Let φ : [0, 1] → ℝ be three times continuously differentiable. Suppose that the iterates defined by xₙ₊₁ = φ(xₙ), n ≥ 0 converge to the fixed point ξ of φ.…मान लीजिए φ : [0, 1] → ℝ तीन गुना निरंतर अवकलनीय है। मान लीजिए कि xₙ₊₁ = φ(xₙ), n ≥ 0 द्वारा परिभाषित पुनरावृत्त φ के निश्चित बिन्दु ξ पर एकत्रित होते हैं।…
Let φ : [0, 1] → ℝ be three times continuously differentiable. Suppose that the iterates defined by xₙ₊₁ = φ(xₙ), n ≥ 0 converge to the fixed point ξ of φ. If the order of convergence is three, then
मान लीजिए φ : [0, 1] → ℝ तीन गुना निरंतर अवकलनीय है। मान लीजिए कि xₙ₊₁ = φ(xₙ), n ≥ 0 द्वारा परिभाषित पुनरावृत्त φ के निश्चित बिन्दु ξ पर एकत्रित होते हैं। यदि अभिसरण का क्रम तीन है, तो
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Correct answer: (A) φ′(ξ) = 0, φ″(ξ) = 0φ′(ξ) = 0, φ″(ξ) = 0
Explanation
By Taylor expansion, convergence of order p requires the first p − 1 derivatives of φ to vanish at ξ and the p-th not to. For order three, φ′(ξ) = φ″(ξ) = 0 and φ‴(ξ) ≠ 0.टेलर प्रसार से, p क्रम के अभिसरण के लिए ξ पर φ के पहले p − 1 अवकलज शून्य होने चाहिए और p-वाँ शून्य नहीं। क्रम तीन के लिए φ′(ξ) = φ″(ξ) = 0 और φ‴(ξ) ≠ 0 होता है।