Let gₙ(x) = nx / (1 + n²x²), x ∈ [0, ∞) Which of the following is true as n → ∞?मान लीजिए gₙ(x) = nx / (1 + n²x²), x ∈ [0, ∞)
Let gₙ(x) = nx / (1 + n²x²), x ∈ [0, ∞)
Which of the following is true as n → ∞?
मान लीजिए gₙ(x) = nx / (1 + n²x²), x ∈ [0, ∞)
n → ∞ होने पर निम्न में से कौन-सा सत्य है?
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Correct answer: (A) gₙ → 0 pointwise but not uniformlygₙ → 0 बिंदुवार लेकिन एकसमानतः नहीं
Explanation
For fixed x the limit is 0, but gₙ(1/n) = 1/2 for every n, so the sup-norm does not tend to 0. Hence convergence is pointwise only.स्थिर x के लिए सीमा 0 है, परंतु प्रत्येक n के लिए gₙ(1/n) = 1/2 है, अतः अधिकतम अंतर 0 की ओर नहीं जाता। इसलिए अभिसरण केवल बिंदुवार है।