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का एक व्यवहार्य समाधान होता है
BIf a linear programming problem has an optimal solution then it is uniqueयदि एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का इष्टतम समाधान है, तो यह अद्वितीय है
CExtreme points of the disk x² + y² ≤ 1 are the points on the circle x² + y² = 1डिस्क x² + y² ≤ 1 के चरम बिन्दु वृत्त x² + y² = 1 पर बिन्दु हैं
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)Extreme points of the disk x² + y² ≤ 1 are the points on the circle x² + y² = 1डिस्क x² + y² ≤ 1 के चरम बिन्दु वृत्त x² + y² = 1 पर बिन्दु हैं
Explanation
Every boundary point of the closed unit disk cannot be written as a proper convex combination of two other points of the disk, so the extreme points are exactly the points of the circle. A problem can be infeasible, and optima need not be unique.बंद इकाई डिस्क का प्रत्येक सीमा-बिंदु डिस्क के दो अन्य बिंदुओं के उचित उत्तल संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता, अतः चरम बिंदु ठीक वृत्त के बिंदु हैं। कोई समस्या अव्यवहार्य हो सकती है और इष्टतम हल अद्वितीय होना आवश्यक नहीं।
Q123BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The Linear Programming Problem
Maximize z = x₁ + x₂
subject to
x₁ + 2x₂ ≤ 20
x₁ + x₂ ≤ 15
x₂ ≤ 6
x₁, x₂ ≥ 0रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या
Maximize z = x₁ + x₂
subject to
x₁ + 2x₂ ≤ 20
x₁ + x₂ ≤ 15
x₂ ≤ 6
x₁, x₂ ≥ 0
Ahas exactly one optimum solutionका बिल्कुल एक इष्टतम समाधान है
Bhas more than one optimum solutionके एक से अधिक इष्टतम समाधान हैं
Chas no solutionका कोई समाधान नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)has exactly one optimum solutionका बिल्कुल एक इष्टतम समाधान है
Explanation
Note: the official key gives (A), but the objective x₁ + x₂ is parallel to the constraint x₁ + x₂ ≤ 15. The vertices (15, 0) and (10, 5) are both feasible with z = 15 (the maximum), so every point on the segment joining them is optimal, which is option (B). Official key kept.टिप्पणी: आधिकारिक कुंजी (A) देती है, परंतु उद्देश्य फलन x₁ + x₂ और प्रतिबंध x₁ + x₂ ≤ 15 समानांतर हैं। शीर्ष (15, 0) और (10, 5) दोनों संभव हैं और दोनों पर z = 15 (अधिकतम) है, अतः उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंड का प्रत्येक बिंदु इष्टतम है, जो विकल्प (B) है। आधिकारिक कुंजी यथावत रखी गई है।
Q124BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The dual of the linear programming problem:
Minimize cᵀx subject to Ax ≥ b and x ≥ 0
isरैखिक प्रोग्रामिंग समस्या:
Minimize cᵀx subject to Ax ≥ b और x ≥ 0
का द्वैत है
Amaximize bᵀw subject to Aᵀw ≥ c and w ≥ 0maximize bᵀw subject to Aᵀw ≥ c और w ≥ 0
Bmaximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c and w ≥ 0maximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c और w ≥ 0
Cmaximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c and w is unrestrictedmaximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c और w अप्रतिबंधित है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)maximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c and w ≥ 0maximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c और w ≥ 0
Explanation
For a minimization problem with Ax ≥ b and x ≥ 0 (the canonical form), the dual is: maximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c, w ≥ 0.न्यूनतमीकरण समस्या Ax ≥ b, x ≥ 0 (मानक रूप) का द्वैत है: bᵀw अधिकतम करें, प्रतिबंध Aᵀw ≤ c, w ≥ 0।
Q125BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A transportation problem isपरिवहन की समस्या है
Adual problemदोहरी समस्या
Bnon-linear programming problemगैर-रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या
Cspecial case of linear programming problemरैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का विशेष मामला
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)special case of linear programming problemरैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का विशेष मामला
Explanation
A transportation problem has a linear cost objective and linear supply-demand constraints, so it is a special case of a linear programming problem.परिवहन समस्या में रैखिक लागत फलन और रैखिक पूर्ति-माँग प्रतिबंध होते हैं, अतः यह रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का विशेष मामला है।
Q126BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the map f : ℝ² → ℝ² defined by
f(x, y) = (3x − 2y + x², 4x + 5y + y²)
thenयदि मानचित्र f : ℝ² → ℝ² को
f(x, y) = (3x − 2y + x², 4x + 5y + y²)
द्वारा परिभाषित किया गया है, तब
Af is discontinuous at (0, 0)f, (0, 0) पर असंतत है
Bf is continuous at (0, 0) and all directional derivatives exist at (0, 0)f, (0, 0) पर संतत है और सभी दिशात्मक डेरिवेटिव (0, 0) पर मौजूद हैं
Cf is differentiable at (0, 0) but the derivative Df(0, 0) is not invertiblef, (0, 0) पर अवकलनीय है लेकिन डेरिवेटिव Df(0, 0) उलटा नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)f is continuous at (0, 0) and all directional derivatives exist at (0, 0)f, (0, 0) पर संतत है और सभी दिशात्मक डेरिवेटिव (0, 0) पर मौजूद हैं
Explanation
f is a polynomial map, so it is continuous and differentiable everywhere, and all directional derivatives exist. Df(0, 0) = [[3, −2], [4, 5]] has determinant 23 ≠ 0, so it is invertible and (C) is false.f बहुपदीय मानचित्र है, अतः सर्वत्र संतत और अवकलनीय है तथा सभी दिशात्मक डेरिवेटिव मौजूद हैं। Df(0, 0) = [[3, −2], [4, 5]] का सारणिक 23 ≠ 0 है, अतः यह उलटा है और (C) असत्य है।
Q127BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The function
f(x, y) = 3x²y + 4y³ − 3x² − 12y² + 1
has a saddle point atफ़ंक्शन
f(x, y) = 3x²y + 4y³ − 3x² − 12y² + 1
का एक सैडल बिन्दु है
A(0, 0)(0, 0) पर
B(0, 2)(0, 2) पर
C(−2, 1)(−2, 1) पर
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)(−2, 1)(−2, 1) पर
Explanation
fₓ = 6x(y − 1) and f_y = 3x² + 12y² − 24y give critical points (0, 0), (0, 2), (±2, 1). At (0, 0) the Hessian is diag(−6, −24), a maximum; at (0, 2) it is diag(6, 24), a minimum; at (−2, 1) it is [[0, −12], [−12, 0]] with negative determinant, a saddle.fₓ = 6x(y − 1) और f_y = 3x² + 12y² − 24y से क्रांतिक बिंदु (0, 0), (0, 2), (±2, 1) मिलते हैं। (0, 0) पर हेसियन diag(−6, −24) है (उच्चिष्ठ); (0, 2) पर diag(6, 24) है (निम्निष्ठ); (−2, 1) पर [[0, −12], [−12, 0]] है जिसका सारणिक ऋणात्मक है, अतः यह सैडल बिंदु है।
Q128BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let f(x, y) = x²y / (x² + y²) for (x, y) ≠ (0, 0). Thenमान लीजिए कि (x, y) ≠ (0, 0) के लिए f(x, y) = x²y / (x² + y²) है। तब
A∂f/∂x and f are bounded∂f/∂x और f परिबद्ध हैं
B∂f/∂x is bounded and f is unbounded∂f/∂x परिबद्ध है और f अपरिबद्ध है
Cf is continuousf संतत है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
The official key is (D), more than one of the above: both (B) and (C) are true. On x = y we get f = y/2, so f is unbounded, and ∂f/∂x = 2xy³/(x² + y²)² is bounded, so (B) is true; f is a quotient of continuous functions on its domain, so (C) is true as well.आधिकारिक कुंजी (D) है: (B) और (C) दोनों सत्य हैं। x = y पर f = y/2 है, अतः f अपरिबद्ध है, और ∂f/∂x = 2xy³/(x² + y²)² परिबद्ध है, इसलिए (B) सत्य है; अपने प्रांत में f संतत फलनों का भागफल है, अतः (C) भी सत्य है।
Q129BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let C be the circle (x − 1)² + y² = 1, oriented counter-clockwise. Then the value of the line integral
∫_C −(4/3)xy³ dx + x⁴ dy
isमान लीजिए C वृत्त (x − 1)² + y² = 1 है, जो वामावर्त दिशा में उन्मुख है। फिर लाइन इंटीग्रल
∫_C −(4/3)xy³ dx + x⁴ dy
का मान है
A6π6π
B8π8π
C12π12π
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)8π8π
Explanation
By Green's theorem the integral equals ∬(4x³ + 4xy²) dA = 4∬ x(x² + y²) dA over the disk. In polar form (r ≤ 2cos θ) this is 4∫ cos θ · (2cos θ)⁵/5 dθ = (128/5)∫cos⁶θ dθ over (−π/2, π/2) = (128/5)(5π/16) = 8π.ग्रीन प्रमेय से समाकलन डिस्क पर ∬(4x³ + 4xy²) dA = 4∬ x(x² + y²) dA है। ध्रुवीय रूप में (r ≤ 2cos θ) यह 4∫ cos θ · (2cos θ)⁵/5 dθ = (128/5)∫cos⁶θ dθ (−π/2 से π/2) = (128/5)(5π/16) = 8π है।
Q130BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The equation xy − z log y + e^(xz) = 1 can be solved in a neighbourhood of the point (0, 1, 1) as y = f(x, z) for some continuously differentiable function f. Thenयदि समीकरण xy − z log y + e^(xz) = 1 को बिन्दु (0, 1, 1) के पड़ोस में, y = f(x, z) के रूप में हल किया जा सकता है किसी निरंतर अवकलनीय फलन f के लिए, तो
A∇f(0, 1) = (2, 0)∇f(0, 1) = (2, 0)
B∇f(0, 1) = (0, 2)∇f(0, 1) = (0, 2)
C∇f(0, 1) = (0, 1)∇f(0, 1) = (0, 1)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
With F = xy − z log y + e^(xz) − 1, at (0, 1, 1): Fₓ = y + z e^(xz) = 2, F_y = x − z/y = −1, F_z = −log y + x e^(xz) = 0. So f_x = −Fₓ/F_y = 2 and f_z = −F_z/F_y = 0, giving ∇f(0, 1) = (2, 0).F = xy − z log y + e^(xz) − 1 के लिए (0, 1, 1) पर Fₓ = y + z e^(xz) = 2, F_y = x − z/y = −1, F_z = −log y + x e^(xz) = 0। अतः f_x = −Fₓ/F_y = 2 और f_z = −F_z/F_y = 0, इसलिए ∇f(0, 1) = (2, 0)।
Q131BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let V be the solid region in ℝ³ bounded by the paraboloid y = (x² + z²) and the plane y = 4. Then the value of
∭_V 15√(x² + z²) dV
isमान लीजिए V, ℝ³ में एक ठोस क्षेत्र है जो परवलयज y = (x² + z²) और समतल y = 4 से घिरा है। तो
∭_V 15√(x² + z²) dV
का मान है
A128π128π
B64π64π
C28π28π
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)128π128π
Explanation
Use cylindrical coordinates about the y-axis: r from 0 to 2 and y from r² to 4. The integral is 2π × 15 ∫₀² r · r (4 − r²) dr = 30π (32/3 − 32/5) = 30π × 64/15 = 128π.y-अक्ष के परितः बेलनाकार निर्देशांक लें: r 0 से 2 और y, r² से 4 तक। समाकलन 2π × 15 ∫₀² r · r (4 − r²) dr = 30π (32/3 − 32/5) = 30π × 64/15 = 128π है।
Q132BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Which of the following is the imaginary part of a possible value of ln(√i)?निम्नलिखित में से कौन-सा ln(√i) के संभावित मान का काल्पनिक भाग है?
Aππ
Bπ/2π/2
Cπ/4π/4
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)π/4π/4
Explanation
√i = e^(iπ/4) (or e^(i5π/4)), so ln(√i) = iπ/4 + 2πik, whose imaginary parts include π/4. π and π/2 are not of the form π/4 + 2πk or 5π/4 + 2πk.√i = e^(iπ/4) (या e^(i5π/4)), अतः ln(√i) = iπ/4 + 2πik, जिसके काल्पनिक भागों में π/4 आता है। π और π/2 रूप π/4 + 2πk या 5π/4 + 2πk के नहीं हैं।
Q133BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The principal value of (−1)^(−2i/π) is(−1)^(−2i/π) का प्रिन्सिपल मान है
Ae²ⁱe²ⁱ
Be²e²
Ce⁻²e⁻²
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)e²e²
Explanation
(−1)^w = exp(w · Log(−1)) = exp(w · iπ). With w = −2i/π this is exp((−2i/π)(iπ)) = e².(−1)^w = exp(w · Log(−1)) = exp(w · iπ)। w = −2i/π लेने पर यह exp((−2i/π)(iπ)) = e² है।
Q134BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The number of surjective maps from a set of 4 elements to a set of 3 elements is4 तत्त्वों के सेट से 3 तत्त्वों के सेट तक आच्छादी मानचित्रों की संख्या है
A3636
B6464
C6969
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)3636
Explanation
By inclusion-exclusion the count is 3⁴ − 3·2⁴ + 3·1⁴ = 81 − 48 + 3 = 36.समावेशन-अपवर्जन से संख्या 3⁴ − 3·2⁴ + 3·1⁴ = 81 − 48 + 3 = 36 है।
Q135BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Which of the following sets is countable?निम्नलिखित में से कौन-सा समुच्चय गणनीय है?
AThe set of all functions from ℝ to {0, 1}ℝ से {0, 1} तक सभी फंक्शन्स का समुच्चय
BThe set of all functions from ℕ to {0, 1}ℕ से {0, 1} तक सभी फंक्शन्स का समुच्चय
CThe set of all finite subsets of ℕℕ के सभी परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)The set of all finite subsets of ℕℕ के सभी परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय
Explanation
Functions from ℝ or ℕ to {0, 1} correspond to subsets of ℝ or ℕ, which are uncountable. The set of finite subsets of ℕ is a countable union of countable sets, hence countable.ℝ या ℕ से {0, 1} तक के फलन ℝ या ℕ के उपसमुच्चयों के संगत हैं, जो अगणनीय हैं। ℕ के परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय गणनीय समुच्चयों का गणनीय संघ है, अतः गणनीय है।
Q136BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The maximum number of positive real roots of the equation
2x⁷ − x⁴ + 4x³ − 5 = 0
isसमीकरण
2x⁷ − x⁴ + 4x³ − 5 = 0
के धनात्मक वास्तविक मूलों की अधिकतम संख्या है
A22
B33
C66
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)33
Explanation
By Descartes' rule of signs, the coefficient signs +, −, +, − have 3 sign changes, so there are at most 3 positive real roots.डेकार्ट के चिह्न नियम से गुणांकों के चिह्न +, −, +, − में 3 परिवर्तन हैं, अतः धनात्मक वास्तविक मूल अधिकतम 3 हैं।
Q137BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Find the shortest distance between the lines
(x − 8)/3 = (y + 9)/(−16) = (z − 10)/7 and
(x − 15)/3 = (y − 29)/8 = (z − 5)/(−5)निम्न रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
(x − 8)/3 = (y + 9)/(−16) = (z − 10)/7 और
(x − 15)/3 = (y − 29)/8 = (z − 5)/(−5)
A1616
B1414
C1515
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)1414
Explanation
d₁ × d₂ = (3, −16, 7) × (3, 8, −5) = (24, 36, 72) = 12(2, 3, 6), of magnitude 84. With a₂ − a₁ = (7, 38, −5), the scalar triple product is 12(14 + 114 − 30) = 1176, so the distance is 1176/84 = 14.d₁ × d₂ = (3, −16, 7) × (3, 8, −5) = (24, 36, 72) = 12(2, 3, 6), जिसका परिमाण 84 है। a₂ − a₁ = (7, 38, −5) के साथ अदिश त्रिक गुणनफल 12(14 + 114 − 30) = 1176 है, अतः दूरी 1176/84 = 14 है।
Q138BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
In polar coordinate system the component of velocity along radius vector and perpendicular to radius vector isध्रुवीय समन्वय प्रणाली में त्रिज्या वेक्टर के अनुदिश और त्रिज्या वेक्टर के लंबवत् वेग का घटक क्या है?
Adr/dt and r dθ/dtdr/dt और r dθ/dt
Bd²r/dt² and r² dθ/dtd²r/dt² और r² dθ/dt
Cdr/dt and (1/r) dθ/dtdr/dt और (1/r) dθ/dt
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)dr/dt and r dθ/dtdr/dt और r dθ/dt
Explanation
Velocity in polar coordinates is v = (dr/dt) r̂ + r (dθ/dt) θ̂, so the radial component is dr/dt and the transverse component is r dθ/dt.ध्रुवीय निर्देशांकों में वेग v = (dr/dt) r̂ + r (dθ/dt) θ̂ होता है, अतः त्रिज्य घटक dr/dt और अनुप्रस्थ घटक r dθ/dt है।
Q139BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Kepler's law of planetary motion are given below:
I. The square of the periodic time of planets are proportional to the cubes of the major axes of their orbits.
II. The radius vector drawn from the sun to the planet describes equal arc in equal time.
III. Each planet describes the ellipse having the sun in one of its foci.
The order of these three laws are as follows:ग्रहों की गति के बारे में केप्लर का नियम नीचे दिया गया है:
I. ग्रहों के आवर्त समय का वर्ग उनकी कक्षाओं के प्रमुख अक्षों के घनों के समानुपाती होता है।
II. सूर्य से ग्रह तक खींचा गया त्रिज्या वेक्टर समान समय में समान चाप का वर्णन करता है।
III. प्रत्येक ग्रह उस दीर्घवृत्त का वर्णन करता है जिसके एक केंद्र में सूर्य है।
इन तीनों नियमों का क्रम इस प्रकार है:
AI, II, IIII, II, III
BIII, II, IIII, II, I
CIII, I, IIIII, I, II
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)III, II, IIII, II, I
Explanation
Kepler's first law is the elliptical orbit (III), the second is equal areas in equal times (II), and the third is the period-axis relation T² ∝ a³ (I). The order is III, II, I.केप्लर का पहला नियम दीर्घवृत्तीय कक्षा (III), दूसरा समान समय में समान क्षेत्रफल (II) और तीसरा आवर्त-अक्ष संबंध T² ∝ a³ (I) है। अतः क्रम III, II, I है।
Q140BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
In planetary motionग्रहों की गति में
Athe total angular momentum remains constantकुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है
Bthe angular speed remains constantकोणीय गति स्थिर रहती है
Cthe linear speed remains constantरैखिक गति स्थिर रहती है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)the total angular momentum remains constantकुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है
Explanation
The gravitational force is central, so there is no torque about the Sun and the total angular momentum is conserved. The angular and linear speeds vary along the elliptical orbit.गुरुत्वाकर्षण बल केंद्रीय है, अतः सूर्य के परितः बल-आघूर्ण शून्य रहता है और कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। दीर्घवृत्तीय कक्षा में कोणीय और रैखिक चाल बदलती रहती हैं।
Q141BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A particle coming rest from infinity will reach the earth's surface with a velocityअनंत से विराम अवस्था में आने वाला एक कण किस वेग से पृथ्वी की सतह पर पहुँचेगा?
A√(gr)√(gr)
B√(2gr)√(2gr)
C2√(gr)2√(gr)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)√(2gr)√(2gr)
Explanation
By energy conservation, ½v² = GM/r = gr (with g = GM/r²), so v = √(2gr), the escape speed.ऊर्जा संरक्षण से ½v² = GM/r = gr (जहाँ g = GM/r²), अतः v = √(2gr), जो पलायन वेग है।
Q142BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The point in the immersed body through which the resultant pressure of the liquid may be taken to act is known asतरल पदार्थ का परिणामी दबाव डूबी हुई वस्तु में जिस बिन्दु के माध्यम से कार्य करता है उसे कहा जा सकता है
Acentre of gravityगुरुत्वाकर्षण का केन्द्र
Bcentre of depthगहराई का केन्द्र
Ccentre of pressureदबाव का केन्द्र
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)centre of pressureदबाव का केन्द्र
Explanation
By definition, the point through which the total (resultant) fluid pressure force on a submerged surface acts is the centre of pressure.परिभाषा के अनुसार, डूबी हुई सतह पर कुल (परिणामी) तरल दाब बल जिस बिंदु से होकर कार्य करता है, उसे दाब केन्द्र कहते हैं।
Q143BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
In an inclined plane submerged in water, the centre of pressure is locatedपानी में डूबे एक झुके हुए समतल में, दबाव का केन्द्र स्थित होता है
Aat the centroidकेन्द्रक पर
Bbelow the centroidकेन्द्रक के नीचे
Cabove the centroidकेन्द्रक के ऊपर
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)below the centroidकेन्द्रक के नीचे
Explanation
Pressure increases with depth, so the resultant acts below the centroid: depth of centre of pressure = h̄ + I_G sin²θ/(A h̄), which is greater than h̄.गहराई के साथ दाब बढ़ता है, अतः परिणामी बल केन्द्रक के नीचे लगता है: दाब केन्द्र की गहराई = h̄ + I_G sin²θ/(A h̄), जो h̄ से अधिक है।
Q144BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A fine uniform cycloidal tube is held with its axis vertical and vertex downwards and equal weights of two liquids occupy lengths a and b. Then the heights of the free surfaces of the liquids above the vertex are in the ratioएक फाइन यूनीफॉर्म साइक्लोइडल ट्यूब की धुरी ऊर्ध्वाधर और शीर्ष नीचे की ओर है और दो तरल पदार्थ समान वजन के हैं और लंबाई a और b पर कब्जा (occupy) करते हैं। शीर्ष के ऊपर तरल पदार्थों की मुक्त सतहों की ऊँचाई का अनुपात होता है
A(3a + b)² : (3b + a)²(3a + b)² : (3b + a)²
B(3a + b) : (3b + a)(3a + b) : (3b + a)
C(3b + a)² : (3a + b)²(3b + a)² : (3a + b)²
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
This is a standard result for a cycloidal tube with equal weights of two liquids; the official key gives (A), the ratio (3a + b)² : (3b + a)². (Not independently re-derived.)यह साइक्लोइडल नली में समान भार के दो तरलों का मानक परिणाम है; आधिकारिक कुंजी (A) देती है, अर्थात अनुपात (3a + b)² : (3b + a)²। (स्वतंत्र रूप से पुनः व्युत्पन्न नहीं किया गया।)
Q145BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A box contains 10 mangoes out of which 4 are rotten. 2 mangoes are taken out together. If one of them is found to be good, then probability that the other is also good isएक डिब्बे में 10 आम हैं जिनमें से 4 सड़े हुए हैं। 2 आम एक साथ निकाले जाते हैं। यदि उनमें से एक अच्छा पाया जाता है, तो संभावना यह कि दूसरा भी अच्छा है, क्या है?
A1/31/3
B8/158/15
C5/135/13
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)5/135/13
Explanation
Given at least one good: P(both good) = C(6,2)/C(10,2) = 15/45 and P(at least one good) = 1 − C(4,2)/45 = 39/45. The conditional probability is 15/39 = 5/13.कम से कम एक अच्छा होने पर: P(दोनों अच्छे) = C(6,2)/C(10,2) = 15/45 और P(कम से कम एक अच्छा) = 1 − C(4,2)/45 = 39/45। सप्रतिबंध प्रायिकता 15/39 = 5/13 है।
Q146BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let X has probability density function
f(x) = 0·75(1 − x²), x ∈ [−1, 1]; 0 otherwise
What is the probability of P(−1/2 ≤ X ≤ 1/2)?माना कि X में संभाव्यता घनत्व फलन है
f(x) = 0·75(1 − x²), x ∈ [−1, 1]; अन्यथा 0
प्रायिकता P(−1/2 ≤ X ≤ 1/2) क्या है?
A0·680·68
B0·600·60
C0·650·65
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)0·680·68
Explanation
P = 0.75 ∫ from −1/2 to 1/2 of (1 − x²) dx = 0.75 (1 − 1/12) = 0.6875, which is about 0.68 (the closest option).P = 0.75 ∫ (−1/2 से 1/2) (1 − x²) dx = 0.75 (1 − 1/12) = 0.6875, जो लगभग 0.68 है (निकटतम विकल्प)।
Q147BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
For a given probability distribution
f(x) = (1/8) C(3, x), x = 0, 1, 2, 3
for a random variable X, the moment generating function of this isकिसी दिए गए संभाव्यता वितरण
f(x) = (1/8) C(3, x), x = 0, 1, 2, 3
के लिए यादृच्छिक चर X का आघूर्ण-जनक फलन है
A(1 + eᵗ)²(1 + eᵗ)²
B(1/4) eᵗ(1/4) eᵗ
C(1/8)(1 + eᵗ)³(1/8)(1 + eᵗ)³
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Q148BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
What is the second moment about the origin for a random variable X with probability density?
f(x) = x/2, 0 < x < 2; 0 otherwiseनिम्न संभाव्यता घनत्व वाले यादृच्छिक चर X के मूल के बारे में दूसरा आघूर्ण क्या है?
f(x) = x/2, 0 < x < 2; अन्यथा 0
A22
B33
C44
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Q149BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
If X is a real valued random variable, then which of the following values cannot be attained by E(X) and E[X²] respectively?यदि X एक वास्तविक मूल्यवान यादृच्छिक चर है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा मान क्रमशः E(X) और E[X²] द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है?
A0 and 10 और 1
B2 and 52 और 5
C2 and 32 और 3
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)2 and 32 और 3
Explanation
Variance is non-negative, so E[X²] ≥ (E X)². For (2, 3) we would need 3 ≥ 4, which is false, so it cannot occur.प्रसरण ऋणेतर होता है, अतः E[X²] ≥ (E X)²। (2, 3) के लिए 3 ≥ 4 चाहिए जो असत्य है, इसलिए यह संभव नहीं है।
Q150BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A and B are two independent events with equal probabilities such that P(A ∪ B) = 0·75, thenA और B समान संभावनाओं वाली दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे कि P(A ∪ B) = 0·75, तो
AP(B) = 0·25P(B) = 0·25
BP(A) = 0·75P(A) = 0·75
CP(B) = 0·5P(B) = 0·5
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)P(B) = 0·5P(B) = 0·5
Explanation
Let P(A) = P(B) = p. Independence gives P(A ∪ B) = 1 − (1 − p)² = 0.75, so (1 − p)² = 0.25 and p = 0.5.मान लें P(A) = P(B) = p। स्वतंत्रता से P(A ∪ B) = 1 − (1 − p)² = 0.75, अतः (1 − p)² = 0.25 और p = 0.5।