60 Trigonometry (Mathematics) questions asked in BPSC TRE previous year papers, each with the correct answer and explanation. Read them free on UTpaper, or attempt the full papers as timed online tests.
If sin θ = m/n, then the value of (tan θ + 4)/(4 cot θ + 1) isयदि sin θ = m/n हो, तो (tan θ + 4)/(4 cot θ + 1) का मान है
Am/√(n² − m)m/√(n² − m)
Bn/√(n² − m)n/√(n² − m)
Cm/√(m² − n²)m/√(m² − n²)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
tan θ + 4 = tan θ (1 + 4 cot θ), so the expression equals tan θ = m/√(n² − m²). Option A prints √(n² − m) (not m²), so none of the printed options matches exactly; hence None of the above.tan θ + 4 = tan θ (1 + 4 cot θ), अतः व्यंजक = tan θ = m/√(n² − m²)। विकल्प A में √(n² − m) छपा है (m² नहीं), इसलिए कोई छपा विकल्प ठीक नहीं बैठता; अतः उत्तर 'उपर्युक्त में से कोई नहीं'।
If (cos θ − sin θ)/(cos θ + sin θ) = (1 − √3)/(1 + √3) and 0° < θ < 90°, then the angle θ isयदि (cos θ − sin θ)/(cos θ + sin θ) = (1 − √3)/(1 + √3) तथा 0° < θ < 90° है, तब कोण θ है
A30°30°
B60°60°
C45°45°
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)60°60°
Explanation
Dividing by cos θ: (1 − tan θ)/(1 + tan θ) = (1 − √3)/(1 + √3), so tan θ = √3 and θ = 60°.cos θ से भाग देने पर (1 − tan θ)/(1 + tan θ) = (1 − √3)/(1 + √3), अतः tan θ = √3 और θ = 60°।
If tan²θ = 1 + 2tan²α, then sin²θ is equal toयदि tan²θ = 1 + 2tan²α, तब sin²θ के बराबर है
A(1 + sin²α)/2(1 + sin²α)/2
B1 + sin²α1 + sin²α
C(1 + cos²α)/2(1 + cos²α)/2
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)(1 + sin²α)/2(1 + sin²α)/2
Explanation
sin²θ = tan²θ/(1 + tan²θ) = (1 + 2t)/(2 + 2t) with t = tan²α, which simplifies to (1 + sin²α)/2.sin²θ = tan²θ/(1 + tan²θ) = (1 + 2t)/(2 + 2t), जहाँ t = tan²α; इसे सरल करने पर (1 + sin²α)/2 मिलता है।
A vertical tower stands on a horizontal plane and is surmounted by a vertical flagstaff of height h. At a point on the plane, the angles of elevation of the bottom and top of the flagstaff are α and β respectively. Then the height of the tower isएक समतल मैदान पर एक ऊर्ध्वाधर मीनार स्थित है तथा इस पर एक झंडा ऊर्ध्वाधर लगा है जिसकी ऊँचाई h है। मैदान पर स्थित किसी बिन्दु से झंडे के आधार एवं शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः α एवं β हैं। मीनार की ऊँचाई है
Atan α / (h(tan β − tan α))tan α / (h(tan β − tan α))
Btan α / (h(tan β + tan α))tan α / (h(tan β + tan α))
Ch tan α / (tan β − tan α)h tan α / (tan β − tan α)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)h tan α / (tan β − tan α)h tan α / (tan β − tan α)
Explanation
With tower height H at distance d: tan α = H/d and tan β = (H + h)/d, so H = h tan α/(tan β − tan α).मीनार की ऊँचाई H और दूरी d लेने पर tan α = H/d और tan β = (H + h)/d, अतः H = h tan α/(tan β − tan α)।
(sin θ − cos θ + 1)/(sin θ + cos θ − 1) is equal to(sin θ − cos θ + 1)/(sin θ + cos θ − 1) बराबर है
A1/(sec θ − tan θ)1/(sec θ − tan θ)
B1/(cosec θ − cot θ)1/(cosec θ − cot θ)
C1/(cot θ − tan θ)1/(cot θ − tan θ)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)1/(sec θ − tan θ)1/(sec θ − tan θ)
Explanation
Using the identity (sin θ − cos θ + 1)/(sin θ + cos θ − 1) = 1/(sec θ − tan θ) (check at θ = 60°: both sides are about 3.73).सर्वसमिका (sin θ − cos θ + 1)/(sin θ + cos θ − 1) = 1/(sec θ − tan θ) (θ = 60° पर जाँच: दोनों पक्ष लगभग 3.73)।
Q8BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The maximum value of sin θ + cos θ issin θ + cos θ का अधिकतम मान है
A22
B√2√2
C√3√3
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)√2√2
Explanation
sin θ + cos θ = √2 sin(θ + 45°), whose maximum value is √2.sin θ + cos θ = √2 sin(θ + 45°), जिसका अधिकतम मान √2 है।
Q9BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
If the perpendicular drawn from the origin to a straight line makes an angle α with the positive direction of the y-axis and is of length p, then the equation of the straight line isयदि किसी सरल रेखा पर मूलबिन्दु से डाला गया लम्ब y-अक्ष की धनात्मक दिशा से α कोण बनाता है और यह p लम्बाई का है, तो उस सरल रेखा का समीकरण है
Ax cos α + y sin α = px cos α + y sin α = p
Bx sin α + y cos α = px sin α + y cos α = p
Cy = x tan α + py = x tan α + p
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)x sin α + y cos α = px sin α + y cos α = p
Explanation
The perpendicular of length p making angle α with the y-axis makes angle 90° - α with the x-axis, giving the normal form x sin α + y cos α = p.y-अक्ष से α कोण बनाने वाले p लम्बाई के लम्ब का समीकरण (सामान्य रूप) x sin α + y cos α = p होता है।
Q10BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The value of cos(−1710°) iscos(−1710°) का मान है
A00
B11
C–1–1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)00
Explanation
cos is even, so cos(-1710°) = cos 1710° = cos(1710° - 5×360°) = cos(-90°) = 0.cos एक सम फलन है, अतः cos(-1710°) = cos 1710° = cos(1710° - 5×360°) = cos(-90°) = 0।
Q11BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
If p and q are the lengths of the perpendiculars drawn from the origin on the lines
x sin θ + y cos θ = 2b sin θ cos θ
x cos θ − y sin θ = b cos 2θ
respectively, then the value of p² + q² isयदि रेखाओं
x sin θ + y cos θ = 2b sin θ cos θ
x cos θ − y sin θ = b cos 2θ
पर मूलबिन्दु से डाले गए लम्बों की लम्बाइयाँ क्रमशः p और q हों, तो p² + q² का मान है
Ab²b²
B1/b²1/b²
C2b²2b²
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)b²b²
Explanation
The distances from the origin are p = |2b sin θ cos θ| = b|sin 2θ| and q = b|cos 2θ|, so p² + q² = b²(sin²2θ + cos²2θ) = b².मूलबिन्दु से दूरियाँ p = |2b sin θ cos θ| = b|sin 2θ| और q = b|cos 2θ| हैं, अतः p² + q² = b²(sin²2θ + cos²2θ) = b²।
Q12BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The product of cos(A + B) and cos(A − B) iscos(A + B) और cos(A − B) का गुणनफल है
Asin²A − sin²Bsin²A − sin²B
Bcos²A − sin²Bcos²A − sin²B
Ccos²A − cos²Bcos²A − cos²B
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Q13BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
Simplify :
(sin θ + sin 3θ + sin 5θ) / (cos θ + cos 3θ + cos 5θ)सरल कीजिए :
(sin θ + sin 3θ + sin 5θ) / (cos θ + cos 3θ + cos 5θ)
Acot 3θcot 3θ
Btan 3θtan 3θ
Ctan 2θtan 2θ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)tan 3θtan 3θ
Explanation
sin θ + sin 5θ = 2 sin 3θ cos 2θ, so the numerator is sin 3θ(2cos 2θ + 1); likewise the denominator is cos 3θ(2cos 2θ + 1). The ratio is tan 3θ.sin θ + sin 5θ = 2 sin 3θ cos 2θ, अतः अंश = sin 3θ(2cos 2θ + 1); इसी प्रकार हर = cos 3θ(2cos 2θ + 1)। अनुपात tan 3θ है।
Q14BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let α = ∫₀^∞ 1/(1 + t²) dt
Which of the following is true?मान लीजिए α = ∫₀^∞ 1/(1 + t²) dt
निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
Adα/dt = 1/(1 + t²)dα/dt = 1/(1 + t²)
Bα is a rational numberα एक परिमेय संख्या है
Csin(α) = 1sin(α) = 1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)sin(α) = 1sin(α) = 1
Explanation
α = tan⁻¹(∞) − tan⁻¹(0) = π/2, a constant. So dα/dt = 0, α is irrational, and sin(π/2) = 1.α = tan⁻¹(∞) − tan⁻¹(0) = π/2 एक अचर है। अतः dα/dt = 0, α अपरिमेय है और sin(π/2) = 1 है।
Q15BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let γ be any positively oriented circle whose centre is at the origin. Then the value of the integral ∫_γ (cos z / z²) dz isमान लीजिए γ कोई धनात्मक उन्मुख वृत्त है जिसका केन्द्र मूल बिंदु पर है। फिर समाकलन ∫_γ (cos z / z²) dz का मान है
A2πi2πi
B00
C−2πi−2πi
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)00
Explanation
cos z / z² = 1/z² − 1/2 + …, which has no 1/z term, so the residue at 0 is 0 and the integral is 2πi × 0 = 0.cos z / z² = 1/z² − 1/2 + … में 1/z का पद नहीं है, अतः 0 पर अवशेष 0 है और समाकलन 2πi × 0 = 0 है।
Q16BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The equation
(αxy³ + y cos x) dx + (x²y² + β sin x) dy = 0
is exact forसमीकरण
(αxy³ + y cos x) dx + (x²y² + β sin x) dy = 0
बिल्कुल सही (exact) है
Aα = 2/3, β = 1α = 2/3, β = 1 के लिए
Bα = 1, β = 3/2α = 1, β = 3/2 के लिए
Cα = 1, β = 2/3α = 1, β = 2/3 के लिए
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)α = 2/3, β = 1α = 2/3, β = 1 के लिए
Explanation
Exactness needs ∂M/∂y = ∂N/∂x: 3αxy² + cos x = 2xy² + β cos x. Hence 3α = 2 and β = 1, i.e. α = 2/3, β = 1.यथातथ होने के लिए ∂M/∂y = ∂N/∂x चाहिए: 3αxy² + cos x = 2xy² + β cos x। अतः 3α = 2 और β = 1, यानी α = 2/3, β = 1।
Q17BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let y be the solution of the initial value problem
d²y/dx² + y = 6 cos 2x, y(0) = 3, y′(0) = 1
Let the Laplace transform of y be F(s). Then the value of F(1) isमान लीजिए y प्रारंभिक मान समस्या
d²y/dx² + y = 6 cos 2x, y(0) = 3, y′(0) = 1
का समाधान है। माना कि y का लाप्लास रूपांतरण F(s) है। तब, F(1) का मान है
A17/517/5
B13/513/5
C11/511/5
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)13/513/5
Explanation
Transforming: (s² + 1)F = 3s + 1 + 6s/(s² + 4). At s = 1, 2F(1) = 4 + 6/5 = 26/5, so F(1) = 13/5.रूपांतरण करने पर (s² + 1)F = 3s + 1 + 6s/(s² + 4)। s = 1 पर 2F(1) = 4 + 6/5 = 26/5, अतः F(1) = 13/5।
Q18BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the wave equation
∂²u/∂t² = 4 ∂²u/∂x², 0 < x < π, t > 0
with u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = sin x and ∂u/∂t = 0 at t = 0.
Then u(π/2, π/2) isतरंग समीकरण पर विचार करें:
∂²u/∂t² = 4 ∂²u/∂x², 0 < x < π, t > 0
u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = sin x और t = 0 पर ∂u/∂t = 0 के साथ, तब u(π/2, π/2) है
A22
B11
C−1−1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)−1−1
Explanation
The solution is u = sin x cos 2t (it satisfies the equation and all conditions). At (π/2, π/2) it equals 1 × cos π = −1.हल u = sin x cos 2t है (यह समीकरण और सभी शर्तों को संतुष्ट करता है)। (π/2, π/2) पर इसका मान 1 × cos π = −1 है।
Q19BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
In polar coordinate system the component of velocity along radius vector and perpendicular to radius vector isध्रुवीय समन्वय प्रणाली में त्रिज्या वेक्टर के अनुदिश और त्रिज्या वेक्टर के लंबवत् वेग का घटक क्या है?
Adr/dt and r dθ/dtdr/dt और r dθ/dt
Bd²r/dt² and r² dθ/dtd²r/dt² और r² dθ/dt
Cdr/dt and (1/r) dθ/dtdr/dt और (1/r) dθ/dt
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)dr/dt and r dθ/dtdr/dt और r dθ/dt
Explanation
Velocity in polar coordinates is v = (dr/dt) r̂ + r (dθ/dt) θ̂, so the radial component is dr/dt and the transverse component is r dθ/dt.ध्रुवीय निर्देशांकों में वेग v = (dr/dt) r̂ + r (dθ/dt) θ̂ होता है, अतः त्रिज्य घटक dr/dt और अनुप्रस्थ घटक r dθ/dt है।
If 0° ≤ A, B ≤ 90° such that sin A = 1/2 and cos B = 1/2, then A + B is equal toयदि 0° ≤ A, B ≤ 90° ऐसे हैं कि sin A = 1/2 और cos B = 1/2, तो A + B बराबर है
A0°0°
B60°60°
C90°90°
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)90°90°
Explanation
sin A = 1/2 gives A = 30° and cos B = 1/2 gives B = 60°, so A + B = 90°.sin A = 1/2 से A = 30° और cos B = 1/2 से B = 60°, अतः A + B = 90°।
If tan 2A = cot(A + 60°), where 2A is an acute angle, then the value of A isयदि tan 2A = cot(A + 60°) है, जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान है
A10°10°
B20°20°
C60°60°
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)10°10°
Explanation
cot(A + 60°) = tan(90° - A - 60°) = tan(30° - A), so 2A = 30° - A and A = 10°.cot(A + 60°) = tan(90° − A − 60°) = tan(30° − A), अतः 2A = 30° − A और A = 10°।
If (cos²20° + cos²70°) / [2(sin²59° + sin²31°)] = 2/k, then k is equal toयदि (cos²20° + cos²70°) / [2(sin²59° + sin²31°)] = 2/k है, तो k बराबर है
A33
B11
C44
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)44
Explanation
cos²70° = sin²20°, so the numerator is 1; sin²59° + sin²31° = 1, so the denominator is 2. Thus 1/2 = 2/k and k = 4.cos²70° = sin²20°, अतः अंश = 1; sin²59° + sin²31° = 1, अतः हर = 2। इस प्रकार 1/2 = 2/k और k = 4।
The value of sin x · sin(2π + x) · sin(4π + x) ....... sin(2nπ + x) issin x · sin(2π + x) · sin(4π + x) ....... sin(2nπ + x) का मान है
An sin xn sin x
Bsinⁿ xsinⁿ x
C00
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ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
sin(2kπ + x) = sin x, so the product of the (n + 1) factors is sinⁿ⁺¹ x, which is not listed; hence None of the above.sin(2kπ + x) = sin x, अतः (n + 1) पदों का गुणनफल sinⁿ⁺¹ x है, जो विकल्पों में नहीं है।
Which function is not discontinuous at x = 0?कौन-सा फलन, x = 0 पर असंतत नहीं है?
Asin(1/x)sin(1/x)
Btan⁻¹(1/x)tan⁻¹(1/x)
Ctan xtan x
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ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)tan xtan x
Explanation
sin(1/x) and tan⁻¹(1/x) are undefined at x = 0 and have no limit there (tan⁻¹(1/x) jumps from −π/2 to π/2), whereas tan x is continuous at x = 0 (tan 0 = 0).sin(1/x) और tan⁻¹(1/x) x = 0 पर परिभाषित नहीं हैं और वहाँ इनकी कोई सीमा नहीं है (tan⁻¹(1/x) −π/2 से π/2 पर छलांग लगाता है), जबकि tan x, x = 0 पर संतत है (tan 0 = 0)।
A line lying in the yz-plane is inclined at an angle α with z-axis. Its direction cosines areyz-समतल में स्थित कोई रेखा z-अक्ष के साथ α कोण पर झुकी हुई है। इसकी दिक्-कोज्यायें हैं
A0, sin α, cos α0, sin α, cos α
B0, cos α, sin α0, cos α, sin α
Csin α, cos α, 0sin α, cos α, 0
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ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)0, sin α, cos α0, sin α, cos α
Explanation
A line in the yz-plane makes 90° with the x-axis (l = 0). It makes α with the z-axis (n = cos α) and therefore 90° − α with the y-axis (m = sin α).yz-समतल की रेखा x-अक्ष से 90° बनाती है (l = 0)। यह z-अक्ष से α बनाती है (n = cos α) और इसलिए y-अक्ष से 90° − α बनाती है (m = sin α)।
The value of the determinant
|1 x y|
|0 cos x sin y|
|0 sin x cos y|
isसारणिक
|1 x y|
|0 cos x sin y|
|0 sin x cos y|
का मान है
Asin(x + y)sin(x + y)
Bsin(x − y)sin(x − y)
Ccos(x + y)cos(x + y)
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Correct answer: (C)cos(x + y)cos(x + y)
Explanation
Expanding along the first column gives 1·(cos x cos y − sin x sin y) = cos(x + y).पहले स्तम्भ के अनुदिश प्रसरण करने पर 1·(cos x cos y − sin x sin y) = cos(x + y) मिलता है।
Find the differential equation representing the family of curves y = a sin(x + b), where a and b are arbitrary constants.वक्रों के कुल y = a sin(x + b), जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं, को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ad²y/dx² + dy/dx + y = 0d²y/dx² + dy/dx + y = 0
Bd²y/dx² + x = 0d²y/dx² + x = 0
Cd²y/dx² + y = 0d²y/dx² + y = 0
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Correct answer: (C)d²y/dx² + y = 0d²y/dx² + y = 0
Explanation
y′ = a cos(x + b) and y″ = −a sin(x + b) = −y. Eliminating a and b gives d²y/dx² + y = 0.y′ = a cos(x + b) और y″ = −a sin(x + b) = −y। a और b का विलोपन करने पर d²y/dx² + y = 0 मिलता है।
cos(π sin θ) = sin(π/2 + π sin θ), so π cos θ = π/2 + π sin θ, i.e. cos θ − sin θ = 1/2. Squaring gives 1 − sin 2θ = 1/4, so sin 2θ = 3/4 and θ = (1/2) sin⁻¹(3/4).cos(π sin θ) = sin(π/2 + π sin θ), इसलिए π cos θ = π/2 + π sin θ, अर्थात् cos θ − sin θ = 1/2। वर्ग करने पर 1 − sin 2θ = 1/4, अतः sin 2θ = 3/4 और θ = (1/2) sin⁻¹(3/4)।
The general solution of the differential equation sec²y dy/dx + 2x tan y = x³ isअवकल समीकरण sec²y dy/dx + 2x tan y = x³ का व्यापक हल है
Atan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² + 1)tan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² + 1)
Btan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² − 1)tan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² − 1)
Ctan y = ce^(x²) + (1/2)(x² − 1)tan y = ce^(x²) + (1/2)(x² − 1)
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Correct answer: (B)tan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² − 1)tan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² − 1)
Explanation
Put v = tan y, so dv/dx + 2xv = x³. The integrating factor is e^(x²), giving v·e^(x²) = ∫x³e^(x²)dx = (1/2)e^(x²)(x² − 1) + c. Hence tan y = (1/2)(x² − 1) + ce^(−x²).v = tan y रखें, तब dv/dx + 2xv = x³। समाकलन गुणक e^(x²) है, जिससे v·e^(x²) = ∫x³e^(x²)dx = (1/2)e^(x²)(x² − 1) + c। अतः tan y = (1/2)(x² − 1) + ce^(−x²)।
The function f(x) = |cos x| isफलन f(x) = |cos x| है
Acontinuous and differentiable on each point of xx के प्रत्येक मान पर संतत तथा अवकलनीय
Bcontinuous on each point of x, but not differentiable on x = (2n + 1)π/2, n ∈ Zx के प्रत्येक मान के लिए संतत, परन्तु x = (2n + 1)π/2, n ∈ Z पर अवकलनीय नहीं
Cneither continuous nor differentiable on x = (2n + 1)π/2, n ∈ Zx = (2n + 1)π/2, n ∈ Z पर न तो संतत न ही अवकलनीय
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ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)continuous on each point of x, but not differentiable on x = (2n + 1)π/2, n ∈ Zx के प्रत्येक मान के लिए संतत, परन्तु x = (2n + 1)π/2, n ∈ Z पर अवकलनीय नहीं
Explanation
|cos x| is the composition of continuous functions, so it is continuous everywhere. Where cos x = 0, i.e. x = (2n + 1)π/2, the graph has a corner (left and right derivatives are ∓1), so it is not differentiable there.|cos x| संतत फलनों का संयोजन है, इसलिए यह हर जगह संतत है। जहाँ cos x = 0 है, अर्थात् x = (2n + 1)π/2 पर, आलेख में कोना बनता है (बायाँ और दायाँ अवकलज ∓1 हैं), इसलिए वहाँ यह अवकलनीय नहीं है।
The differential coefficient of tan⁻¹(2x/(1 − x²)) with respect to sin⁻¹(2x/(1 + x²)) istan⁻¹(2x/(1 − x²)) का sin⁻¹(2x/(1 + x²)) के सापेक्ष अवकल गुणांक है
A1/21/2
B11
C00
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)11
Explanation
With x = tan θ (|x| < 1), both functions equal 2θ = 2 tan⁻¹x. One is therefore the same function as the other, and the derivative is 1.x = tan θ (|x| < 1) रखने पर दोनों फलन 2θ = 2 tan⁻¹x के बराबर हैं। अतः एक फलन दूसरे के समान ही है और अवकलज 1 है।
If y = e^(a cos⁻¹x), −1 < x < 1, then the value of (1 − x²) d²y/dx² − x dy/dx isयदि y = e^(a cos⁻¹x), −1 < x < 1, तो (1 − x²) d²y/dx² − x dy/dx का मान है
Aayay
Ba²ya²y
Ca²y²a²y²
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)a²ya²y
Explanation
y′ = −ay/√(1 − x²), so √(1 − x²)·y′ = −ay. Differentiating again and multiplying by √(1 − x²) gives (1 − x²)y″ − xy′ = −a√(1 − x²)·y′ = a²y.y′ = −ay/√(1 − x²), इसलिए √(1 − x²)·y′ = −ay। पुनः अवकलन करके √(1 − x²) से गुणा करने पर (1 − x²)y″ − xy′ = −a√(1 − x²)·y′ = a²y।
The angle between the lines (5 − x)/3 = (y + 3)/(−4), z = 7 and x/1 = (1 − y)/2 = (z − 6)/2 isरेखाओं (5 − x)/3 = (y + 3)/(−4), z = 7 और x/1 = (1 − y)/2 = (z − 6)/2 के मध्य कोण है
Acos⁻¹(1/3)cos⁻¹(1/3)
Bsin⁻¹(1/3)sin⁻¹(1/3)
Csec⁻¹(3)sec⁻¹(3)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
The direction ratios are (−3, −4, 0) and (1, −2, 2). cos θ = (−3 + 8 + 0)/(5 × 3) = 1/3. Since sec⁻¹3 = cos⁻¹(1/3), both (A) and (C) are correct.दिक्-अनुपात (−3, −4, 0) और (1, −2, 2) हैं। cos θ = (−3 + 8 + 0)/(5 × 3) = 1/3। चूँकि sec⁻¹3 = cos⁻¹(1/3), (A) और (C) दोनों सही हैं।
The value of tan⁻¹√((1 + sin x)/(1 − sin x)) istan⁻¹√((1 + sin x)/(1 − sin x)) का मान है
Ax/2x/2
Bπ/4 − x/2π/4 − x/2
Cπ/4 + x/2π/4 + x/2
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)π/4 + x/2π/4 + x/2
Explanation
Write 1 ± sin x = (cos(x/2) ± sin(x/2))². The ratio under the root becomes [(1 + tan(x/2))/(1 − tan(x/2))]² = tan²(π/4 + x/2). So the value is π/4 + x/2 (for −π/2 < x < π/2).1 ± sin x = (cos(x/2) ± sin(x/2))² लिखें। मूल के अन्दर का अनुपात [(1 + tan(x/2))/(1 − tan(x/2))]² = tan²(π/4 + x/2) हो जाता है। अतः मान π/4 + x/2 है (−π/2 < x < π/2 के लिए)।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
Replacing x by π/2 − x swaps tan and cot. Adding the two forms of the integral I gives 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, so I = π/4. This is not among (A)–(C), so the answer is (E).x के स्थान पर π/2 − x रखने पर tan और cot आपस में बदल जाते हैं। समाकल I के दोनों रूपों को जोड़ने पर 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, अतः I = π/4। यह (A)–(C) में नहीं है, इसलिए उत्तर (E) है।
The function sinᵖθ cos^qθ has maximum value, whenफलन sinᵖθ cos^qθ का अधिकतम मान प्राप्त होता है जब
Aθ = tan⁻¹√(p/q)θ = tan⁻¹√(p/q)
Bθ = tan⁻¹√(q/p)θ = tan⁻¹√(q/p)
Cθ = tan⁻¹(p/q)θ = tan⁻¹(p/q)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)θ = tan⁻¹√(p/q)θ = tan⁻¹√(p/q)
Explanation
Taking logarithms and differentiating gives p cot θ − q tan θ = 0. So tan²θ = p/q and θ = tan⁻¹√(p/q).लघुगणक लेकर अवकलन करने पर p cot θ − q tan θ = 0 मिलता है। अतः tan²θ = p/q और θ = tan⁻¹√(p/q)।
y = eˣ(A cos x + B sin x) is the general solution for auxiliary roots 1 ± i, whose auxiliary equation is m² − 2m + 2 = 0. So y″ − 2y′ + 2y = 0.y = eˣ(A cos x + B sin x) सहायक मूलों 1 ± i के लिए व्यापक हल है, जिनका सहायक समीकरण m² − 2m + 2 = 0 है। अतः y″ − 2y′ + 2y = 0।
How to use these BPSC TRE Mathematics questions
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