Algebra Previous Year Questions

Explanation

For x³ − 6x² − x + 30, αβ + βγ + γα = (coefficient of x)/(coefficient of x³) = −1.बहुपद x³ − 6x² − x + 30 में αβ + βγ + γα = (x का गुणांक)/(x³ का गुणांक) = −1।

Explanation

Curved surface of one pencil = 1.5 × 25 = 37.5 cm²; for 120000 pencils = 4,500,000 cm² = 45,000 dm²; cost = 45,000 × 0.05 = ₹2,250.एक पेंसिल का वक्रपृष्ठ = 1.5 × 25 = 37.5 वर्ग से.मी.; 120000 पेंसिलों का = 45,00,000 वर्ग से.मी. = 45,000 वर्ग डेसी मी.; खर्च = 45,000 × 0.05 = ₹2,250।

Explanation

A quadratic has two distinct real roots exactly when its discriminant is positive.द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल तभी होते हैं जब विविक्तकर धनात्मक हो।

Explanation

Dividing by x² − 3 does not leave zero remainder (x⁴ + x³ − 9x² − 3x + 8 = (x² − 3)(x² + x − 6) − 10), so ±√3 are not zeros of the given polynomial and none of the options is valid.x² − 3 से भाग देने पर शेषफल शून्य नहीं आता (x⁴ + x³ − 9x² − 3x + 8 = (x² − 3)(x² + x − 6) − 10), अतः ±√3 दिए गए बहुपद के शून्यक नहीं हैं और कोई विकल्प मान्य नहीं।

Explanation

(2^(3x-1) + 10)/7 = 6 gives 2^(3x-1) = 32 = 2⁵, so 3x - 1 = 5 and x = 2.(2^(3x-1) + 10)/7 = 6 से 2^(3x-1) = 32 = 2⁵, अतः 3x - 1 = 5 और x = 2।

Explanation

Slope of the first line = (8-6)/(4+2) = 1/3. For perpendicular lines the other slope is -3: (24-12)/(x-8) = -3, so x = 4.पहली रेखा की प्रवणता = (8-6)/(4+2) = 1/3। लम्बवत् होने के लिए दूसरी प्रवणता -3 होगी: (24-12)/(x-8) = -3, अतः x = 4।

Explanation

Write the term as (1/n)·1/(1 + (k/n)²); the sum is a Riemann sum for ∫₀¹ dx/(1 + x²) = tan⁻¹(1) = π/4.पद को (1/n)·1/(1 + (k/n)²) के रूप में लिखने पर योग ∫₀¹ dx/(1 + x²) का रीमान योग है, जिसका मान tan⁻¹(1) = π/4 है।

Explanation

For fixed x the limit is 0, but gₙ(1/n) = 1/2 for every n, so the sup-norm does not tend to 0. Hence convergence is pointwise only.स्थिर x के लिए सीमा 0 है, परंतु प्रत्येक n के लिए gₙ(1/n) = 1/2 है, अतः अधिकतम अंतर 0 की ओर नहीं जाता। इसलिए अभिसरण केवल बिंदुवार है।

Explanation

T(1) = x, T(x) = x²/2 + 1, T(x²) = x³/3 + 2x. Writing these as columns in the basis {1, x, x², x³} gives the 4×3 matrix with rows (0,1,0), (1,0,2), (0,1/2,0), (0,0,1/3), which is option (B).T(1) = x, T(x) = x²/2 + 1, T(x²) = x³/3 + 2x। इन्हें आधार {1, x, x², x³} में स्तंभ के रूप में लिखने पर 4×3 आव्यूह की पंक्तियाँ (0,1,0), (1,0,2), (0,1/2,0), (0,0,1/3) मिलती हैं, जो विकल्प (B) है।

Explanation

All eigenvalues of A equal 1, so those of A² are 1² = 1 and its characteristic polynomial is (X − 1)³. A need not be diagonalizable, and a minimal polynomial with a repeated factor means it is not diagonalizable.A के सभी आइगेनमान 1 हैं, अतः A² के भी 1² = 1 हैं और इसका अभिलाक्षणिक बहुपद (X − 1)³ है। A का विकर्णीय होना आवश्यक नहीं है, और न्यूनतम बहुपद में repeated गुणनखंड हो तो A विकर्णीय नहीं होता।

Explanation

From T² − T = −I we get T(T − I) = −I, so both T and T − I are invertible. An eigenvalue would satisfy λ² − λ + 1 = 0, which has no real root. Only (A) is true.T² − T = −I से T(T − I) = −I मिलता है, अतः T और T − I दोनों व्युत्क्रमणीय हैं। आइगेनमान λ² − λ + 1 = 0 को संतुष्ट करेगा जिसका कोई वास्तविक मूल नहीं है। केवल (A) सत्य है।

Explanation

X² − XY + Y² has matrix [[1, −1/2], [−1/2, 1]] with positive leading minors 1 and 3/4, so it is positive definite. XY is indefinite and X² + 2XY + Y² = (X + Y)² vanishes at (1, −1).X² − XY + Y² का आव्यूह [[1, −1/2], [−1/2, 1]] है जिसके अग्रणी मानक 1 और 3/4 धनात्मक हैं, अतः यह positive definite है। XY अनिश्चित है और X² + 2XY + Y² = (X + Y)² बिंदु (1, −1) पर शून्य हो जाता है।

Explanation

The official key is (D), more than one of the above: both (A) and (C) can occur. A group of order 10 is either abelian (ℤ₁₀: ten classes of size 1, option A) or the dihedral group D₅ with class sizes 1, 2, 2, 5 (option C). Option (B) is not possible, so the key is 'more than one'.आधिकारिक कुंजी (D) है: (A) और (C) दोनों संभव हैं। क्रम 10 का समूह या तो आबेली (ℤ₁₀, दस वर्ग प्रत्येक आकार 1, विकल्प A) है या डायहेड्रल समूह D₅ है जिसके वर्ग-आकार 1, 2, 2, 5 हैं (विकल्प C)। विकल्प (B) असंभव है, इसलिए उत्तर 'एक से अधिक' है।

Explanation

Using 1/(1 + z²) = 1 − z² + …, f(z) = (1 + z)(1 − z² + …)/z³ = (1 + z − z² − …)/z³ = 1/z³ + 1/z² − 1/z − …. The coefficient of 1/z² is 1.1/(1 + z²) = 1 − z² + … का प्रयोग करने पर f(z) = (1 + z)(1 − z² + …)/z³ = 1/z³ + 1/z² − 1/z − …। 1/z² का गुणांक 1 है।

Explanation

f is periodic with periods 1 and i, so its values are all attained on the compact unit square. Hence f is bounded and entire, and by Liouville's theorem it is constant.f के आवर्त 1 और i हैं, अतः इसके सभी मान संहत इकाई वर्ग पर ही मिलते हैं। इसलिए f परिबद्ध और संपूर्ण है और लिउविल प्रमेय से अचर है।

Explanation

The family is x² + y² = 2ax with one parameter. Eliminating a gives y² − x² = 2xy y′, a first-order equation that is non-linear in y.परिवार x² + y² = 2ax है जिसमें एक प्राचल है। a हटाने पर y² − x² = 2xy y′ मिलता है, जो प्रथम क्रम का और y में अरैखिक है।

Explanation

g = f for x ≥ 0 and g = −f for x < 0, so no single constant relation holds on the whole interval and f, g are linearly independent. Their Wronskian is zero everywhere, so (C) is false.x ≥ 0 पर g = f और x < 0 पर g = −f है, अतः पूरे अंतराल पर कोई एक अचर संबंध नहीं बनता और f, g रैखिकतः स्वतंत्र हैं। इनका रॉन्स्कियन सर्वत्र शून्य है, इसलिए (C) असत्य है।

Explanation

The characteristics give x² − y² = c₁ and z − xy = c₂, so z − xy = φ(x² − y²). On the curve, z − xy = 2t² and x² − y² = −4t, so φ(c) = c²/8. Hence z = xy + (x² − y²)²/8.अभिलक्षणों से x² − y² = c₁ और z − xy = c₂ मिलते हैं, अतः z − xy = φ(x² − y²)। वक्र पर z − xy = 2t² और x² − y² = −4t है, इसलिए φ(c) = c²/8। अतः z = xy + (x² − y²)²/8।

Explanation

u and v must be constant along the characteristics, i.e. satisfy (2xy − 1)uₓ + (z − 2x²)u_y + 2(x − yz)u_z = 0. For u = x² + y² + z this gives 2x(2xy − 1) + 2y(z − 2x²) + 2(x − yz) = 0, and likewise for v = xz + y, so (A) is correct.u और v को अभिलक्षणों के अनुदिश अचर होना चाहिए, अर्थात (2xy − 1)uₓ + (z − 2x²)u_y + 2(x − yz)u_z = 0। u = x² + y² + z के लिए 2x(2xy − 1) + 2y(z − 2x²) + 2(x − yz) = 0 मिलता है, और इसी प्रकार v = xz + y के लिए भी, अतः (A) सही है।

Explanation

With A = x, 2B = x − y, C = −y, the discriminant is B² − AC = (x − y)²/4 + xy = (x + y)²/4. It vanishes exactly on x + y = 0, so the equation is parabolic there and hyperbolic elsewhere (never elliptic).A = x, 2B = x − y, C = −y लेने पर विविक्तकर B² − AC = (x − y)²/4 + xy = (x + y)²/4 है। यह ठीक x + y = 0 पर शून्य होता है, अतः समीकरण वहाँ परवलयिक है और अन्यत्र अतिपरवलयिक (दीर्घवृत्तीय कहीं नहीं)।

Explanation

f(1) = −1 and f′(1) = 2 − 3 = −1, so x₁ = 1 − (−1)/(−1) = 0.f(1) = −1 और f′(1) = 2 − 3 = −1, अतः x₁ = 1 − (−1)/(−1) = 0।

Explanation

The true value is I ≈ 2.925 (from the series 2(1 + 1/3 + 1/10 + 1/42 + …)), so |I − 2| ≈ 0.925. This lies in (2/3, 2e] and not in the other two intervals.वास्तविक मान I ≈ 2.925 है (श्रेणी 2(1 + 1/3 + 1/10 + 1/42 + …) से), अतः |I − 2| ≈ 0.925। यह (2/3, 2e] में स्थित है, अन्य दो अंतरालों में नहीं।

Explanation

For a minimization problem with Ax ≥ b and x ≥ 0 (the canonical form), the dual is: maximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c, w ≥ 0.न्यूनतमीकरण समस्या Ax ≥ b, x ≥ 0 (मानक रूप) का द्वैत है: bᵀw अधिकतम करें, प्रतिबंध Aᵀw ≤ c, w ≥ 0।

Explanation

A transportation problem has a linear cost objective and linear supply-demand constraints, so it is a special case of a linear programming problem.परिवहन समस्या में रैखिक लागत फलन और रैखिक पूर्ति-माँग प्रतिबंध होते हैं, अतः यह रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का विशेष मामला है।

Explanation

f is a polynomial map, so it is continuous and differentiable everywhere, and all directional derivatives exist. Df(0, 0) = [[3, −2], [4, 5]] has determinant 23 ≠ 0, so it is invertible and (C) is false.f बहुपदीय मानचित्र है, अतः सर्वत्र संतत और अवकलनीय है तथा सभी दिशात्मक डेरिवेटिव मौजूद हैं। Df(0, 0) = [[3, −2], [4, 5]] का सारणिक 23 ≠ 0 है, अतः यह उलटा है और (C) असत्य है।

Explanation

fₓ = 6x(y − 1) and f_y = 3x² + 12y² − 24y give critical points (0, 0), (0, 2), (±2, 1). At (0, 0) the Hessian is diag(−6, −24), a maximum; at (0, 2) it is diag(6, 24), a minimum; at (−2, 1) it is [[0, −12], [−12, 0]] with negative determinant, a saddle.fₓ = 6x(y − 1) और f_y = 3x² + 12y² − 24y से क्रांतिक बिंदु (0, 0), (0, 2), (±2, 1) मिलते हैं। (0, 0) पर हेसियन diag(−6, −24) है (उच्चिष्ठ); (0, 2) पर diag(6, 24) है (निम्निष्ठ); (−2, 1) पर [[0, −12], [−12, 0]] है जिसका सारणिक ऋणात्मक है, अतः यह सैडल बिंदु है।

Explanation

The official key is (D), more than one of the above: both (B) and (C) are true. On x = y we get f = y/2, so f is unbounded, and ∂f/∂x = 2xy³/(x² + y²)² is bounded, so (B) is true; f is a quotient of continuous functions on its domain, so (C) is true as well.आधिकारिक कुंजी (D) है: (B) और (C) दोनों सत्य हैं। x = y पर f = y/2 है, अतः f अपरिबद्ध है, और ∂f/∂x = 2xy³/(x² + y²)² परिबद्ध है, इसलिए (B) सत्य है; अपने प्रांत में f संतत फलनों का भागफल है, अतः (C) भी सत्य है।

Explanation

With F = xy − z log y + e^(xz) − 1, at (0, 1, 1): Fₓ = y + z e^(xz) = 2, F_y = x − z/y = −1, F_z = −log y + x e^(xz) = 0. So f_x = −Fₓ/F_y = 2 and f_z = −F_z/F_y = 0, giving ∇f(0, 1) = (2, 0).F = xy − z log y + e^(xz) − 1 के लिए (0, 1, 1) पर Fₓ = y + z e^(xz) = 2, F_y = x − z/y = −1, F_z = −log y + x e^(xz) = 0। अतः f_x = −Fₓ/F_y = 2 और f_z = −F_z/F_y = 0, इसलिए ∇f(0, 1) = (2, 0)।

Explanation

Use cylindrical coordinates about the y-axis: r from 0 to 2 and y from r² to 4. The integral is 2π × 15 ∫₀² r · r (4 − r²) dr = 30π (32/3 − 32/5) = 30π × 64/15 = 128π.y-अक्ष के परितः बेलनाकार निर्देशांक लें: r 0 से 2 और y, r² से 4 तक। समाकलन 2π × 15 ∫₀² r · r (4 − r²) dr = 30π (32/3 − 32/5) = 30π × 64/15 = 128π है।

Explanation

By Descartes' rule of signs, the coefficient signs +, −, +, − have 3 sign changes, so there are at most 3 positive real roots.डेकार्ट के चिह्न नियम से गुणांकों के चिह्न +, −, +, − में 3 परिवर्तन हैं, अतः धनात्मक वास्तविक मूल अधिकतम 3 हैं।

Explanation

P = 0.75 ∫ from −1/2 to 1/2 of (1 − x²) dx = 0.75 (1 − 1/12) = 0.6875, which is about 0.68 (the closest option).P = 0.75 ∫ (−1/2 से 1/2) (1 − x²) dx = 0.75 (1 − 1/12) = 0.6875, जो लगभग 0.68 है (निकटतम विकल्प)।

Explanation

Variance is non-negative, so E[X²] ≥ (E X)². For (2, 3) we would need 3 ≥ 4, which is false, so it cannot occur.प्रसरण ऋणेतर होता है, अतः E[X²] ≥ (E X)²। (2, 3) के लिए 3 ≥ 4 चाहिए जो असत्य है, इसलिए यह संभव नहीं है।

Explanation

(b/a)^(x-3) = (a/b)^(3-x), so 2x - 3 = 3 - x, giving x = 2.(b/a)^(x−3) = (a/b)^(3−x), अतः 2x − 3 = 3 − x, जिससे x = 2।

Explanation

(x - 1/x)² = 4 gives x² + 1/x² = 6; then x⁴ + 1/x⁴ = 36 - 2 = 34, which is not among A-C, so the answer is None of the above.(x − 1/x)² = 4 से x² + 1/x² = 6; तब x⁴ + 1/x⁴ = 36 − 2 = 34, जो A-C में नहीं है, इसलिए उत्तर 'उपर्युक्त में से कोई नहीं' है।

Explanation

f(1) = a + b + c < 0 and f has no real zero, so the graph stays entirely below the x-axis; hence f(0) = c < 0.f(1) = a + b + c < 0 और f का कोई वास्तविक शून्य नहीं है, इसलिए ग्राफ पूरा x-अक्ष के नीचे रहता है; अतः f(0) = c < 0।

Explanation

The sum equals (α + β + γ)/(αβγ) = p/r.योग = (α + β + γ)/(αβγ) = p/r।

Explanation

The product of zeroes is 127 > 0 and the sum is -99 < 0 (the discriminant 99² - 508 > 0), so both zeroes are negative.शून्यकों का गुणनफल 127 > 0 और योग −99 < 0 है (विविक्तकर 99² − 508 > 0), अतः दोनों शून्यक ऋणात्मक हैं।

Explanation

For infinitely many solutions (3k + 1)/2 = 3/(-3) = -5/5 = -1, so 3k + 1 = -2 and k = -1.अनंत हलों के लिए (3k + 1)/2 = 3/(−3) = −5/5 = −1, अतः 3k + 1 = −2 और k = −1।

Explanation

The lines y = 0 and y = -5 are parallel and never meet, so there is no solution; the answer is None of the above.रेखाएँ y = 0 और y = −5 समांतर हैं और कभी नहीं मिलतीं, इसलिए कोई हल नहीं है; उत्तर 'उपर्युक्त में से कोई नहीं' है।

Explanation

Since c and d are the roots, (x - a)(x - b) - k = (x - c)(x - d). Hence (x - c)(x - d) + k = (x - a)(x - b), whose roots are a and b.c, d मूल हैं, अतः (x − a)(x − b) − k = (x − c)(x − d)। इसलिए (x − c)(x − d) + k = (x − a)(x − b), जिसके मूल a और b हैं।

Explanation

A sum of squares is zero only if each term is zero, which would need x = 1, 2 and 3 simultaneously; so there is no real root, i.e. None of the above.वर्गों का योग तभी शून्य होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो, जिसके लिए x = 1, 2 और 3 एकसाथ चाहिए; अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है, यानी 'उपर्युक्त में से कोई नहीं'।

Explanation

Collinearity gives zero area: a²(b² - 1) + 0 + 1(0 - b²) = 0, i.e. a²b² = a² + b², so 1/a² + 1/b² = 1.संरेखता से क्षेत्रफल शून्य: a²(b² − 1) + 0 + 1(0 − b²) = 0, अर्थात् a²b² = a² + b², अतः 1/a² + 1/b² = 1।

Explanation

Try x = 49: 49⁴⁹ = (7²)⁴⁹ = 7⁹⁸ and 7^(49+49) = 7⁹⁸, so x = 49.x = 49 रखें: 49⁴⁹ = 7⁹⁸ और 7^(49+49) = 7⁹⁸, अतः x = 49।

Explanation

Replace x by 1/x in ax² + bx + c = 0 and multiply by x²: a + bx + cx² = 0, i.e. cx² + bx + a = 0.ax² + bx + c = 0 में x के स्थान पर 1/x रखकर x² से गुणा करें: cx² + bx + a = 0।

Explanation

(a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b), so a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b).(a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b), अतः a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b)।

Explanation

The equation is 3x² − mx + 12 = 0. Equal roots: m² − 4·3·12 = 0, so m² = 144 and m = ±12; both 12 and −12 are listed, so More than one of the above.समीकरण 3x² − mx + 12 = 0 है। समान मूलों के लिए m² − 144 = 0, अतः m = ±12; 12 और −12 दोनों विकल्पों में हैं।

Explanation

x + y = 3x − 3y gives 2x = 4y, so x/y = 2 = 2/1.x + y = 3x − 3y से 2x = 4y, अतः x/y = 2/1।

Explanation

Product of roots = c/a = 6/2 = 3.मूलों का गुणनफल = c/a = 6/2 = 3।

Explanation

The nth roots of unity are 1, ω, ω², ..., ωⁿ⁻¹ with ω = e^(2πi/n); each is ω times the previous one, so they form a geometric progression with common ratio ω.इकाई के nवें मूल 1, ω, ω², ..., ωⁿ⁻¹ हैं, जहाँ ω = e^(2πi/n); प्रत्येक मूल पिछले मूल का ω गुना है, इसलिए वे सार्वानुपात ω वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।