Algebra Previous Year Questions (page 2)

Explanation

Cubing, x + iy = (a + ib)³ = (a³ − 3ab²) + i(3a²b − b³). So x/a = a² − 3b² and y/b = 3a² − b², and their sum is 4a² − 4b² = 4(a² − b²).घन करने पर x + iy = (a + ib)³ = (a³ − 3ab²) + i(3a²b − b³)। अतः x/a = a² − 3b² और y/b = 3a² − b², और इनका योग 4a² − 4b² = 4(a² − b²) है।

Explanation

x + 1/x = 1 gives x² − x + 1 = 0, so x³ = −1 and x⁶ = 1. Since 2000 = 6·333 + 2, x²⁰⁰⁰ = x², so the value is x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = −1. This is not among (A)–(C), so the answer is (E).x + 1/x = 1 से x² − x + 1 = 0 मिलता है, इसलिए x³ = −1 और x⁶ = 1। चूँकि 2000 = 6·333 + 2, x²⁰⁰⁰ = x², अतः मान x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = −1 है। यह (A)–(C) में नहीं है, इसलिए उत्तर (E) है।

Explanation

Differentiating, dy/dx = −16x/(9y). The tangent is horizontal when x = 0, which gives y² = 16, i.e. the points (0, ±4).अवकलन करने पर dy/dx = −16x/(9y)। स्पर्श-रेखा तब क्षैतिज होती है जब x = 0, जिससे y² = 16, अर्थात् बिन्दु (0, ±4)।

Explanation

The LCM of the root indices 2 and 3 is 6, so x = t⁶ turns x^(1/2) and x^(1/3) into t³ and t², making the integrand rational.मूल-घातांकों 2 और 3 का ल.स. 6 है, इसलिए x = t⁶ रखने पर x^(1/2) और x^(1/3) क्रमशः t³ और t² बन जाते हैं और समाकल्य परिमेय हो जाता है।

Explanation

Multiply by eʸ: eʸ dy = (eˣ + x²) dx. Integrating gives eʸ = eˣ + x³/3 + c.eʸ से गुणा करने पर eʸ dy = (eˣ + x²) dx। समाकलन करने पर eʸ = eˣ + x³/3 + c।

Explanation

Dividing by yⁿ gives y⁻ⁿ dy/dx + P y¹⁻ⁿ = Q. With v = y¹⁻ⁿ = 1/yⁿ⁻¹, dv/dx = (1 − n)y⁻ⁿ dy/dx, so the equation becomes linear in v (this is Bernoulli's equation).yⁿ से भाग देने पर y⁻ⁿ dy/dx + P y¹⁻ⁿ = Q मिलता है। v = y¹⁻ⁿ = 1/yⁿ⁻¹ रखने पर dv/dx = (1 − n)y⁻ⁿ dy/dx, अतः समीकरण v में रैखिक हो जाता है (यह बरनौली समीकरण है)।

Explanation

e₁² = (a² + b²)/a² and e₂² = (a² + b²)/b² (conjugate hyperbola). So 1/e₁² + 1/e₂² = (a² + b²)/(a² + b²) = 1.e₁² = (a² + b²)/a² और e₂² = (a² + b²)/b² (संयुग्मी अतिपरवलय)। अतः 1/e₁² + 1/e₂² = (a² + b²)/(a² + b²) = 1।

Explanation

Let the roots be a/k, a, ak. Their product gives a³ = r. Also p = a(1/k + 1 + k) and q = a²(1/k + 1 + k), so a = q/p. Then r = q³/p³, i.e. p³r − q³ = 0.मान लें मूल a/k, a, ak हैं। इनके गुणनफल से a³ = r। साथ ही p = a(1/k + 1 + k) और q = a²(1/k + 1 + k), इसलिए a = q/p। तब r = q³/p³, अर्थात् p³r − q³ = 0।

Explanation

f is defined and continuous on [−1, 1]. Near x = 0, 1 − √(1 − x²) ≈ x²/2, so f(x) ≈ |x|/√2, which has a corner at 0. Away from 0 inside (−1, 1) it is differentiable, so f is differentiable on (−1, 0) ∪ (0, 1).f, [−1, 1] पर परिभाषित और संतत है। x = 0 के निकट 1 − √(1 − x²) ≈ x²/2, अतः f(x) ≈ |x|/√2, जिसका 0 पर कोना है। (−1, 1) में 0 को छोड़कर यह अवकलनीय है, इसलिए f, (−1, 0) ∪ (0, 1) में अवकलनीय है।

Explanation

Differentiating term by term gives dy/dx = 1 + x² + x⁴ + ..., a geometric series with sum 1/(1 − x²) for |x| < 1.पद-दर-पद अवकलन करने पर dy/dx = 1 + x² + x⁴ + ... मिलता है, जो |x| < 1 के लिए योग 1/(1 − x²) वाली गुणोत्तर श्रेणी है।

Explanation

For x ≥ 2 the equation is x² − 8x + 16 = (x − 4)² = 0, giving x = 4 (a double root). For x < 2 it is x² = 0, giving x = 0 (a double root). Counting each double root twice gives 4 + 4 + 0 + 0 = 8, the keyed answer. The distinct roots 0 and 4 add up to only 4, so the official key relies on counting multiplicity.x ≥ 2 के लिए समीकरण x² − 8x + 16 = (x − 4)² = 0 है, जिससे x = 4 (द्विक मूल)। x < 2 के लिए यह x² = 0 है, जिससे x = 0 (द्विक मूल)। प्रत्येक द्विक मूल को दो बार गिनने पर 4 + 4 + 0 + 0 = 8, जो कुंजी का उत्तर है। भिन्न मूल 0 और 4 का योग केवल 4 है, अतः आधिकारिक कुंजी मूलों की बहुलता गिनने पर आधारित है।

Explanation

f⁻¹(−2) is the set of x with x² − 6 = −2, i.e. x² = 4, so x = ±2.f⁻¹(−2) उन x का समुच्चय है जिनके लिए x² − 6 = −2, अर्थात् x² = 4, अतः x = ±2।

Explanation

Separating variables, dy/(y(y − 1)) = dx/x, so log|(y − 1)/y| = log|x| + const. The solution is y − 1 = cxy. None of (A)–(C) is equivalent to this ((B) would need 1/x in place of x), so the answer is (E).चरों को पृथक करने पर dy/(y(y − 1)) = dx/x, इसलिए log|(y − 1)/y| = log|x| + अचर। हल y − 1 = cxy है। (A)–(C) में से कोई भी इसके तुल्य नहीं है ((B) में x के स्थान पर 1/x होना चाहिए), इसलिए उत्तर (E) है।

Explanation

The required plane is (1 + 2λ)x + (2 + λ)y + (3 − λ)z + (5λ − 4) = 0. Perpendicularity gives 5(1 + 2λ) + 3(2 + λ) − 6(3 − λ) = 0, so 19λ = 7 and λ = 7/19. Substituting and multiplying by 19 gives 33x + 45y + 50z − 41 = 0.अभीष्ट समतल (1 + 2λ)x + (2 + λ)y + (3 − λ)z + (5λ − 4) = 0 है। लम्बवत् होने की शर्त से 5(1 + 2λ) + 3(2 + λ) − 6(3 − λ) = 0, अतः 19λ = 7 और λ = 7/19। प्रतिस्थापित करके 19 से गुणा करने पर 33x + 45y + 50z − 41 = 0।

Explanation

The general term is ⁶Cᵣ(3/2)⁶⁻ʳ(−1/3)ʳ x^(12 − 3r). It is constant when r = 4: 15 × (9/4) × (1/81) = 5/12.व्यापक पद ⁶Cᵣ(3/2)⁶⁻ʳ(−1/3)ʳ x^(12 − 3r) है। यह r = 4 पर अचर होता है: 15 × (9/4) × (1/81) = 5/12।

Explanation

With t = 2x/(1 + x²), the series t + t³/3 + t⁵/5 + ... = (1/2) log((1 + t)/(1 − t)). Here (1 + t)/(1 − t) = ((1 + x)/(1 − x))², so the sum is logₑ((1 + x)/(1 − x)) (for |x| < 1).t = 2x/(1 + x²) रखने पर श्रेणी t + t³/3 + t⁵/5 + ... = (1/2) log((1 + t)/(1 − t)) है। यहाँ (1 + t)/(1 − t) = ((1 + x)/(1 − x))², इसलिए योग logₑ((1 + x)/(1 − x)) है (|x| < 1 के लिए)।

Explanation

A² = [[1−2, 2+2], [−1−1, −2+1]] = [[−1, 4], [−2, −1]]. Then A² − 2A = [[−1−2, 4−4], [−2+2, −1−2]] = [[−3, 0], [0, −3]], and adding 2I gives [[−1, 0], [0, −1]] = −I.A² = [[1−2, 2+2], [−1−1, −2+1]] = [[−1, 4], [−2, −1]]। तब A² − 2A = [[−1−2, 4−4], [−2+2, −1−2]] = [[−3, 0], [0, −3]], और 2I जोड़ने पर [[−1, 0], [0, −1]] = −I।

Explanation

Each of the n elements can either be in a subset or not, giving 2 × 2 × ... × 2 = 2ⁿ subsets (including the empty set and A itself).n अवयवों में से प्रत्येक या तो उपसमुच्चय में होता है या नहीं, इसलिए 2 × 2 × ... × 2 = 2ⁿ उपसमुच्चय बनते हैं (रिक्त समुच्चय और A स्वयं सहित)।

Explanation

A quadratic with sum of roots S and product P is x² − Sx + P = 0, i.e. x² − 5x + 6 = 0 (roots 2 and 3).मूलों के योग S और गुणनफल P वाला द्विघात समीकरण x² − Sx + P = 0 होता है, अर्थात् x² − 5x + 6 = 0 (मूल 2 और 3)।

Explanation

For a polynomial with real coefficients, complex roots occur in conjugate pairs, so a − ib is also a root and f(a − ib) = 0. Zero is not among (A)-(C), so the answer is (E).वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में आते हैं, इसलिए a − ib भी मूल है और f(a − ib) = 0। शून्य (A)-(C) में नहीं है, इसलिए उत्तर (E) है।

Explanation

x³ − 3x² + x − 3 = x²(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(x² + 1), so the roots are 3, i and −i. The equation has exactly one positive root, which is not what (A)-(C) state, so the official key gives (E).x³ − 3x² + x − 3 = x²(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(x² + 1), इसलिए मूल 3, i और −i हैं। समीकरण का ठीक एक धनात्मक मूल है, जो (A)-(C) में कहा गया नहीं है, इसलिए आधिकारिक कुंजी के अनुसार उत्तर (E) है।

Explanation

g(x) = (x − 2)(x − 3). f(2) = 8 − 48 + 94 − 60 = −6 ≠ 0 but f(3) = 27 − 108 + 141 − 60 = 0, so in fact f(x) = (x − 3)(x − 4)(x − 5). The only common factor is x − 3.g(x) = (x − 2)(x − 3)। f(2) = 8 − 48 + 94 − 60 = −6 ≠ 0 परन्तु f(3) = 27 − 108 + 141 − 60 = 0, वस्तुतः f(x) = (x − 3)(x − 4)(x − 5)। अतः उभयनिष्ठ गुणनखण्ड केवल x − 3 है।

Explanation

lim(x→0) f(x) = 0 + 3 = 3, but f(0) = 1, so f is not continuous at 0, and hence not differentiable there either. We can definitely say it is discontinuous, so none of (A)-(C) is true - answer (E).lim(x→0) f(x) = 0 + 3 = 3, परन्तु f(0) = 1, इसलिए f, 0 पर संतत नहीं है और अतः वहाँ अवकलनीय भी नहीं है। हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि यह असंतत है, इसलिए (A)-(C) में से कोई सही नहीं है - उत्तर (E)।

Explanation

Differentiability implies continuity, and polynomials are continuous everywhere, so (B) and (C) are true. But continuity does not imply differentiability - e.g. |x| is continuous but not differentiable at 0 - so (A) is the incorrect statement.अवकलनीयता से संततता प्राप्त होती है और बहुपद हर जगह संतत होते हैं, इसलिए (B) और (C) सत्य हैं। परन्तु संततता से अवकलनीयता नहीं मिलती - जैसे |x| संतत है पर 0 पर अवकलनीय नहीं - इसलिए (A) असत्य कथन है।

Explanation

Rewrite as d²y/dx² − y = (dy/dx)^(1/3) and cube both sides to remove the fractional power: (d²y/dx² − y)³ = dy/dx. The highest derivative is second order and it appears to the power 3, so order = 2 and degree = 3.इसे d²y/dx² − y = (dy/dx)^(1/3) लिखें और भिन्नात्मक घात हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करें: (d²y/dx² − y)³ = dy/dx। उच्चतम अवकलज द्वितीय कोटि का है और उसकी घात 3 है, इसलिए कोटि = 2 और घात = 3।

Explanation

This is linear with P = −1/x, so the integrating factor is e^(−log x) = 1/x. Then d(y/x)/dx = 2x, so y/x = x² + c and y = x³ + cx.यह रैखिक समीकरण है जिसमें P = −1/x, इसलिए समाकलन गुणक e^(−log x) = 1/x है। तब d(y/x)/dx = 2x, अतः y/x = x² + c और y = x³ + cx।

Explanation

y = px + f(p) is Clairaut's equation, whose general solution is obtained by replacing p with an arbitrary constant c: y = cx + c².y = px + f(p) क्लेरो समीकरण है, जिसका व्यापक हल p के स्थान पर स्वेच्छ अचर c रखने से मिलता है: y = cx + c²।

Explanation

Separate variables: dy/y² = −4x dx, so −1/y = −2x² + c. With y(0) = 1, c = −1, giving 1/y = 2x² + 1, i.e. (2x² + 1)y = 1.चरों को पृथक करें: dy/y² = −4x dx, इसलिए −1/y = −2x² + c। y(0) = 1 से c = −1, अतः 1/y = 2x² + 1, अर्थात् (2x² + 1)y = 1।

Explanation

The general solution of an nth-order differential equation contains n independent arbitrary constants, so a third-order equation has 3.nवीं कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में n स्वतंत्र स्वेच्छ अचर होते हैं, इसलिए तृतीय कोटि के समीकरण में 3 होते हैं।

Explanation

Integrating x dx = y dy gives x²/2 − y²/2 = c, i.e. x² − y² = k, which is a family of (rectangular) hyperbolas.x dx = y dy का समाकलन करने पर x²/2 − y²/2 = c, अर्थात् x² − y² = k, जो (आयताकार) अतिपरवलयों का कुल है।

Explanation

x dy + y dx = d(xy) = 0, so xy = c, a rectangular hyperbola. Swapping x and y leaves xy = c unchanged, so the curve is symmetric about the line y = x (replacing x by −x alone changes it, so it is not symmetric about x = 0 or y = 0).x dy + y dx = d(xy) = 0, इसलिए xy = c, जो आयताकार अतिपरवलय है। x और y को आपस में बदलने पर xy = c अपरिवर्तित रहता है, इसलिए वक्र रेखा y = x के सापेक्ष सममित है (अकेले x को −x करने पर यह बदल जाता है, अतः यह x = 0 या y = 0 के सापेक्ष सममित नहीं है)।

Explanation

f′(x) = 12x³ + 12x² − 24x = 12x(x + 2)(x − 1), so the critical points are x = −2, 0, 1. f″(x) = 36x² + 24x − 24 is negative at x = 0, so x = 0 gives the (local) maximum f(0) = 12; x = −2 and x = 1 are minima (f = −20 and 7). The function has no absolute maximum, so the question refers to the local maximum value 12.f′(x) = 12x³ + 12x² − 24x = 12x(x + 2)(x − 1), इसलिए क्रान्तिक बिन्दु x = −2, 0, 1 हैं। f″(x) = 36x² + 24x − 24, x = 0 पर ऋणात्मक है, इसलिए x = 0 पर (स्थानीय) महत्तम f(0) = 12 है; x = −2 और x = 1 पर न्यूनतम हैं (f = −20 और 7)। फलन का कोई निरपेक्ष महत्तम नहीं है, इसलिए प्रश्न स्थानीय महत्तम मान 12 से सम्बन्धित है।

Explanation

The sum of the first n cubes is [n(n + 1)/2]². (A) is the sum of the first n natural numbers and (C) is the sum of squares, so none of the options is correct - (E).प्रथम n घनों का योग [n(n + 1)/2]² है। (A) प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग है और (C) वर्गों का योग है, इसलिए कोई भी विकल्प सही नहीं है - (E)।

Explanation

In the interval (a, b], the round bracket excludes a and the square bracket includes b, so a < x ≤ b.अन्तराल (a, b] में गोल कोष्ठक a को शामिल नहीं करता और वर्ग कोष्ठक b को शामिल करता है, इसलिए a < x ≤ b।

Explanation

A line through the point with position vector a⃗ parallel to b⃗ is r⃗ = a⃗ + λb⃗, so r⃗ = i + 2j + 3k + λ(3i + 2j − 2k). (B) swaps point and direction, and the line in (C) does not pass through (1, 2, 3).स्थिति सदिश a⃗ वाले बिन्दु से गुजरने वाली तथा b⃗ के समानान्तर रेखा r⃗ = a⃗ + λb⃗ होती है, इसलिए r⃗ = i + 2j + 3k + λ(3i + 2j − 2k)। (B) में बिन्दु और दिशा आपस में बदल गए हैं, और (C) की रेखा (1, 2, 3) से होकर नहीं जाती।

Explanation

The objective function of an LPP is the linear function whose optimum is sought, which may be a maximum (e.g. profit) or a minimum (e.g. cost). So both (A) and (B) are correct - answer (D).रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देश्य फलन वह रैखिक फलन है जिसका इष्टतम मान ज्ञात करना होता है, जो महत्तम (जैसे लाभ) या न्यूनतम (जैसे लागत) हो सकता है। अतः (A) और (B) दोनों सही हैं - उत्तर (D)।

Explanation

{(x, y) : 2 ≤ y ≤ 4} is a horizontal strip, the intersection of two half-planes, so it is convex. The region outside a circle and the region outside the parabola y² = x are not convex (e.g. the segment joining (1, 0) and (−1, 0) passes through the excluded part).{(x, y) : 2 ≤ y ≤ 4} एक क्षैतिज पट्टी है, जो दो अर्ध-समतलों का सर्वनिष्ठ है, इसलिए उत्तल है। वृत्त के बाहर का क्षेत्र और परवलय y² = x के बाहर का क्षेत्र उत्तल नहीं हैं (जैसे (1, 0) और (−1, 0) को मिलाने वाला रेखाखण्ड बहिष्कृत भाग से होकर जाता है)।