BPSC TRE 3.0 (2024) Mathematics Class 11-12 — Previous Year Paper

Explanation

The passage says "There is something here to please everyone" and praises Kerala's magical backwaters as an example of its variety, so both (A) and (B) are supported; (C) contradicts the passage.

Explanation

The passage advises a trip to the spice gardens in the hills "to inhale the fragrance of fresh cardamoms"; counting or buying spices is not mentioned.

Explanation

The passage states directly: "Kerala's cuisine is known for its spicy hot flavours."

Explanation

"The coconut and the spices give the food - especially the seafood - a pungency that is enhanced by tamarind", so both (A) and (B) describe it; Coca-Cola is not mentioned.

Explanation

The last line says bargain-hunters never have a problem "since English is spoken and understood everywhere in Kerala".

Explanation

"The" is used before a particular, known place; here a specific airport (the one you are flying from) is meant, so "the Airport".

Explanation

"Early" begins with a vowel sound, so the indefinite article "an" is used: "an early morning walk".

Explanation

30 April to 10 May is 10 days (1 day to 1 May + 9 more). 10 = 7 + 3, so Tuesday + 3 = Friday, which is not among the options.

Explanation

गद्यांश के अनुसार अजय रतन से नाराज होकर भाग रहा था, इसलिए रतन ने दौड़कर उसे रोकना चाहा।

Explanation

गद्यांश में कहा गया है कि रतन और अजय दिली दोस्त थे, 'इसलिए' रतन अजय को अच्छा छात्र बनने की सलाह देता था।

Explanation

गद्यांश के अनुसार रतन गरीब था और 'गरीब होकर भी पढ़ने में तेज था'; अतः (A) और (B) दोनों सही हैं। 'समझदार' शब्द गद्यांश में नहीं है।

Explanation

गद्यांश में स्पष्ट लिखा है – 'रतन और अजय दिली दोस्त थे।' भाई होने का कोई उल्लेख नहीं है।

Explanation

गद्यांश के अनुसार 'सभी शिक्षक उसके व्यवहार से प्रसन्न रहते थे', अर्थात् रतन के व्यवहार के कारण।

Explanation

अजय पढ़ने के बदले 'खेलने-कूदने और बदमाशी' में अधिक मन लगाता था; ये शब्द किसी विकल्प में नहीं हैं, इसलिए 'कोई नहीं' सही है।

Explanation

गद्यांश में कहा गया है – 'वे केवल वीर ही नहीं, बल्कि एक अच्छे राजनीतिज्ञ भी थे।'

Explanation

गद्यांश के अनुसार शिवाजी ने लोगों में 'एक राष्ट्र की भावना' भर दी और मराठा राज्य की स्थापना की।

Explanation

गद्यांश की पहली पंक्ति है – 'शिवाजी भारत के महान् वीरों में से एक थे।'

Explanation

गद्यांश में स्पष्ट है – 'उनके अच्छे गुणों के कारण सभी लोग उनका आदर करते थे।'

Explanation

'राजनीतिज्ञ' का अर्थ है राजनीति का ज्ञाता या जानकार व्यक्ति (राजनीति + ज्ञ)। दिए गए विकल्प 'नीति' का अर्थ बताते हैं, व्यक्ति का नहीं, इसलिए 'कोई नहीं'।

Explanation

गद्यांश शिवाजी की वीरता, राजनीति, राष्ट्र-भावना, धार्मिक सहिष्णुता और गुणों, यानी उनके पूरे जीवन का परिचय देता है, इसलिए 'शिवाजी का जीवन' उपयुक्त शीर्षक है।

Explanation

किसी विशेष व्यक्ति, स्थान या वस्तु का नाम व्यक्तिवाचक संज्ञा है। 'गंगा' और 'ब्रह्मपुत्र' विशेष नदियों के नाम हैं, जबकि 'नदी' जातिवाचक संज्ञा है।

Explanation

बोलने वाला अपने लिए जो सर्वनाम प्रयोग करता है (मैं, हम) वह उत्तम पुरुष है। 'तू' मध्यम पुरुष और 'वह' अन्य पुरुष है।

Explanation

'पर' और 'में' अधिकरण कारक के चिह्न हैं; 'दुकान पर' स्थान (आधार) बताता है।

Explanation

'पुष्प' संस्कृत का मूल (तत्सम) शब्द है। 'बच्चा' और 'चौदह' (चतुर्दश से) तद्भव/देशज रूप हैं।

Explanation

तीनों अशुद्ध हैं: शुद्ध रूप 'निरपराध', 'प्रामाणिक' और 'महत्त्व' हैं, इसलिए 'कोई नहीं'।

Explanation

'उत्कृष्ट' (श्रेष्ठ) का विलोम 'निकृष्ट' है। 'अधम' और 'नीच' क्रमशः 'उत्तम' और 'ऊँच' के विलोम माने जाते हैं।

Explanation

'यह कविता अनेक भाव प्रकट करती है' व्याकरण की दृष्टि से शुद्ध है। 'किसी भी आदमी' में 'भी' अनावश्यक है, शुद्ध रूप 'किसी आदमी को भेज दो' है।

Explanation

'जल' के पर्यायवाची हैं – पानी, नीर, वारि, अम्बु, तोय, जीवन, अमृत आदि; अतः तीनों विकल्प सही हैं।

Explanation

जहाँ लोगों का मिलन (एकत्र होना) हो, उसे 'सम्मेलन' कहते हैं।

Explanation

'खटाई में पड़ना' का अर्थ है किसी काम का झमेले या अनिश्चितता में पड़ जाना, यानी टल जाना।

Explanation

(x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² = x² + 1/x² + 2. None of the options has the +2 term.(x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² = x² + 1/x² + 2। किसी भी विकल्प में +2 वाला पद नहीं है।

Explanation

Marked price = 1.10 × CP; after 10% discount SP = 1.10 × 0.90 = 0.99 × CP, i.e. a 1% loss.अंकित मूल्य = 1.10 × क्रय मूल्य; 10% छूट के बाद विक्रय मूल्य = 1.10 × 0.90 = 0.99 × क्रय मूल्य, अर्थात 1% हानि।

Explanation

81 = 3⁴; dividing by 3 gives 27 = 3³, a perfect cube.81 = 3⁴; 3 से भाग देने पर 27 = 3³ मिलता है, जो एक पूर्ण घन है।

Explanation

Let the numbers be 2k and 5k; 5k − 2k = 3k = 66, so k = 22 and the numbers are 44 and 110. Option (C) lists them as 110 and 44 (order 5:2), which is presumably why the official key marks None of the above.माना संख्याएँ 2k और 5k हैं; 5k − 2k = 3k = 66, अतः k = 22 और संख्याएँ 44 और 110 हैं। विकल्प (C) में इन्हें 110 और 44 (अनुपात 5:2) के क्रम में लिखा है, संभवतः इसी कारण आधिकारिक उत्तर कुंजी में "उपर्युक्त में से कोई नहीं" दिया गया है।

Explanation

Adjacent angles of a parallelogram are supplementary: A + B = 180°, with A:B = 1:2, so A = 180/3 = 60°.समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं: A + B = 180°, और A:B = 1:2, अतः A = 180/3 = 60°।

Explanation

TSA = 2πr(r + h) = 2 × 22/7 × 7 × (7 + h) = 44(7 + h) = 968, so 7 + h = 22 and h = 15 cm.कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h) = 2 × 22/7 × 7 × (7 + h) = 44(7 + h) = 968, अतः 7 + h = 22 और h = 15 सेमी।

Explanation

Same base: (m + 1) + 5 = 7, so m = 1.आधार समान है: (m + 1) + 5 = 7, अतः m = 1।

Explanation

If x and y are inversely proportional, y = k/x, so their product xy = k stays constant; y/x = constant describes direct proportion.यदि x और y व्युत्क्रमानुपाती हैं, तो y = k/x, अतः उनका गुणनफल xy = k स्थिर रहता है; y/x = स्थिरांक सीधे अनुपात (समानुपात) को दर्शाता है।

Explanation

Each part has resistance R/5; five equal parts in parallel give R' = (R/5)/5 = R/25, so R/R' = 25.प्रत्येक भाग का प्रतिरोध R/5 है; पाँच बराबर भागों को समांतर क्रम में जोड़ने पर R' = (R/5)/5 = R/25, अतः R/R' = 25।

Explanation

Power P = I²R = 15² × 8 = 1800 W, which is not among the options.शक्ति P = I²R = 15² × 8 = 1800 W, जो विकल्पों में नहीं है।

Explanation

Reading small print needs a magnifying glass, i.e. a convex lens of short focal length (such as 5 cm). A 50 cm convex lens magnifies little and concave lenses diminish, so none of the listed lenses is the right choice.छोटे अक्षर पढ़ने के लिए आवर्धक लेंस, अर्थात कम फोकस दूरी (जैसे 5 cm) का उत्तल लेंस चाहिए। 50 cm का उत्तल लेंस बहुत कम आवर्धन करता है और अवतल लेंस छवि को छोटा करते हैं, इसलिए सूचीबद्ध लेंसों में से कोई भी सही विकल्प नहीं है।

Explanation

The eye lens focuses light on the retina, where the image is formed and converted into nerve signals; the cornea and iris only refract and control light.नेत्र लेंस प्रकाश को दृष्टि पटल (रेटिना) पर फोकस करता है, जहाँ प्रतिबिंब बनता है और तंत्रिका संकेतों में बदल जाता है; कार्निया और परितारिका केवल प्रकाश को अपवर्तित और नियंत्रित करते हैं।

Explanation

The vas deferens is part of the male reproductive system (it carries sperm from the testis). Ovary and uterus are female organs.शुक्रवाहिका नर जनन तंत्र का भाग है (यह वृषण से शुक्राणुओं को ले जाती है)। अंडाशय और गर्भाशय मादा अंग हैं।

Explanation

The anther is the part of the stamen that produces and contains pollen grains; ovules are in the ovary and sepals are outer floral leaves.परागकोश पुंकेसर का वह भाग है जो परागकणों का निर्माण करता है और उन्हें धारण करता है; बीजांड अंडाशय में होते हैं और बाह्यदल फूल के बाहरी पत्ते जैसे भाग हैं।

Explanation

Yeast reproduces by budding. Amoeba reproduces by binary fission and Plasmodium by multiple fission.यीस्ट मुकुलन द्वारा जनन करता है। अमीबा द्विखंडन द्वारा और प्लाज्मोडियम बहुखंडन द्वारा जनन करता है।

Explanation

Antacids neutralise excess stomach acid and relieve indigestion. Antibiotics fight bacteria and analgesics relieve pain.प्रतिअम्ल (एंटासिड) पेट के अतिरिक्त अम्ल को उदासीन करते हैं और अपच से राहत देते हैं। प्रतिजैविक जीवाणुओं से लड़ते हैं और पीड़ाहारी दर्द कम करते हैं।

Explanation

Under the CAA Rules, 2024, applications are examined by district-level committees headed by the Department of Posts and an empowered committee headed by the Director of Census Operations, so both (A) and (B) are involved.CAA नियम, 2024 के अंतर्गत आवेदनों की जाँच डाक विभाग की अध्यक्षता वाली जिला स्तरीय समितियाँ और जनगणना संचालन निदेशक की अध्यक्षता वाली अधिकार प्राप्त समिति करती हैं, इसलिए (A) और (B) दोनों शामिल हैं।

Explanation

In February 2024 India launched UPI services in Mauritius (along with Sri Lanka), as listed in option (C).फरवरी 2024 में भारत ने मॉरीशस (श्रीलंका के साथ) में UPI सेवाएँ शुरू कीं, जैसा कि विकल्प (C) में दिया गया है।

Explanation

Gaganyaan is ISRO's human spaceflight mission to carry Indian astronauts into low Earth orbit.गगनयान इसरो का मानव अंतरिक्ष उड़ान मिशन है, जिसमें भारतीय अंतरिक्ष यात्रियों को पृथ्वी की निचली कक्षा में ले जाया जाएगा।

Explanation

The G7 members are the USA, Canada, UK, France, Germany, Italy and Japan. Russia was suspended from the G8 in 2014, so it is not a member.G7 के सदस्य अमेरिका, कनाडा, ब्रिटेन, फ्रांस, जर्मनी, इटली और जापान हैं। रूस को 2014 में G8 से निलंबित कर दिया गया था, इसलिए वह सदस्य नहीं है।

Explanation

Green hydrogen is produced by electrolysis of water using electricity from renewable sources such as solar or wind.हरित हाइड्रोजन का उत्पादन सौर या पवन जैसे नवीकरणीय स्रोतों की बिजली से जल के विद्युत अपघटन (इलेक्ट्रोलिसिस) द्वारा किया जाता है।

Explanation

In the 2024 cost-of-living index (Numbeo), Pakistan was ranked the cheapest country, with a lower cost of living than India, so the key treats Pakistan as better on this measure.2024 के जीवन-यापन लागत सूचकांक (Numbeo) में पाकिस्तान को सबसे सस्ता देश माना गया, जहाँ जीवन-यापन की लागत भारत से कम है, इसलिए कुंजी में इस पैमाने पर पाकिस्तान को बेहतर माना गया है।

Explanation

Rajendra Prasad was among the lawyers and leaders who worked closely with Gandhiji during the Champaran Satyagraha of 1917 for the indigo farmers.राजेन्द्र प्रसाद उन वकीलों और नेताओं में से थे जिन्होंने 1917 के चम्पारन सत्याग्रह में नील की खेती करने वाले किसानों के लिए गांधीजी के साथ मिलकर काम किया।

Explanation

Mercury looks like the Moon: it has almost no atmosphere and its surface is heavily cratered.बुध चंद्रमा जैसा दिखता है: इसका वायुमंडल लगभग नहीं के बराबर है और इसकी सतह पर बहुत अधिक क्रेटर (गड्ढे) हैं।

Explanation

The oldest human fossils (e.g., at Olduvai Gorge and other East African sites) come from the Rift Valley of Africa, considered the cradle of mankind.सबसे पुराने मानव जीवाश्म (जैसे ओल्डुवाई गॉर्ज और पूर्वी अफ्रीका के अन्य स्थलों पर) अफ्रीका की रिफ्ट घाटी से मिले हैं, जिसे मानव जाति का पालना माना जाता है।

Explanation

Dry-point settlements grow on raised dry ground in areas that flood or are marshy; the official key accepts more than one of the listed regions.शुष्क बिंदु बस्तियाँ उन क्षेत्रों में ऊँची सूखी भूमि पर बसती हैं जहाँ बाढ़ आती है या दलदल होता है; आधिकारिक कुंजी सूचीबद्ध क्षेत्रों में से एक से अधिक को स्वीकार करती है।

Explanation

Rohtas is the leading paddy-producing district of Bihar and is called the 'Rice Bowl of Bihar'.रोहतास बिहार का सबसे अधिक धान उत्पादन करने वाला जिला है और इसे 'बिहार का चावल का कटोरा' कहा जाता है।

Explanation

Tehran lies at the southern foot of the Alborz (Elburz) mountains in northern Iran.तेहरान उत्तरी ईरान में अलबुर्ज (एल्बुर्ज) पर्वतों के दक्षिणी तल पर स्थित है।

Explanation

Official BPSC final answer key: (E), with the remark that the highest peak in the Eastern Ghats is Jindhagada (Arma Konda), which is not among the options.बिहार लोक सेवा आयोग (BPSC) की आधिकारिक अंतिम उत्तर कुंजी: (E), टिप्पणी के साथ कि पूर्वी घाट की सबसे ऊँची चोटी जिंदगढ़ा (अर्मा कोंडा) है, जो विकल्पों में नहीं है।

Explanation

NCERT notes that grazing and fuelwood collection by local people are often blamed but are not a major cause of forest depletion compared with agricultural expansion and large development projects.NCERT के अनुसार स्थानीय लोगों द्वारा चराई और ईंधन की लकड़ी का संग्रह अक्सर दोषी ठहराया जाता है, परंतु कृषि विस्तार और बड़ी विकास परियोजनाओं की तुलना में यह वनों के ह्रास का प्रमुख कारण नहीं है।

Explanation

Bhagalpur is famous for Tussar silk and is known as the 'Silk City' of India.भागलपुर तसर रेशम के लिए प्रसिद्ध है और इसे भारत की 'रेशम नगरी' (सिल्क सिटी) कहा जाता है।

Explanation

Lord Chelmsford was Viceroy (1916-1921) when the Jallianwala Bagh massacre happened on 13 April 1919.लॉर्ड चेम्सफोर्ड वायसराय (1916-1921) थे जब 13 अप्रैल 1919 को जलियांवाला बाग हत्याकांड हुआ।

Explanation

W. C. Bonnerjee presided over the first INC session at Bombay in December 1885.डब्ल्यू. सी. बनर्जी ने दिसंबर 1885 में बंबई में आयोजित कांग्रेस के प्रथम अधिवेशन की अध्यक्षता की।

Explanation

Dadabhai Naoroji is known as the 'Grand Old Man of India'; he also gave the drain theory.दादाभाई नौरोजी को 'भारत के वयोवृद्ध पुरुष' (ग्रैंड ओल्ड मैन ऑफ इंडिया) के नाम से जाना जाता है; उन्होंने धन के निष्कासन का सिद्धांत भी दिया।

Explanation

Gandhiji launched the Non-Cooperation Movement (1920) and the Quit India Movement (1942). The Swadeshi Movement began in 1905 against the Partition of Bengal, before Gandhi's return.गांधीजी ने असहयोग आंदोलन (1920) और भारत छोड़ो आंदोलन (1942) शुरू किए। स्वदेशी आंदोलन 1905 में बंगाल विभाजन के विरोध में शुरू हुआ था, जो गांधीजी के भारत लौटने से पहले की बात है।

Explanation

Sardar Vallabhbhai Patel led the Bardoli Satyagraha (1928) against increased land revenue and got the title 'Sardar' from it.सरदार वल्लभभाई पटेल ने बढ़ाए गए भू-राजस्व के विरुद्ध बारदोली सत्याग्रह (1928) का नेतृत्व किया और इसी से उन्हें 'सरदार' की उपाधि मिली।

Explanation

Annie Besant and Tilak founded the Home Rule Leagues (1916), and Sarojini Naidu was also an active member of the movement, so all three are associated with it.एनी बेसेंट और तिलक ने होम रूल लीग (1916) की स्थापना की, और सरोजिनी नायडू भी इस आंदोलन की सक्रिय सदस्य थीं, इसलिए तीनों इससे जुड़े हैं।

Explanation

Swami Sahajanand Saraswati, who started the Bihar Provincial Kisan Sabha in 1929, became the first president of the All India Kisan Sabha formed in 1936.स्वामी सहजानंद सरस्वती, जिन्होंने 1929 में बिहार प्रांतीय किसान सभा की शुरुआत की थी, 1936 में बनी अखिल भारतीय किसान सभा के पहले अध्यक्ष बने।

Explanation

(A + A′)′ = A′ + (A′)′ = A′ + A = A + A′, so A + A′ equals its own transpose and is always symmetric.(A + A′)′ = A′ + (A′)′ = A′ + A = A + A′, इसलिए A + A′ अपने परिवर्त के बराबर है और सदैव सममित होती है।

Explanation

The product AB is defined only when the number of columns of A equals the number of rows of B, so n = p, and the product is of order m×q.गुणनफल AB तभी परिभाषित होता है जब A के स्तम्भों की संख्या B की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो, इसलिए n = p, और गुणनफल की कोटि m×q होती है।

Explanation

A² = [[1−2, 2+2], [−1−1, −2+1]] = [[−1, 4], [−2, −1]]. Then A² − 2A = [[−1−2, 4−4], [−2+2, −1−2]] = [[−3, 0], [0, −3]], and adding 2I gives [[−1, 0], [0, −1]] = −I.A² = [[1−2, 2+2], [−1−1, −2+1]] = [[−1, 4], [−2, −1]]। तब A² − 2A = [[−1−2, 4−4], [−2+2, −1−2]] = [[−3, 0], [0, −3]], और 2I जोड़ने पर [[−1, 0], [0, −1]] = −I।

Explanation

The determinant with these vectors as rows is 1 × (1·2 − (−1)·1) = 3 ≠ 0, so the vectors are linearly independent.इन सदिशों को पंक्तियाँ मानकर बने सारणिक का मान 1 × (1·2 − (−1)·1) = 3 ≠ 0 है, इसलिए सदिश एकघातत: स्वतंत्र हैं।

Explanation

Both matrices are triangular, so each determinant is the product of the diagonal entries: Δ₁ = 2·4·8 = 64 and Δ₂ = 4·8·2 = 64. Hence Δ₁ = Δ₂.दोनों आव्यूह त्रिकोणीय हैं, इसलिए प्रत्येक सारणिक विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल है: Δ₁ = 2·4·8 = 64 और Δ₂ = 4·8·2 = 64। अतः Δ₁ = Δ₂।

Explanation

Matrix multiplication (and addition) of square matrices of the same order is associative, and the identity matrix I satisfies AI = IA = A, but multiplication is not commutative in general (AB ≠ BA). So both (A) and (B) hold, giving (D).समान क्रम के वर्ग आव्यूहों का गुणन (और योग) साहचर्य होता है, और तत्समक आव्यूह I के लिए AI = IA = A होता है, परन्तु गुणन सामान्यतः क्रम विनिमेय नहीं होता (AB ≠ BA)। अतः (A) और (B) दोनों सही हैं, इसलिए उत्तर (D) है।

Explanation

Each of the n elements can either be in a subset or not, giving 2 × 2 × ... × 2 = 2ⁿ subsets (including the empty set and A itself).n अवयवों में से प्रत्येक या तो उपसमुच्चय में होता है या नहीं, इसलिए 2 × 2 × ... × 2 = 2ⁿ उपसमुच्चय बनते हैं (रिक्त समुच्चय और A स्वयं सहित)।

Explanation

By De Moivre's theorem, (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = cos(α + β) + i sin(α + β) = cos π + i sin π = −1.डी मॉइव्र प्रमेय से (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = cos(α + β) + i sin(α + β) = cos π + i sin π = −1।

Explanation

If 2a + 1 = 2b + 1 then a = b, so f is one-one. For any real y, x = (y − 1)/2 is real and f(x) = y, so f is onto. Hence f is one-one and onto.यदि 2a + 1 = 2b + 1 तो a = b, अतः f एकैकी है। किसी भी वास्तविक y के लिए x = (y − 1)/2 वास्तविक है और f(x) = y, इसलिए f आच्छादक है। अतः f एकैकी आच्छादक है।

Explanation

A pair (x, f(x)) must satisfy f(x) = x − 2: f(4) = 2, f(8) = 6 and f(5) = 3. All three pairs belong to the relation, so the answer is (D).युग्म (x, f(x)) को f(x) = x − 2 सन्तुष्ट करना चाहिए: f(4) = 2, f(8) = 6 और f(5) = 3। तीनों युग्म इस सम्बन्ध के अवयव हैं, इसलिए उत्तर (D) है।

Explanation

A quadratic with sum of roots S and product P is x² − Sx + P = 0, i.e. x² − 5x + 6 = 0 (roots 2 and 3).मूलों के योग S और गुणनफल P वाला द्विघात समीकरण x² − Sx + P = 0 होता है, अर्थात् x² − 5x + 6 = 0 (मूल 2 और 3)।

Explanation

For a polynomial with real coefficients, complex roots occur in conjugate pairs, so a − ib is also a root and f(a − ib) = 0. Zero is not among (A)-(C), so the answer is (E).वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में आते हैं, इसलिए a − ib भी मूल है और f(a − ib) = 0। शून्य (A)-(C) में नहीं है, इसलिए उत्तर (E) है।

Explanation

x³ − 3x² + x − 3 = x²(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(x² + 1), so the roots are 3, i and −i. The equation has exactly one positive root, which is not what (A)-(C) state, so the official key gives (E).x³ − 3x² + x − 3 = x²(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(x² + 1), इसलिए मूल 3, i और −i हैं। समीकरण का ठीक एक धनात्मक मूल है, जो (A)-(C) में कहा गया नहीं है, इसलिए आधिकारिक कुंजी के अनुसार उत्तर (E) है।

Explanation

We need 2x − 1 to be divisible by 7. For x = 4, 2x = 8 ≡ 1 (mod 7), so x ≡ 4 (mod 7).2x − 1 का 7 से विभाज्य होना आवश्यक है। x = 4 के लिए 2x = 8 ≡ 1 (mod 7), इसलिए x ≡ 4 (mod 7)।

Explanation

The greatest integer function gives the largest integer not exceeding the number: [5.7] = 5 and [3.2] = 3, so the sum is 8.महत्तम पूर्णांक फलन संख्या से अधिक न होने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक देता है: [5.7] = 5 और [3.2] = 3, इसलिए योग 8 है।

Explanation

g(x) = (x − 2)(x − 3). f(2) = 8 − 48 + 94 − 60 = −6 ≠ 0 but f(3) = 27 − 108 + 141 − 60 = 0, so in fact f(x) = (x − 3)(x − 4)(x − 5). The only common factor is x − 3.g(x) = (x − 2)(x − 3)। f(2) = 8 − 48 + 94 − 60 = −6 ≠ 0 परन्तु f(3) = 27 − 108 + 141 − 60 = 0, वस्तुतः f(x) = (x − 3)(x − 4)(x − 5)। अतः उभयनिष्ठ गुणनखण्ड केवल x − 3 है।

Explanation

If a = kp + 5, then a² = p(k²p + 10k) + 25, so a² leaves the same remainder as 25 on division by p. That remainder depends on p (e.g. p = 7 gives 4, p = 6 gives 1, only p > 25 gives 25), so no fixed option is correct and the official key gives (E).यदि a = kp + 5, तो a² = p(k²p + 10k) + 25, इसलिए a² को p से भाग देने पर वही शेषफल बचता है जो 25 को p से भाग देने पर। यह शेषफल p पर निर्भर करता है (जैसे p = 7 पर 4, p = 6 पर 1, केवल p > 25 पर 25), इसलिए कोई निश्चित विकल्प सही नहीं है और आधिकारिक कुंजी (E) देती है।

Explanation

LCM × HCF = product of the numbers, so (2k)(3k) = 6k² = 294, giving k² = 49 and k = 7. The numbers are 14 and 21.ल.स. × म.स. = संख्याओं का गुणनफल, इसलिए (2k)(3k) = 6k² = 294, जिससे k² = 49 और k = 7। संख्याएँ 14 और 21 हैं।

Explanation

A set is a well-defined collection of objects. Vowels of the English alphabet, months of a year and natural numbers less than 10 are all well defined, so all three are sets - answer (D).समुच्चय वस्तुओं का सुपरिभाषित संग्रह होता है। अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर, एक वर्ष के माह और 10 से कम प्राकृत संख्याएँ, तीनों सुपरिभाषित हैं, इसलिए तीनों समुच्चय हैं - उत्तर (D)।

Explanation

A − B is the set of elements that are in A but not in B, i.e. in A and in the complement of B. Hence A − B = A ∩ Bᶜ.A − B उन अवयवों का समुच्चय है जो A में हैं पर B में नहीं, अर्थात् A में और B के पूरक में हैं। अतः A − B = A ∩ Bᶜ।

Explanation

Each of the 3 elements of A can be mapped to any of the 3 elements of B, so the number of functions is 3³ = 27.A के 3 अवयवों में से प्रत्येक को B के 3 अवयवों में से किसी पर भी प्रतिचित्रित किया जा सकता है, इसलिए फलनों की संख्या 3³ = 27 है।

Explanation

Write (e^(2x) − 1)/(5x) = (2/5) · (e^(2x) − 1)/(2x). Since (e^t − 1)/t → 1 as t → 0, the limit is 2/5.(e^(2x) − 1)/(5x) = (2/5) · (e^(2x) − 1)/(2x) लिखें। चूँकि t → 0 पर (eᵗ − 1)/t → 1, सीमा 2/5 है।

Explanation

Both numerator and denominator → −∞, so use L'Hospital's rule: the ratio of derivatives is (2 cot 2x)/(cot x) = 2 tan x / tan 2x → 2 · (1/2) = 1 as x → 0.अंश और हर दोनों → −∞ हैं, इसलिए L'Hospital नियम लगाएँ: अवकलजों का अनुपात (2 cot 2x)/(cot x) = 2 tan x / tan 2x → 2 · (1/2) = 1, जब x → 0।

Explanation

|x − 1| has a corner at x = 1 (left derivative −1, right derivative +1); [x] jumps at the integer 1, so it is not even continuous there; and 1 + (1 − x)^(1/3) has derivative −(1/3)(1 − x)^(−2/3), which is infinite at x = 1. All three fail, so (D).|x − 1| का x = 1 पर कोना है (बायाँ अवकलज −1, दायाँ अवकलज +1); [x] पूर्णांक 1 पर छलांग लगाता है, इसलिए वहाँ संतत भी नहीं है; और 1 + (1 − x)^(1/3) का अवकलज −(1/3)(1 − x)^(−2/3) है, जो x = 1 पर अनन्त है। तीनों असफल होते हैं, इसलिए (D)।

Explanation

Let y = xˣ, so log y = x log x. Differentiating, (1/y) dy/dx = log x + 1, hence dy/dx = xˣ(1 + logₑ x).मान लें y = xˣ, तो log y = x log x। अवकलन करने पर (1/y) dy/dx = log x + 1, इसलिए dy/dx = xˣ(1 + logₑ x)।

Explanation

f(x) = sin⁵x cos⁴x satisfies f(−x) = −f(x), so it is an odd function. The integral of an odd function over a symmetric interval [−1, 1] is 0.f(x) = sin⁵x cos⁴x के लिए f(−x) = −f(x), अतः यह विषम फलन है। सममित अन्तराल [−1, 1] पर विषम फलन का समाकल 0 होता है।

Explanation

Let I be the integral. Using ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx, I = ∫₀^(π/2) √(cos x)/(√(cos x) + √(sin x)) dx. Adding, 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, so I = π/4.समाकल को I मानें। ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx के प्रयोग से I = ∫₀^(π/2) √(cos x)/(√(cos x) + √(sin x)) dx। जोड़ने पर 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, अतः I = π/4।

Explanation

1 + sin x = sin²(x/2) + cos²(x/2) + 2 sin(x/2)cos(x/2) = (sin(x/2) + cos(x/2))². So the integral is ∫(sin(x/2) + cos(x/2)) dx = −2cos(x/2) + 2sin(x/2) = 2(sin(x/2) − cos(x/2)) + C.1 + sin x = sin²(x/2) + cos²(x/2) + 2 sin(x/2)cos(x/2) = (sin(x/2) + cos(x/2))²। अतः समाकल ∫(sin(x/2) + cos(x/2)) dx = −2cos(x/2) + 2sin(x/2) = 2(sin(x/2) − cos(x/2)) + C।

Explanation

The circle has radius 4 and area π·4² = 16π. The first quadrant holds one quarter of it, i.e. 4π, which is not among (A)-(C), so the answer is (E).वृत्त की त्रिज्या 4 है और क्षेत्रफल π·4² = 16π। प्रथम चतुर्थांश में इसका चौथाई भाग, अर्थात् 4π है, जो (A)-(C) में नहीं है, इसलिए उत्तर (E) है।

Explanation

The Archimedean property of real numbers states that for any x > 0 and any real y there is a positive integer n such that nx > y.वास्तविक संख्याओं का आर्किमिडीज गुण कहता है कि किसी भी x > 0 और किसी भी वास्तविक y के लिए एक धनात्मक पूर्णांक n ऐसा होता है कि nx > y।

Explanation

lim(x→0) f(x) = 0 + 3 = 3, but f(0) = 1, so f is not continuous at 0, and hence not differentiable there either. We can definitely say it is discontinuous, so none of (A)-(C) is true - answer (E).lim(x→0) f(x) = 0 + 3 = 3, परन्तु f(0) = 1, इसलिए f, 0 पर संतत नहीं है और अतः वहाँ अवकलनीय भी नहीं है। हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि यह असंतत है, इसलिए (A)-(C) में से कोई सही नहीं है - उत्तर (E)।

Explanation

Differentiability implies continuity, and polynomials are continuous everywhere, so (B) and (C) are true. But continuity does not imply differentiability - e.g. |x| is continuous but not differentiable at 0 - so (A) is the incorrect statement.अवकलनीयता से संततता प्राप्त होती है और बहुपद हर जगह संतत होते हैं, इसलिए (B) और (C) सत्य हैं। परन्तु संततता से अवकलनीयता नहीं मिलती - जैसे |x| संतत है पर 0 पर अवकलनीय नहीं - इसलिए (A) असत्य कथन है।

Explanation

By the completeness (least upper bound) property of real numbers, every non-empty set bounded above has a supremum, and likewise every non-empty set bounded below has an infimum; so a bounded set has both. All three statements are correct, so none is 'not correct' - answer (E).वास्तविक संख्याओं के पूर्णता (न्यूनतम उपरि सीमा) गुण के अनुसार प्रत्येक अरिक्त उपरि परिबद्ध समुच्चय का उच्चक होता है, और उसी प्रकार प्रत्येक अरिक्त निम्न परिबद्ध समुच्चय का निम्नक होता है; अतः परिबद्ध समुच्चय के दोनों होते हैं। तीनों कथन सही हैं, इसलिए कोई भी 'सही नहीं' नहीं है - उत्तर (E)।

Explanation

Rewrite as d²y/dx² − y = (dy/dx)^(1/3) and cube both sides to remove the fractional power: (d²y/dx² − y)³ = dy/dx. The highest derivative is second order and it appears to the power 3, so order = 2 and degree = 3.इसे d²y/dx² − y = (dy/dx)^(1/3) लिखें और भिन्नात्मक घात हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करें: (d²y/dx² − y)³ = dy/dx। उच्चतम अवकलज द्वितीय कोटि का है और उसकी घात 3 है, इसलिए कोटि = 2 और घात = 3।

Explanation

dy/dx = 2x/y² gives y² dy = 2x dx, so y³/3 = x² + c, i.e. y³ = 3x² + C. At (−2, 3): 27 = 12 + C, so C = 15 and the curve is y³ = 3x² + 15.dy/dx = 2x/y² से y² dy = 2x dx, इसलिए y³/3 = x² + c, अर्थात् y³ = 3x² + C। (−2, 3) पर: 27 = 12 + C, अतः C = 15 और वक्र y³ = 3x² + 15 है।

Explanation

This is linear with P = −1/x, so the integrating factor is e^(−log x) = 1/x. Then d(y/x)/dx = 2x, so y/x = x² + c and y = x³ + cx.यह रैखिक समीकरण है जिसमें P = −1/x, इसलिए समाकलन गुणक e^(−log x) = 1/x है। तब d(y/x)/dx = 2x, अतः y/x = x² + c और y = x³ + cx।

Explanation

y = px + f(p) is Clairaut's equation, whose general solution is obtained by replacing p with an arbitrary constant c: y = cx + c².y = px + f(p) क्लेरो समीकरण है, जिसका व्यापक हल p के स्थान पर स्वेच्छ अचर c रखने से मिलता है: y = cx + c²।

Explanation

Separate variables: dy/y² = −4x dx, so −1/y = −2x² + c. With y(0) = 1, c = −1, giving 1/y = 2x² + 1, i.e. (2x² + 1)y = 1.चरों को पृथक करें: dy/y² = −4x dx, इसलिए −1/y = −2x² + c। y(0) = 1 से c = −1, अतः 1/y = 2x² + 1, अर्थात् (2x² + 1)y = 1।

Explanation

The general solution of an nth-order differential equation contains n independent arbitrary constants, so a third-order equation has 3.nवीं कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में n स्वतंत्र स्वेच्छ अचर होते हैं, इसलिए तृतीय कोटि के समीकरण में 3 होते हैं।

Explanation

Integrating x dx = y dy gives x²/2 − y²/2 = c, i.e. x² − y² = k, which is a family of (rectangular) hyperbolas.x dx = y dy का समाकलन करने पर x²/2 − y²/2 = c, अर्थात् x² − y² = k, जो (आयताकार) अतिपरवलयों का कुल है।

Explanation

x dy + y dx = d(xy) = 0, so xy = c, a rectangular hyperbola. Swapping x and y leaves xy = c unchanged, so the curve is symmetric about the line y = x (replacing x by −x alone changes it, so it is not symmetric about x = 0 or y = 0).x dy + y dx = d(xy) = 0, इसलिए xy = c, जो आयताकार अतिपरवलय है। x और y को आपस में बदलने पर xy = c अपरिवर्तित रहता है, इसलिए वक्र रेखा y = x के सापेक्ष सममित है (अकेले x को −x करने पर यह बदल जाता है, अतः यह x = 0 या y = 0 के सापेक्ष सममित नहीं है)।

Explanation

The parabolas meet at (0, 0) and (4, 4). Area = ∫₀⁴ (2√x − x²/4) dx = [(4/3)x^(3/2) − x³/12]₀⁴ = 32/3 − 16/3 = 16/3.परवलय (0, 0) और (4, 4) पर मिलते हैं। क्षेत्रफल = ∫₀⁴ (2√x − x²/4) dx = [(4/3)x^(3/2) − x³/12]₀⁴ = 32/3 − 16/3 = 16/3।

Explanation

f′(x) = 3 cos 3x. For x in [0, π/6], 3x lies in [0, π/2] where cos 3x ≥ 0, so f is increasing on the interval.f′(x) = 3 cos 3x। [0, π/6] में x के लिए 3x, [0, π/2] में होता है जहाँ cos 3x ≥ 0, इसलिए f इस अन्तराल में बढ़ता हुआ है।

Explanation

|x − 3| ≥ 0 for all x and equals 0 only when x = 3, so the minimum value 0 is attained at x = 3.सभी x के लिए |x − 3| ≥ 0 और यह केवल x = 3 पर 0 होता है, इसलिए न्यूनतम मान 0, x = 3 पर प्राप्त होता है।

Explanation

f′(x) = 12x³ + 12x² − 24x = 12x(x + 2)(x − 1), so the critical points are x = −2, 0, 1. f″(x) = 36x² + 24x − 24 is negative at x = 0, so x = 0 gives the (local) maximum f(0) = 12; x = −2 and x = 1 are minima (f = −20 and 7). The function has no absolute maximum, so the question refers to the local maximum value 12.f′(x) = 12x³ + 12x² − 24x = 12x(x + 2)(x − 1), इसलिए क्रान्तिक बिन्दु x = −2, 0, 1 हैं। f″(x) = 36x² + 24x − 24, x = 0 पर ऋणात्मक है, इसलिए x = 0 पर (स्थानीय) महत्तम f(0) = 12 है; x = −2 और x = 1 पर न्यूनतम हैं (f = −20 और 7)। फलन का कोई निरपेक्ष महत्तम नहीं है, इसलिए प्रश्न स्थानीय महत्तम मान 12 से सम्बन्धित है।

Explanation

Integrate by parts with u = log x, dv = dx: ∫log x dx = x log x − ∫x · (1/x) dx = x log x − x + c = x(log x − 1) + c.u = log x, dv = dx लेकर खण्डशः समाकलन करने पर ∫log x dx = x log x − ∫x · (1/x) dx = x log x − x + c = x(log x − 1) + c।

Explanation

(1 + i)² = 2i, so (1 + i)⁴ = (2i)² = −4. Also 4e^(iπ) = 4(cos π + i sin π) = −4, while −4e^(−iπ/2) = −4(−i) = 4i. So both (A) and (B) are correct - answer (D).(1 + i)² = 2i, इसलिए (1 + i)⁴ = (2i)² = −4। साथ ही 4e^(iπ) = 4(cos π + i sin π) = −4, जबकि −4e^(−iπ/2) = −4(−i) = 4i। अतः (A) और (B) दोनों सही हैं - उत्तर (D)।

Explanation

i = 0 + 1·i lies on the positive imaginary axis, i.e. i = cos(π/2) + i sin(π/2), so its (principal) argument is π/2.i = 0 + 1·i धनात्मक काल्पनिक अक्ष पर स्थित है, अर्थात् i = cos(π/2) + i sin(π/2), इसलिए इसका (मुख्य) कोणांक π/2 है।