Question 89Asked in BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)

If R is a ring with unity, a, b ∈ R such that ab = 1, thenयदि R एकता वाला एक वलय है, a, b ∈ R जैसे कि ab = 1, तो

यदि R एकता वाला एक वलय है, a, b ∈ R जैसे कि ab = 1, तो
  1. Aba is an idempotent in R but (1 − ba) is notR में ba एक idempotent है लेकिन (1 − ba) नहीं है
  2. Bboth ba and (1 − ba) are idempotent elements in Rba और (1 − ba) दोनों R में idempotent element हैं
  3. Cneither ba nor (1 − ba) is an idempotent element in RR में न तो ba और न ही (1 − ba) कोई idempotent element है
  4. DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
  5. ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B) both ba and (1 − ba) are idempotent elements in Rba और (1 − ba) दोनों R में idempotent element हैं

Explanation

(ba)(ba) = b(ab)a = ba, so ba is idempotent. Then (1 − ba)² = 1 − 2ba + ba = 1 − ba, so 1 − ba is idempotent too.(ba)(ba) = b(ab)a = ba, अतः ba idempotent है। तब (1 − ba)² = 1 − 2ba + ba = 1 − ba, अतः 1 − ba भी idempotent है।

From BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam) — Previous Year Paper

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