Mathematics Previous Year Questions (page 11)

Explanation

(a⃗ + b⃗)·(a⃗ − b⃗) = |a⃗|² − |b⃗|² = (25 + 1 + 9) − (1 + 9 + 25) = 35 − 35 = 0, so the two vectors are perpendicular.(a⃗ + b⃗)·(a⃗ − b⃗) = |a⃗|² − |b⃗|² = (25 + 1 + 9) − (1 + 9 + 25) = 35 − 35 = 0, इसलिए दोनों सदिश लम्बवत् हैं।

Explanation

AB = (0, 1, 2) and AC = (1, 2, 0). AB × AC = (1·0 − 2·2, 2·1 − 0·0, 0·2 − 1·1) = (−4, 2, −1), whose magnitude is √(16 + 4 + 1) = √21. Area = (1/2)|AB × AC| = √21/2.AB = (0, 1, 2) और AC = (1, 2, 0)। AB × AC = (1·0 − 2·2, 2·1 − 0·0, 0·2 − 1·1) = (−4, 2, −1), जिसका परिमाण √(16 + 4 + 1) = √21 है। क्षेत्रफल = (1/2)|AB × AC| = √21/2।

Explanation

A line through the point with position vector a⃗ parallel to b⃗ is r⃗ = a⃗ + λb⃗, so r⃗ = i + 2j + 3k + λ(3i + 2j − 2k). (B) swaps point and direction, and the line in (C) does not pass through (1, 2, 3).स्थिति सदिश a⃗ वाले बिन्दु से गुजरने वाली तथा b⃗ के समानान्तर रेखा r⃗ = a⃗ + λb⃗ होती है, इसलिए r⃗ = i + 2j + 3k + λ(3i + 2j − 2k)। (B) में बिन्दु और दिशा आपस में बदल गए हैं, और (C) की रेखा (1, 2, 3) से होकर नहीं जाती।

Explanation

Lines are perpendicular when their direction ratios satisfy a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0: 7·1 + a·2 + 1·3 = 0, so 2a = −10 and a = −5.रेखाएँ तब लम्बवत् होती हैं जब उनके दिक्-अनुपात a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 को सन्तुष्ट करें: 7·1 + a·2 + 1·3 = 0, इसलिए 2a = −10 और a = −5।

Explanation

The origin (0, 0) satisfies every constraint, and the constraints bound a non-empty region in the first quadrant (vertices (0, 0), (20, 0), (10, 50), (0, 60)). So the region is feasible.मूल बिन्दु (0, 0) सभी बाध्यताओं को सन्तुष्ट करता है, और बाध्यताएँ प्रथम चतुर्थांश में एक अरिक्त क्षेत्र को घेरती हैं (शीर्ष (0, 0), (20, 0), (10, 50), (0, 60))। अतः क्षेत्र व्यवहार्य है।

Explanation

The corner points of the feasible region are (0, 0), (30, 0), (20, 30) and (0, 50). Z = 4x + y gives 0, 120, 110 and 50, so the maximum is 120 at (30, 0).सम्भाव्य क्षेत्र के कोने के बिन्दु (0, 0), (30, 0), (20, 30) और (0, 50) हैं। Z = 4x + y के मान क्रमशः 0, 120, 110 और 50 हैं, इसलिए अधिकतम मान (30, 0) पर 120 है।

Explanation

By the fundamental theorem of linear programming, the optimal value (if it exists) is attained at a corner point (vertex) of the feasible region, not at an interior point, the centre or outside the region. So the answer is (E).रैखिक प्रोग्रामन के मूल प्रमेय के अनुसार इष्टतम मान (यदि विद्यमान हो) सम्भाव्य क्षेत्र के कोने के बिन्दु (शीर्ष) पर प्राप्त होता है, न कि आन्तरिक बिन्दु, केन्द्र या क्षेत्र के बाहर। इसलिए उत्तर (E) है।

Explanation

The simplex method for solving linear programming problems was developed by George B. Dantzig in 1947. Kantorovich and Koopmans are known for earlier work on linear programming and resource allocation.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने की सिम्पलेक्स विधि जॉर्ज बी. डेन्जिग ने 1947 में विकसित की थी। कान्टोरोविच और कूपमेन्स रैखिक प्रोग्रामन और संसाधन आवंटन पर अपने पूर्व कार्य के लिए जाने जाते हैं।

Explanation

The objective function of an LPP is the linear function whose optimum is sought, which may be a maximum (e.g. profit) or a minimum (e.g. cost). So both (A) and (B) are correct - answer (D).रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देश्य फलन वह रैखिक फलन है जिसका इष्टतम मान ज्ञात करना होता है, जो महत्तम (जैसे लाभ) या न्यूनतम (जैसे लागत) हो सकता है। अतः (A) और (B) दोनों सही हैं - उत्तर (D)।

Explanation

{(x, y) : 2 ≤ y ≤ 4} is a horizontal strip, the intersection of two half-planes, so it is convex. The region outside a circle and the region outside the parabola y² = x are not convex (e.g. the segment joining (1, 0) and (−1, 0) passes through the excluded part).{(x, y) : 2 ≤ y ≤ 4} एक क्षैतिज पट्टी है, जो दो अर्ध-समतलों का सर्वनिष्ठ है, इसलिए उत्तल है। वृत्त के बाहर का क्षेत्र और परवलय y² = x के बाहर का क्षेत्र उत्तल नहीं हैं (जैसे (1, 0) और (−1, 0) को मिलाने वाला रेखाखण्ड बहिष्कृत भाग से होकर जाता है)।

Explanation

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.3 = 2/3.P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.3 = 2/3।

Explanation

There are 36 equally likely outcomes, and a sum of 7 comes from (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), i.e. 6 outcomes. Probability = 6/36 = 1/6.36 समसम्भाव्य परिणाम हैं, और योग 7 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) से आता है, अर्थात् 6 परिणाम। प्रायिकता = 6/36 = 1/6।

Explanation

A leap year has 366 days = 52 weeks + 2 days. The 2 extra days can be any of 7 consecutive pairs (Sun-Mon, ..., Sat-Sun), and Friday occurs in 2 of them (Thu-Fri, Fri-Sat). So P = 2/7.अधिवर्ष में 366 दिन = 52 सप्ताह + 2 दिन होते हैं। 2 अतिरिक्त दिन लगातार दिनों के 7 जोड़ों (रवि-सोम, ..., शनि-रवि) में से कोई भी हो सकते हैं, और शुक्रवार 2 जोड़ों (गुरु-शुक्र, शुक्र-शनि) में आता है। अतः P = 2/7।

Explanation

ALLAHABAD has 9 letters with A repeated 4 times and L twice. Number of arrangements = 9!/(4! · 2!) = 362880/48 = 7560.ALLAHABAD में 9 अक्षर हैं, जिनमें A चार बार और L दो बार आता है। विन्यासों की संख्या = 9!/(4! · 2!) = 362880/48 = 7560।

Explanation

P(A ∩ B)/P(B) = P(A ∩ B)/P(A). With P(A ∩ B) ≠ 0, this gives P(A) = P(B).P(A ∩ B)/P(B) = P(A ∩ B)/P(A)। P(A ∩ B) ≠ 0 होने पर P(A) = P(B) मिलता है।

Explanation

With no girls, all 4 members must be chosen from the 7 boys: ⁷C₄ = 7!/(4! · 3!) = 35.कोई लड़की न होने पर सभी 4 सदस्य 7 लड़कों में से चुने जाएँगे: ⁷C₄ = 7!/(4! · 3!) = 35।

Explanation

n people can be arranged around a circular table in (n − 1)! ways. Here n = 6 + 3 = 9, so the number of ways is 8!.n व्यक्तियों को गोल टेबल के चारों ओर (n − 1)! प्रकार से बैठाया जा सकता है। यहाँ n = 6 + 3 = 9, इसलिए प्रकारों की संख्या 8! है।

Explanation

Subtracting a constant from every observation reduces the mean by the same constant, so the new mean is 50 − 5 = 45.प्रत्येक प्रेक्षण में से कोई अचर घटाने पर माध्य भी उतना ही घट जाता है, इसलिए नया माध्य 50 − 5 = 45 है।

Explanation

The empirical relation for moderately skewed distributions is Mode = 3 Median − 2 Mean. Rearranging gives both Mean − Mode = 3(Mean − Median) and 3 Median = Mode + 2 Mean, so (A) and (B) are correct - answer (D).मध्यम रूप से विषम बंटनों के लिए आनुभविक सम्बन्ध बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर माध्य − बहुलक = 3(माध्य − माध्यिका) और 3 माध्यिका = बहुलक + 2 माध्य दोनों मिलते हैं, इसलिए (A) और (B) सही हैं - उत्तर (D)।

Explanation

The x⁶ term is the term with the highest power: ⁶C₀(2x)⁶(−3)⁰ = 64x⁶, so the coefficient is 64.x⁶ वाला पद उच्चतम घात वाला पद है: ⁶C₀(2x)⁶(−3)⁰ = 64x⁶, इसलिए गुणांक 64 है।

Explanation

Patna is the capital of Bihar.