Let the general integral of the partial differential equationमान लीजिए कि आंशिक अवकल समीकरण
Let the general integral of the partial differential equation
(2xy − 1) ∂z/∂x + (z − 2x²) ∂z/∂y = 2(x − yz)
be given by F(u, v) = 0, where F : ℝ² → ℝ is a continuously differentiable function.
(ℝ is the set of all real numbers and ℝ² = {(x, y) : x, y ∈ ℝ})
Then which of the following is true?
मान लीजिए कि आंशिक अवकल समीकरण
(2xy − 1) ∂z/∂x + (z − 2x²) ∂z/∂y = 2(x − yz)
का सामान्य समाकलन F(u, v) = 0 द्वारा दिया गया है, जहाँ F : ℝ² → ℝ एक निरंतर अवकलनीय फलन है।
(ℝ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और ℝ² = {(x, y) : x, y ∈ ℝ})
तो निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
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Correct answer: (A) u = x² + y² + z, v = xz + yu = x² + y² + z, v = xz + y
Explanation
u and v must be constant along the characteristics, i.e. satisfy (2xy − 1)uₓ + (z − 2x²)u_y + 2(x − yz)u_z = 0. For u = x² + y² + z this gives 2x(2xy − 1) + 2y(z − 2x²) + 2(x − yz) = 0, and likewise for v = xz + y, so (A) is correct.u और v को अभिलक्षणों के अनुदिश अचर होना चाहिए, अर्थात (2xy − 1)uₓ + (z − 2x²)u_y + 2(x − yz)u_z = 0। u = x² + y² + z के लिए 2x(2xy − 1) + 2y(z − 2x²) + 2(x − yz) = 0 मिलता है, और इसी प्रकार v = xz + y के लिए भी, अतः (A) सही है।