Let V be an inner product space and let v₁, v₂, v₃ ∈ V be an orthogonal set of vectors. Which of the following statements is true?मान लीजिए V एक inner product space है और मान लीजिए v₁, v₂, v₃ ∈ V सदिशों का एक ऑर्थोगोनल सेट है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
मान लीजिए V एक inner product space है और मान लीजिए v₁, v₂, v₃ ∈ V सदिशों का एक ऑर्थोगोनल सेट है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
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Correct answer: (A) The vectors 5v₁ + 6v₂ + 7v₃, 5v₂ + v₃, v₂ + 3v₃ can be extended to a basis of V.वेक्टर 5v₁ + 6v₂ + 7v₃, 5v₂ + v₃, v₂ + 3v₃ को V के आधार तक बढ़ाया जा सकता है।
Explanation
Since v₁, v₂, v₃ are orthogonal (independent), the vectors in (A) are independent because their coefficient matrix has determinant 5(15 − 1) = 70 ≠ 0, so they extend to a basis. In (B) two vectors are equal, and in (C) the coefficient determinant is 0, so those sets are dependent.(A) के सदिशों के गुणांक आव्यूह का सारणिक 5·(15 − 1) = 70 ≠ 0 है, अतः वे रैखिकतः स्वतंत्र हैं और आधार तक बढ़ाए जा सकते हैं। (B) में दो सदिश समान हैं और (C) में गुणांक सारणिक 0 है, अतः वे आश्रित हैं।