Let C be the circle (x − 1)² + y² = 1, oriented counter-clockwise. Then the value of the line integralमान लीजिए C वृत्त (x − 1)² + y² = 1 है, जो वामावर्त दिशा में उन्मुख है। फिर लाइन इंटीग्रल
Let C be the circle (x − 1)² + y² = 1, oriented counter-clockwise. Then the value of the line integral
∫_C −(4/3)xy³ dx + x⁴ dy
is
मान लीजिए C वृत्त (x − 1)² + y² = 1 है, जो वामावर्त दिशा में उन्मुख है। फिर लाइन इंटीग्रल
∫_C −(4/3)xy³ dx + x⁴ dy
का मान है
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Correct answer: (B) 8π8π
Explanation
By Green's theorem the integral equals ∬(4x³ + 4xy²) dA = 4∬ x(x² + y²) dA over the disk. In polar form (r ≤ 2cos θ) this is 4∫ cos θ · (2cos θ)⁵/5 dθ = (128/5)∫cos⁶θ dθ over (−π/2, π/2) = (128/5)(5π/16) = 8π.ग्रीन प्रमेय से समाकलन डिस्क पर ∬(4x³ + 4xy²) dA = 4∬ x(x² + y²) dA है। ध्रुवीय रूप में (r ≤ 2cos θ) यह 4∫ cos θ · (2cos θ)⁵/5 dθ = (128/5)∫cos⁶θ dθ (−π/2 से π/2) = (128/5)(5π/16) = 8π है।