521 Mathematics questions asked in BPSC TRE previous year papers, each with the correct answer and explanation. Read them free on UTpaper, or attempt the full papers as timed online tests.
If R is the set of real numbers and a mapping f : R → R is defined as f(x) = x − 2, ∀x ∈ R, then which elements satisfy the above relation?यदि R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा प्रतिचित्रण f : R → R, f(x) = x − 2, ∀x ∈ R से परिभाषित है, तब कौन-से अवयव उपर्युक्त सम्बन्ध को सन्तुष्ट करेंगे?
A(4, 2)(4, 2)
B(8, 6)(8, 6)
C(5, 3)(5, 3)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
A pair (x, f(x)) must satisfy f(x) = x − 2: f(4) = 2, f(8) = 6 and f(5) = 3. All three pairs belong to the relation, so the answer is (D).युग्म (x, f(x)) को f(x) = x − 2 सन्तुष्ट करना चाहिए: f(4) = 2, f(8) = 6 और f(5) = 3। तीनों युग्म इस सम्बन्ध के अवयव हैं, इसलिए उत्तर (D) है।
The sum of two roots of a quadratic equation is 5 and product is 6, then the equation will beकिसी वर्ग समीकरण के दो मूलों का योग 5 तथा गुणनफल 6 है, तब उसका समीकरण होगा
Ax² − 5x + 6 = 0x² − 5x + 6 = 0
Bx² + 5x − 6 = 0x² + 5x − 6 = 0
Cx² − 6x + 5 = 0x² − 6x + 5 = 0
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)x² − 5x + 6 = 0x² − 5x + 6 = 0
Explanation
A quadratic with sum of roots S and product P is x² − Sx + P = 0, i.e. x² − 5x + 6 = 0 (roots 2 and 3).मूलों के योग S और गुणनफल P वाला द्विघात समीकरण x² − Sx + P = 0 होता है, अर्थात् x² − 5x + 6 = 0 (मूल 2 और 3)।
If a + ib is one root of a polynomial f(x), then the value of f(a − ib) will beयदि a + ib किसी बहुपद f(x) का एक मूल है, तो f(a − ib) का मान होगा
Aa − iba − ib
Baa
Cbb
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
For a polynomial with real coefficients, complex roots occur in conjugate pairs, so a − ib is also a root and f(a − ib) = 0. Zero is not among (A)-(C), so the answer is (E).वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में आते हैं, इसलिए a − ib भी मूल है और f(a − ib) = 0। शून्य (A)-(C) में नहीं है, इसलिए उत्तर (E) है।
Number of positive roots of polynomial x³ − 3x² + x − 3 = 0, isबहुपद x³ − 3x² + x − 3 = 0 के धनात्मक मूल होंगे
AAt most 3 positive rootsअधिक से अधिक 3 धनात्मक मूल
BAt most 2 positive rootsअधिक से अधिक 2 धनात्मक मूल
CAll complex rootsसभी सम्मिश्र मूल
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
x³ − 3x² + x − 3 = x²(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(x² + 1), so the roots are 3, i and −i. The equation has exactly one positive root, which is not what (A)-(C) state, so the official key gives (E).x³ − 3x² + x − 3 = x²(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(x² + 1), इसलिए मूल 3, i और −i हैं। समीकरण का ठीक एक धनात्मक मूल है, जो (A)-(C) में कहा गया नहीं है, इसलिए आधिकारिक कुंजी के अनुसार उत्तर (E) है।
Solution of congruence relation 2x ≡ 1 (mod 7) isसर्वांगसम सम्बन्ध 2x ≡ 1 (mod 7) का हल है
A44
B22
C11
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)44
Explanation
We need 2x − 1 to be divisible by 7. For x = 4, 2x = 8 ≡ 1 (mod 7), so x ≡ 4 (mod 7).2x − 1 का 7 से विभाज्य होना आवश्यक है। x = 4 के लिए 2x = 8 ≡ 1 (mod 7), इसलिए x ≡ 4 (mod 7)।
If [·] represents greatest integer function then the value of [5.7] + [3.2] isयदि [·] महत्तम पूर्णांक फलन को प्रदर्शित करता है, तब [5.7] + [3.2] का मान होगा
A99
B1010
C88
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)88
Explanation
The greatest integer function gives the largest integer not exceeding the number: [5.7] = 5 and [3.2] = 3, so the sum is 8.महत्तम पूर्णांक फलन संख्या से अधिक न होने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक देता है: [5.7] = 5 और [3.2] = 3, इसलिए योग 8 है।
If “a” is divided by “p” then remainder is 5. If a² is divided by “p” then remainder will beयदि “a” को “p” से भाग दिया जाता है तो शेषफल 5 होता है। यदि a² को “p” से भाग दिया जाता है तो शेषफल होगा
A55
B2525
C125125
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
If a = kp + 5, then a² = p(k²p + 10k) + 25, so a² leaves the same remainder as 25 on division by p. That remainder depends on p (e.g. p = 7 gives 4, p = 6 gives 1, only p > 25 gives 25), so no fixed option is correct and the official key gives (E).यदि a = kp + 5, तो a² = p(k²p + 10k) + 25, इसलिए a² को p से भाग देने पर वही शेषफल बचता है जो 25 को p से भाग देने पर। यह शेषफल p पर निर्भर करता है (जैसे p = 7 पर 4, p = 6 पर 1, केवल p > 25 पर 25), इसलिए कोई निश्चित विकल्प सही नहीं है और आधिकारिक कुंजी (E) देती है।
Two numbers are in the ratio 2 : 3, if the product of LCM and HCF is 294, then the numbers will beदो संख्याओं का अनुपात 2 : 3 है, यदि उनके लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक का गुणनफल 294 है, तो वे संख्याएँ होंगी
A2, 32, 3
B14, 2114, 21
C10, 1510, 15
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)14, 2114, 21
Explanation
LCM × HCF = product of the numbers, so (2k)(3k) = 6k² = 294, giving k² = 49 and k = 7. The numbers are 14 and 21.ल.स. × म.स. = संख्याओं का गुणनफल, इसलिए (2k)(3k) = 6k² = 294, जिससे k² = 49 और k = 7। संख्याएँ 14 और 21 हैं।
Which of the following is a set?निम्नलिखित में से कौन-सा समुच्चय है?
ASet of vowels in alphabetsअंग्रेजी वर्णमाला में स्वरों का समुच्चय
BCollection of months in a yearएक वर्ष में सभी माहों का संग्रह
CSet of natural numbers less than 10प्राकृत संख्याएँ जो 10 से कम हों
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
A set is a well-defined collection of objects. Vowels of the English alphabet, months of a year and natural numbers less than 10 are all well defined, so all three are sets - answer (D).समुच्चय वस्तुओं का सुपरिभाषित संग्रह होता है। अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर, एक वर्ष के माह और 10 से कम प्राकृत संख्याएँ, तीनों सुपरिभाषित हैं, इसलिए तीनों समुच्चय हैं - उत्तर (D)।
If A and B are two non-empty sets then which option is correct?यदि A तथा B कोई दो अरिक्त समुच्चय हैं तो कौन-सा विकल्प सत्य है?
AA − B = A ∩ (Bᶜ)A − B = A ∩ (Bᶜ)
BA − B = B ∩ (Aᶜ)A − B = B ∩ (Aᶜ)
CA − B = (A ∩ B)ᶜA − B = (A ∩ B)ᶜ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)A − B = A ∩ (Bᶜ)A − B = A ∩ (Bᶜ)
Explanation
A − B is the set of elements that are in A but not in B, i.e. in A and in the complement of B. Hence A − B = A ∩ Bᶜ.A − B उन अवयवों का समुच्चय है जो A में हैं पर B में नहीं, अर्थात् A में और B के पूरक में हैं। अतः A − B = A ∩ Bᶜ।
If A = {1, 2, 3} and B = {4, 5, 6}, the maximum number of possible functions from A to B isयदि A = {1, 2, 3} तथा B = {4, 5, 6}, तब A से B तक सभी सम्भावित फलनों की अधिकतम संख्या होगी
A33
B66
C2727
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)2727
Explanation
Each of the 3 elements of A can be mapped to any of the 3 elements of B, so the number of functions is 3³ = 27.A के 3 अवयवों में से प्रत्येक को B के 3 अवयवों में से किसी पर भी प्रतिचित्रित किया जा सकता है, इसलिए फलनों की संख्या 3³ = 27 है।
The value of lim(x→0) (log sin 2x)/(log sin x) islim(x→0) (log sin 2x)/(log sin x) का मान होगा
A11
B22
C44
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)11
Explanation
Both numerator and denominator → −∞, so use L'Hospital's rule: the ratio of derivatives is (2 cot 2x)/(cot x) = 2 tan x / tan 2x → 2 · (1/2) = 1 as x → 0.अंश और हर दोनों → −∞ हैं, इसलिए L'Hospital नियम लगाएँ: अवकलजों का अनुपात (2 cot 2x)/(cot x) = 2 tan x / tan 2x → 2 · (1/2) = 1, जब x → 0।
Which one is not differentiable at point x = 1?निम्नलिखित में कौन-सा, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है?
Af(x) = |x − 1|, x ∈ Rf(x) = |x − 1|, x ∈ R
Bf(x) = [x], x ∈ Rf(x) = [x], x ∈ R
Cf(x) = 1 + (1 − x)^(1/3), x ∈ Rf(x) = 1 + (1 − x)^(1/3), x ∈ R
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
|x − 1| has a corner at x = 1 (left derivative −1, right derivative +1); [x] jumps at the integer 1, so it is not even continuous there; and 1 + (1 − x)^(1/3) has derivative −(1/3)(1 − x)^(−2/3), which is infinite at x = 1. All three fail, so (D).|x − 1| का x = 1 पर कोना है (बायाँ अवकलज −1, दायाँ अवकलज +1); [x] पूर्णांक 1 पर छलांग लगाता है, इसलिए वहाँ संतत भी नहीं है; और 1 + (1 − x)^(1/3) का अवकलज −(1/3)(1 − x)^(−2/3) है, जो x = 1 पर अनन्त है। तीनों असफल होते हैं, इसलिए (D)।
Differentiation of xˣ with respect to x, isxˣ का x के सापेक्ष अवकलन है
Axˣ(1 + logₑ x)xˣ(1 + logₑ x)
Bxˣ(1 − logₑ x)xˣ(1 − logₑ x)
Cx⁻ˣx⁻ˣ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)xˣ(1 + logₑ x)xˣ(1 + logₑ x)
Explanation
Let y = xˣ, so log y = x log x. Differentiating, (1/y) dy/dx = log x + 1, hence dy/dx = xˣ(1 + logₑ x).मान लें y = xˣ, तो log y = x log x। अवकलन करने पर (1/y) dy/dx = log x + 1, इसलिए dy/dx = xˣ(1 + logₑ x)।
Value of integral ∫₋₁¹ sin⁵x · cos⁴x dx, isसमाकलन ∫₋₁¹ sin⁵x · cos⁴x dx का मान है
Aπ/2π/2
Bπ/4π/4
C00
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)00
Explanation
f(x) = sin⁵x cos⁴x satisfies f(−x) = −f(x), so it is an odd function. The integral of an odd function over a symmetric interval [−1, 1] is 0.f(x) = sin⁵x cos⁴x के लिए f(−x) = −f(x), अतः यह विषम फलन है। सममित अन्तराल [−1, 1] पर विषम फलन का समाकल 0 होता है।
The value of ∫₀^(π/2) √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) dx, is∫₀^(π/2) √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) dx का मान है
Aπ/4π/4
Bπ/2π/2
Cππ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)π/4π/4
Explanation
Let I be the integral. Using ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx, I = ∫₀^(π/2) √(cos x)/(√(cos x) + √(sin x)) dx. Adding, 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, so I = π/4.समाकल को I मानें। ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx के प्रयोग से I = ∫₀^(π/2) √(cos x)/(√(cos x) + √(sin x)) dx। जोड़ने पर 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, अतः I = π/4।
The area enclosed by the circle x² + y² = 16, in the first quadrant isवृत्त x² + y² = 16 द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरा क्षेत्रफल है
Aππ
B2π2π
C3π3π
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
The circle has radius 4 and area π·4² = 16π. The first quadrant holds one quarter of it, i.e. 4π, which is not among (A)-(C), so the answer is (E).वृत्त की त्रिज्या 4 है और क्षेत्रफल π·4² = 16π। प्रथम चतुर्थांश में इसका चौथाई भाग, अर्थात् 4π है, जो (A)-(C) में नहीं है, इसलिए उत्तर (E) है।
If x and y are any two real numbers, x > 0, there exists a positive integer n, then Archimedean property isयदि x और y कोई दो वास्तविक संख्याएँ हैं, x > 0, तब एक धनात्मक पूर्णांक n ऐसा है कि आर्किमिडीज गुण के अनुसार
Anx < ynx < y
Bnx > ynx > y
Cnx = ynx = y
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)nx > ynx > y
Explanation
The Archimedean property of real numbers states that for any x > 0 and any real y there is a positive integer n such that nx > y.वास्तविक संख्याओं का आर्किमिडीज गुण कहता है कि किसी भी x > 0 और किसी भी वास्तविक y के लिए एक धनात्मक पूर्णांक n ऐसा होता है कि nx > y।
Consider a function f(x) = x³ + 3 for x ≠ 0, and f(x) = 1 for x = 0, then which is true?माना f(x) = x³ + 3, x ≠ 0 के लिए तथा f(x) = 1, x = 0 के लिए, तब निम्न में से कौन-सा विकल्प सही है?
Af(x) is continuous at x = 0f(x), x = 0 पर संतत है
Bf(x) is differentiable at x = 0f(x), x = 0 पर अवकलनीय है
CCould not say about continuityसंतता के लिए कहा नहीं जा सकता
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
lim(x→0) f(x) = 0 + 3 = 3, but f(0) = 1, so f is not continuous at 0, and hence not differentiable there either. We can definitely say it is discontinuous, so none of (A)-(C) is true - answer (E).lim(x→0) f(x) = 0 + 3 = 3, परन्तु f(0) = 1, इसलिए f, 0 पर संतत नहीं है और अतः वहाँ अवकलनीय भी नहीं है। हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि यह असंतत है, इसलिए (A)-(C) में से कोई सही नहीं है - उत्तर (E)।
Which statement is not correct?कौन-सा कथन सही नहीं है?
AEvery continuous function is differentiableप्रत्येक संतत फलन अवकलनीय है
BEvery differentiable function is continuousप्रत्येक अवकलनीय फलन संतत है
CEvery polynomial is continuous function for real numberप्रत्येक बहुपद वास्तविक मानों के लिए संतत फलन है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)Every continuous function is differentiableप्रत्येक संतत फलन अवकलनीय है
Explanation
Differentiability implies continuity, and polynomials are continuous everywhere, so (B) and (C) are true. But continuity does not imply differentiability - e.g. |x| is continuous but not differentiable at 0 - so (A) is the incorrect statement.अवकलनीयता से संततता प्राप्त होती है और बहुपद हर जगह संतत होते हैं, इसलिए (B) और (C) सत्य हैं। परन्तु संततता से अवकलनीयता नहीं मिलती - जैसे |x| संतत है पर 0 पर अवकलनीय नहीं - इसलिए (A) असत्य कथन है।
Which option is not correct?कौन-सा विकल्प सही नहीं है?
AEvery bounded above set exists its supremumप्रत्येक उपरि परिबद्ध समुच्चय के लिए उसके उच्चक का अस्तित्व होता है
BEvery bounded below set exists its infimumप्रत्येक निम्न परिबद्ध समुच्चय के लिए उसके निम्नक का अस्तित्व होता है
CEvery bounded set exists its supremum and infimumप्रत्येक परिबद्ध समुच्चय के लिए उसके उच्चक और निम्नक का अस्तित्व होता है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
By the completeness (least upper bound) property of real numbers, every non-empty set bounded above has a supremum, and likewise every non-empty set bounded below has an infimum; so a bounded set has both. All three statements are correct, so none is 'not correct' - answer (E).वास्तविक संख्याओं के पूर्णता (न्यूनतम उपरि सीमा) गुण के अनुसार प्रत्येक अरिक्त उपरि परिबद्ध समुच्चय का उच्चक होता है, और उसी प्रकार प्रत्येक अरिक्त निम्न परिबद्ध समुच्चय का निम्नक होता है; अतः परिबद्ध समुच्चय के दोनों होते हैं। तीनों कथन सही हैं, इसलिए कोई भी 'सही नहीं' नहीं है - उत्तर (E)।
Order and degree of the equation d²y/dx² = (dy/dx)^(1/3) + y, isअवकल समीकरण d²y/dx² = (dy/dx)^(1/3) + y की कोटि और घात हैं
A(2, 1)(2, 1)
B(3, 2)(3, 2)
C(2, 3)(2, 3)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)(2, 3)(2, 3)
Explanation
Rewrite as d²y/dx² − y = (dy/dx)^(1/3) and cube both sides to remove the fractional power: (d²y/dx² − y)³ = dy/dx. The highest derivative is second order and it appears to the power 3, so order = 2 and degree = 3.इसे d²y/dx² − y = (dy/dx)^(1/3) लिखें और भिन्नात्मक घात हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करें: (d²y/dx² − y)³ = dy/dx। उच्चतम अवकलज द्वितीय कोटि का है और उसकी घात 3 है, इसलिए कोटि = 2 और घात = 3।
What is the equation of a curve passing through (−2, 3), given that the slope of the tangent to the curve at any point (x, y) is 2x/y²?उस वक्र का समीकरण क्या है जो (−2, 3) से होकर जाता है तथा किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता 2x/y² है?
Ay³ = 3x² + 15y³ = 3x² + 15
By² = 3x³ + 5y² = 3x³ + 5
Cx² + y² = 25x² + y² = 25
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)y³ = 3x² + 15y³ = 3x² + 15
Explanation
dy/dx = 2x/y² gives y² dy = 2x dx, so y³/3 = x² + c, i.e. y³ = 3x² + C. At (−2, 3): 27 = 12 + C, so C = 15 and the curve is y³ = 3x² + 15.dy/dx = 2x/y² से y² dy = 2x dx, इसलिए y³/3 = x² + c, अर्थात् y³ = 3x² + C। (−2, 3) पर: 27 = 12 + C, अतः C = 15 और वक्र y³ = 3x² + 15 है।
Solution of the differential equation dy/dx − y/x = 2x², isअवकल समीकरण dy/dx − y/x = 2x² का हल है
Ay = x² + cy = x² + c
By = x + cy = x + c
Cy = x³ + cxy = x³ + cx
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)y = x³ + cxy = x³ + cx
Explanation
This is linear with P = −1/x, so the integrating factor is e^(−log x) = 1/x. Then d(y/x)/dx = 2x, so y/x = x² + c and y = x³ + cx.यह रैखिक समीकरण है जिसमें P = −1/x, इसलिए समाकलन गुणक e^(−log x) = 1/x है। तब d(y/x)/dx = 2x, अतः y/x = x² + c और y = x³ + cx।
General solution of equation y = px + p², where p = dy/dx, isसमीकरण y = px + p², जहाँ p = dy/dx, का व्यापक हल है
Ay = cx + 2cy = cx + 2c
By = cx + c²y = cx + c²
Cy = x² + cy = x² + c
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)y = cx + c²y = cx + c²
Explanation
y = px + f(p) is Clairaut's equation, whose general solution is obtained by replacing p with an arbitrary constant c: y = cx + c².y = px + f(p) क्लेरो समीकरण है, जिसका व्यापक हल p के स्थान पर स्वेच्छ अचर c रखने से मिलता है: y = cx + c²।
How many arbitrary constants are there in the general solution of the differential equation of order three (3)?कोटि तीन (3) के अवकल समीकरण के व्यापक हल में कितने स्वेच्छ अचर होते हैं?
A11
B22
C33
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)33
Explanation
The general solution of an nth-order differential equation contains n independent arbitrary constants, so a third-order equation has 3.nवीं कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में n स्वतंत्र स्वेच्छ अचर होते हैं, इसलिए तृतीय कोटि के समीकरण में 3 होते हैं।
The locus of solution of differential equation x dx − y dy = 0, represents a family ofअवकल समीकरण x dx − y dy = 0 के हल का बिन्दु पथ किसका कुल निरूपित करता है?
AEllipseदीर्घवृत्त
BHyperbolaअतिपरवलय
CParabolaपरवलय
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)Hyperbolaअतिपरवलय
Explanation
Integrating x dx = y dy gives x²/2 − y²/2 = c, i.e. x² − y² = k, which is a family of (rectangular) hyperbolas.x dx = y dy का समाकलन करने पर x²/2 − y²/2 = c, अर्थात् x² − y² = k, जो (आयताकार) अतिपरवलयों का कुल है।
Solution of differential equation x dy + y dx = 0 is a curve, which is symmetric with respect toअवकल समीकरण x dy + y dx = 0 का हल एक वक्र है, जो किसके सापेक्ष सममित है?
Ax = 0x = 0
By = 0y = 0
Cy = xy = x
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)y = xy = x
Explanation
x dy + y dx = d(xy) = 0, so xy = c, a rectangular hyperbola. Swapping x and y leaves xy = c unchanged, so the curve is symmetric about the line y = x (replacing x by −x alone changes it, so it is not symmetric about x = 0 or y = 0).x dy + y dx = d(xy) = 0, इसलिए xy = c, जो आयताकार अतिपरवलय है। x और y को आपस में बदलने पर xy = c अपरिवर्तित रहता है, इसलिए वक्र रेखा y = x के सापेक्ष सममित है (अकेले x को −x करने पर यह बदल जाता है, अतः यह x = 0 या y = 0 के सापेक्ष सममित नहीं है)।
The nature of function f(x) = sin 3x, in [0, π/6] isफलन f(x) = sin 3x की प्रकृति अन्तराल [0, π/6] में है
ADecreasingघटते क्रम में
BIncreasingबढ़ते क्रम में
CNeither decreasing nor increasingन तो घटते क्रम में और न ही बढ़ते क्रम में
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)Increasingबढ़ते क्रम में
Explanation
f′(x) = 3 cos 3x. For x in [0, π/6], 3x lies in [0, π/2] where cos 3x ≥ 0, so f is increasing on the interval.f′(x) = 3 cos 3x। [0, π/6] में x के लिए 3x, [0, π/2] में होता है जहाँ cos 3x ≥ 0, इसलिए f इस अन्तराल में बढ़ता हुआ है।
Minimum value of f(x) = |x − 3| attains at the pointफलन f(x) = |x − 3| का न्यूनतम मान निम्न में से किस बिन्दु पर प्राप्त होता है?
Ax = 1x = 1
Bx = 2x = 2
Cx = 3x = 3
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)x = 3x = 3
Explanation
|x − 3| ≥ 0 for all x and equals 0 only when x = 3, so the minimum value 0 is attained at x = 3.सभी x के लिए |x − 3| ≥ 0 और यह केवल x = 3 पर 0 होता है, इसलिए न्यूनतम मान 0, x = 3 पर प्राप्त होता है।
Maximum value of f(x) = 3x⁴ + 4x³ − 12x² + 12, isफलन f(x) = 3x⁴ + 4x³ − 12x² + 12 का महत्तम मान है
A1919
B1212
C0909
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)1212
Explanation
f′(x) = 12x³ + 12x² − 24x = 12x(x + 2)(x − 1), so the critical points are x = −2, 0, 1. f″(x) = 36x² + 24x − 24 is negative at x = 0, so x = 0 gives the (local) maximum f(0) = 12; x = −2 and x = 1 are minima (f = −20 and 7). The function has no absolute maximum, so the question refers to the local maximum value 12.f′(x) = 12x³ + 12x² − 24x = 12x(x + 2)(x − 1), इसलिए क्रान्तिक बिन्दु x = −2, 0, 1 हैं। f″(x) = 36x² + 24x − 24, x = 0 पर ऋणात्मक है, इसलिए x = 0 पर (स्थानीय) महत्तम f(0) = 12 है; x = −2 और x = 1 पर न्यूनतम हैं (f = −20 और 7)। फलन का कोई निरपेक्ष महत्तम नहीं है, इसलिए प्रश्न स्थानीय महत्तम मान 12 से सम्बन्धित है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)x(log x − 1) + cx(log x − 1) + c
Explanation
Integrate by parts with u = log x, dv = dx: ∫log x dx = x log x − ∫x · (1/x) dx = x log x − x + c = x(log x − 1) + c.u = log x, dv = dx लेकर खण्डशः समाकलन करने पर ∫log x dx = x log x − ∫x · (1/x) dx = x log x − x + c = x(log x − 1) + c।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
(1 + i)² = 2i, so (1 + i)⁴ = (2i)² = −4. Also 4e^(iπ) = 4(cos π + i sin π) = −4, while −4e^(−iπ/2) = −4(−i) = 4i. So both (A) and (B) are correct - answer (D).(1 + i)² = 2i, इसलिए (1 + i)⁴ = (2i)² = −4। साथ ही 4e^(iπ) = 4(cos π + i sin π) = −4, जबकि −4e^(−iπ/2) = −4(−i) = 4i। अतः (A) और (B) दोनों सही हैं - उत्तर (D)।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)π/2π/2
Explanation
i = 0 + 1·i lies on the positive imaginary axis, i.e. i = cos(π/2) + i sin(π/2), so its (principal) argument is π/2.i = 0 + 1·i धनात्मक काल्पनिक अक्ष पर स्थित है, अर्थात् i = cos(π/2) + i sin(π/2), इसलिए इसका (मुख्य) कोणांक π/2 है।
Modulus of a + 3i is 5, then the value of a will bea + 3i का मापांक 5 है, तो a का मान होगा
A44
B−4−4
C22
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
|a + 3i| = √(a² + 9) = 5 gives a² = 16, so a = 4 or a = −4. Both (A) and (B) are possible, so the answer is (D).|a + 3i| = √(a² + 9) = 5 से a² = 16, इसलिए a = 4 या a = −4। (A) और (B) दोनों सम्भव हैं, इसलिए उत्तर (D) है।
Value of 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³, is1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ का मान है
An(n + 1)/2n(n + 1)/2
Bn(n + 1)(n + 2)/6n(n + 1)(n + 2)/6
Cn(n + 1)(2n + 1)/6n(n + 1)(2n + 1)/6
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
The sum of the first n cubes is [n(n + 1)/2]². (A) is the sum of the first n natural numbers and (C) is the sum of squares, so none of the options is correct - (E).प्रथम n घनों का योग [n(n + 1)/2]² है। (A) प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग है और (C) वर्गों का योग है, इसलिए कोई भी विकल्प सही नहीं है - (E)।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)e^(−π/2)e^(−π/2)
Explanation
With the principal value, i = e^(iπ/2), so iⁱ = e^(i · iπ/2) = e^(−π/2), a real number.मुख्य मान लेने पर i = e^(iπ/2), इसलिए iⁱ = e^(i · iπ/2) = e^(−π/2), जो एक वास्तविक संख्या है।
If A′ is set of all limit points of a set A and Ā is closure of A, then which option is correct?यदि A′ समुच्चय A के सभी सीमा बिन्दुओं का समुच्चय है तथा Ā, A का संवरक है, तो कौन-सा विकल्प सही है?
AĀ = A ∪ A′Ā = A ∪ A′
BĀ = A ∩ A′Ā = A ∩ A′
CĀ = A′ ∪ AĀ = A′ ∪ A
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
The closure of a set is the set together with all its limit points: Ā = A ∪ A′. Since union is commutative, A′ ∪ A is the same set, so both (A) and (C) are correct - answer (D).किसी समुच्चय का संवरक वह समुच्चय है जिसमें स्वयं वह और उसके सभी सीमा बिन्दु हों: Ā = A ∪ A′। संघ क्रमविनिमेय है, इसलिए A′ ∪ A वही समुच्चय है, अतः (A) और (C) दोनों सही हैं - उत्तर (D)।
If x ∈ (a, b], then which option is correct?यदि x ∈ (a, b], तब कौन-सा विकल्प सही है?
Aa ≤ x < ba ≤ x < b
Ba < x ≤ ba < x ≤ b
Ca ≤ x ≤ ba ≤ x ≤ b
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)a < x ≤ ba < x ≤ b
Explanation
In the interval (a, b], the round bracket excludes a and the square bracket includes b, so a < x ≤ b.अन्तराल (a, b] में गोल कोष्ठक a को शामिल नहीं करता और वर्ग कोष्ठक b को शामिल करता है, इसलिए a < x ≤ b।
Which one is null set?निम्न में से कौन-सा रिक्त समुच्चय है?
A{ }{ }
B{φ}{φ}
C{a}{a}
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A){ }{ }
Explanation
{ } has no element, so it is the null (empty) set. {φ} contains one element (the empty set) and {a} contains a, so both are non-empty.{ } में कोई अवयव नहीं है, इसलिए यह रिक्त (शून्य) समुच्चय है। {φ} में एक अवयव (रिक्त समुच्चय) है और {a} में a है, इसलिए दोनों अरिक्त हैं।
Removing only the point 0 from [−1, 1] keeps both end points −1 and 1, so the set is [−1, 0) ∪ (0, 1]. (A) still contains 0 and (B) loses −1 and 1.[−1, 1] में से केवल बिन्दु 0 हटाने पर दोनों अन्त बिन्दु −1 और 1 बने रहते हैं, इसलिए समुच्चय [−1, 0) ∪ (0, 1] है। (A) में अब भी 0 है और (B) में −1 और 1 नहीं हैं।
For what value of “a” are the vectors 2i − j + k, i − 3j − 5k and 3i − 4j + ak coplanar?“a” के किस मान के लिए सदिश 2i − j + k, i − 3j − 5k तथा 3i − 4j + ak समतलीय हैं?
A44
B−4−4
C55
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)−4−4
Explanation
Three vectors are coplanar when their scalar triple product is zero: |2 −1 1; 1 −3 −5; 3 −4 a| = 2(−3a − 20) + 1(a + 15) + 1(−4 + 9) = −5a − 20 = 0, so a = −4.तीन सदिश समतलीय होते हैं जब उनका अदिश त्रिगुणनफल शून्य हो: |2 −1 1; 1 −3 −5; 3 −4 a| = 2(−3a − 20) + 1(a + 15) + 1(−4 + 9) = −5a − 20 = 0, इसलिए a = −4।
If position vectors of two points A and B are i + 2j − k and −i + j + k respectively, point Q divides line AB externally in ratio 2 : 1, then position vector of the point Q isबिन्दु A तथा B के स्थिति सदिश क्रमशः i + 2j − k तथा −i + j + k हैं, बिन्दु Q रेखा AB को बाह्यतः 2 : 1 में विभाजित करता है, तो बिन्दु Q का स्थिति सदिश होगा
A−3i + 3k−3i + 3k
B−3j + 3k−3j + 3k
C3i − 3j − 3k3i − 3j − 3k
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)−3i + 3k−3i + 3k
Explanation
For external division in ratio m : n = 2 : 1, Q = (m·B − n·A)/(m − n) = 2(−i + j + k) − (i + 2j − k) = −3i + 0j + 3k = −3i + 3k.अनुपात m : n = 2 : 1 में बाह्य विभाजन के लिए Q = (m·B − n·A)/(m − n) = 2(−i + j + k) − (i + 2j − k) = −3i + 0j + 3k = −3i + 3k।
If a⃗ + b⃗ + c⃗ = 0⃗ and |a⃗| = 3, |b⃗| = 5 and |c⃗| = 7, then the angle between a⃗ and b⃗ isयदि a⃗ + b⃗ + c⃗ = 0⃗ तथा |a⃗| = 3, |b⃗| = 5 और |c⃗| = 7, तब a⃗ तथा b⃗ के बीच बना कोण है
Aππ
Bπ/2π/2
Cπ/3π/3
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)π/3π/3
Explanation
c⃗ = −(a⃗ + b⃗), so |c⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² + 2a⃗·b⃗, i.e. 49 = 9 + 25 + 2a⃗·b⃗, giving a⃗·b⃗ = 15/2. Then cos θ = (15/2)/(3·5) = 1/2, so θ = π/3.c⃗ = −(a⃗ + b⃗), इसलिए |c⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² + 2a⃗·b⃗, अर्थात् 49 = 9 + 25 + 2a⃗·b⃗, जिससे a⃗·b⃗ = 15/2। तब cos θ = (15/2)/(3·5) = 1/2, अतः θ = π/3।
How to use these BPSC TRE Mathematics questions
Every question here was asked in a real BPSC TRE paper; the paper and shift are shown on the card, and the number opens the question on its own page. Try each one before tapping Show answer, then attempt the full BPSC TRE papers as timed tests to check your speed under exam conditions.