521 Mathematics questions asked in BPSC TRE previous year papers, each with the correct answer and explanation. Read them free on UTpaper, or attempt the full papers as timed online tests.
Q101BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
One card is drawn from a well-shuffled deck of 52 cards. If each outcome is equally likely, then what is the probability that the card will not be a diamond?अच्छी तरह से फेंटी गई 52 ताशों की एक गड्डी में से एक ताश खींचा जाता है। यदि प्रत्येक परिणाम सम सम्भाव्य हो, तो इसकी प्रायिकता क्या है कि ताश ईंट (diamond) नहीं होगा?
A1/41/4
B12/1312/13
C3/43/4
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)3/43/4
Explanation
There are 13 diamonds, so P(not a diamond) = 39/52 = 3/4.ईंट के 13 पत्ते हैं, इसलिए P(ईंट नहीं) = 39/52 = 3/4।
Q102BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
P, Q and R can complete a work in 6 hours, 8 hours and 15 hours respectively. They together completed the work and received ₹9,460 as remuneration. Their shares in the remuneration are respectivelyP, Q और R एक काम को क्रमशः 6 घण्टे, 8 घण्टे तथा 15 घण्टे में पूरा कर सकते हैं। उन्होंने एक साथ काम पूरा किया और पारिश्रमिक के रूप में ₹9,460 प्राप्त किया। पारिश्रमिक में उनके हिस्से हैं, क्रमशः
A₹4,200; ₹3,500; ₹1,760₹4,200; ₹3,500; ₹1,760
B₹4,400; ₹3,300; ₹1,760₹4,400; ₹3,300; ₹1,760
C₹4,300; ₹3,250; ₹1,910₹4,300; ₹3,250; ₹1,910
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Work rates are 1/6 : 1/8 : 1/15 = 20 : 15 : 8, total 43 parts. Each part = 9460/43 = ₹220, giving ₹4,400, ₹3,300 and ₹1,760.कार्य दरें 1/6 : 1/8 : 1/15 = 20 : 15 : 8, कुल 43 भाग। प्रत्येक भाग = 9460/43 = ₹220, अतः हिस्से ₹4,400, ₹3,300 और ₹1,760।
Q103BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The sum of the squares of two natural numbers is 410. If the square of the larger number is 26 times the smaller number plus 3, then the difference between the two numbers isदो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग 410 है। यदि बड़ी संख्या का वर्ग, छोटी संख्या के 26 गुने में 3 जोड़ने से मिलता है, तब उन दो संख्याओं का अन्तर है
A2828
B1010
C66
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)66
Explanation
Let numbers be x < y with x² + y² = 410 and y² = 26x + 3. Then x² + 26x - 407 = 0, so x = 11, y = 17 and the difference is 6.संख्याएँ x < y लें: x² + y² = 410 और y² = 26x + 3। तब x² + 26x - 407 = 0, अतः x = 11, y = 17 और अन्तर 6 है।
Q104BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
When (x³ − 10x² + 2x + 3) is divided by (x + 1), the remainder is(x³ − 10x² + 2x + 3) को (x + 1) से विभाजित करने पर शेषफल मिलता है
A–1–1
B–10–10
C22
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)–10–10
Explanation
By the remainder theorem put x = -1: -1 - 10 - 2 + 3 = -10.शेषफल प्रमेय से x = -1 रखने पर: -1 - 10 - 2 + 3 = -10।
Q105BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
Three consecutive natural numbers are such that the sum of the square of the first and the product of the second and third is 191. What are they?तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि पहले का वर्ग और दूसरे तथा तीसरे के गुणनफल का योग 191 है। वे क्या हैं?
A9, 10, 119, 10, 11
B8, 9, 108, 9, 10
C10, 11, 1210, 11, 12
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)9, 10, 119, 10, 11
Explanation
With numbers n, n+1, n+2: n² + (n+1)(n+2) = 191 gives 2n² + 3n - 189 = 0, so n = 9. The numbers are 9, 10, 11.संख्याएँ n, n+1, n+2 लेने पर n² + (n+1)(n+2) = 191 से 2n² + 3n - 189 = 0, अतः n = 9। संख्याएँ 9, 10, 11 हैं।
Q106BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
If p and q are the lengths of the perpendiculars drawn from the origin on the lines
x sin θ + y cos θ = 2b sin θ cos θ
x cos θ − y sin θ = b cos 2θ
respectively, then the value of p² + q² isयदि रेखाओं
x sin θ + y cos θ = 2b sin θ cos θ
x cos θ − y sin θ = b cos 2θ
पर मूलबिन्दु से डाले गए लम्बों की लम्बाइयाँ क्रमशः p और q हों, तो p² + q² का मान है
Ab²b²
B1/b²1/b²
C2b²2b²
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)b²b²
Explanation
The distances from the origin are p = |2b sin θ cos θ| = b|sin 2θ| and q = b|cos 2θ|, so p² + q² = b²(sin²2θ + cos²2θ) = b².मूलबिन्दु से दूरियाँ p = |2b sin θ cos θ| = b|sin 2θ| और q = b|cos 2θ| हैं, अतः p² + q² = b²(sin²2θ + cos²2θ) = b²।
Q107BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The area of a square field is 60025 m². A man cycles along its boundary at the speed of 18 km/hr. In how much time will he return to the starting point?एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 60025 वर्ग मी॰ है। इसकी सीमा के अनुदिश एक व्यक्ति 18 कि॰ मी॰/घण्टा की चाल से साइकिल चलाता है। कितने समय में वह प्रारम्भिक बिन्दु पर वापस आ जाएगा?
A3 minutes 15 seconds3 मिनट 15 सेकण्ड
B3 minutes 16 seconds3 मिनट 16 सेकण्ड
C3 minutes 12 seconds3 मिनट 12 सेकण्ड
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Side = √60025 = 245 m, perimeter = 980 m. Speed 18 km/hr = 5 m/s, so time = 980/5 = 196 s = 3 min 16 s.भुजा = √60025 = 245 मी॰, परिमाप = 980 मी॰। चाल 18 कि॰मी॰/घण्टा = 5 मी॰/से॰, अतः समय = 980/5 = 196 से॰ = 3 मिनट 16 सेकण्ड।
Q108BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
Two cards are randomly drawn from a pack of 52 cards and thrown away. What is the probability of drawing an ace in a simple draw from the remaining 50 cards?52 ताशों की एक गड्डी में से दो ताश यादृच्छया निकाले जाते हैं और फेंक दिए जाते हैं। शेष 50 ताशों में से एक सरल निकासी में एक इक्का निकलने की प्रायिकता क्या है?
A7/507/50
B11/5011/50
C9/509/50
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)9/509/50
Explanation
Note: the official key gives (C) 9/50; however, since the two discarded cards are random, the probability of an ace in the next draw is still 4/52 = 1/13, which is not among the options. Official key kept.ध्यान दें: आधिकारिक कुंजी (C) 9/50 है; परन्तु फेंके गए दो ताश यादृच्छिक होने से इक्का मिलने की प्रायिकता अब भी 4/52 = 1/13 रहती है, जो विकल्पों में नहीं है। आधिकारिक कुंजी रखी गई है।
Q109BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The product of cos(A + B) and cos(A − B) iscos(A + B) और cos(A − B) का गुणनफल है
Asin²A − sin²Bsin²A − sin²B
Bcos²A − sin²Bcos²A − sin²B
Ccos²A − cos²Bcos²A − cos²B
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Q110BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
From the window of a house, the angle of elevation of the top of a flag is 60° and the angle of depression of its base is 30°. If the horizontal distance of the flag from the house is 6 m, then find the height of the flag.एक मकान की खिड़की से एक झण्डे के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा उसके आधार का अवनमन कोण 30° है। यदि मकान से झण्डे की क्षैतिज दूरी 6 मी॰ हो, तो झण्डे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
A6√3 m6√3 मी॰
B7√3 m7√3 मी॰
C8√3 m8√3 मी॰
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)8√3 m8√3 मी॰
Explanation
Height above the window = 6 tan 60° = 6√3 m and below it = 6 tan 30° = 2√3 m. Total height = 8√3 m.खिड़की के ऊपर की ऊँचाई = 6 tan 60° = 6√3 मी॰ और नीचे की = 6 tan 30° = 2√3 मी॰। कुल ऊँचाई = 8√3 मी॰।
Q111BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The area of a rhombus is 480 cm² and the length of its shorter diagonal is 20 cm. The length of its longer diagonal isएक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 480 वर्ग से॰ मी॰ है और इसके छोटे विकर्ण की लम्बाई 20 से॰ मी॰ है। इसके लम्बे विकर्ण की लम्बाई है
A24 cm24 से॰ मी॰
B36 cm36 से॰ मी॰
C48 cm48 से॰ मी॰
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)48 cm48 से॰ मी॰
Explanation
Area = ½ d₁d₂, so 480 = ½ × 20 × d₂ and d₂ = 48 cm.क्षेत्रफल = ½ d₁d₂, अतः 480 = ½ × 20 × d₂ और d₂ = 48 से॰ मी॰।
Q112BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
Places A and B are 240 km apart on a highway. One car starts from A and another from B at the same time. If the cars travel in the same direction at different speeds, they meet in 8 hours. If they travel towards each other with their previous speeds, they meet in 2 hours. What are the speeds of the two cars?एक राजमार्ग पर स्थान A और स्थान B एक-दूसरे से 240 कि॰ मी॰ दूर स्थित हैं। एक ही समय में एक कार A से और दूसरी B से चलना शुरू करती है। यदि कारें एक ही दिशा में अलग-अलग चालों से चलती हैं, तो वे 8 घण्टे में मिलती हैं। यदि वे अपनी पूर्ववर्ती चाल से एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो वे 2 घण्टे में मिलती हैं। दोनों कारों की चालें क्या हैं?
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
Same direction: difference of speeds = 240/8 = 30. Opposite directions: sum = 240/2 = 120. So the speeds are 75 and 45 km/hr, which are not among the options.एक ही दिशा में: चालों का अन्तर = 240/8 = 30। विपरीत दिशा में: योग = 240/2 = 120। अतः चालें 75 और 45 कि॰मी॰/घण्टा हैं, जो विकल्पों में नहीं हैं।
Q113BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
Calculate the arithmetic mean from the following frequency distribution :
Class interval | Frequency
0–10 | 6
10–20 | 10
20–30 | 9
30–40 | 4
40–50 | 11निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य की गणना कीजिए :
वर्ग अन्तराल | बारम्बारता
0–10 | 6
10–20 | 10
20–30 | 9
30–40 | 4
40–50 | 11
A2626
B2525
C2424
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)2626
Explanation
Using mid-points 5, 15, 25, 35, 45: Σfx = 30 + 150 + 225 + 140 + 495 = 1040 and Σf = 40, so mean = 26.मध्य-बिन्दु 5, 15, 25, 35, 45 लेने पर Σfx = 30 + 150 + 225 + 140 + 495 = 1040 और Σf = 40, अतः माध्य = 26।
Q114BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The arithmetic mean and median of a frequency distribution are respectively 25.5 and 26. The mode isकिसी बारम्बारता बंटन के समान्तर माध्य और माध्यिका क्रमशः 25.5 और 26 हैं। बहुलक है
A2727
B24.524.5
C26.526.5
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Q115BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
Simplify :
(sin θ + sin 3θ + sin 5θ) / (cos θ + cos 3θ + cos 5θ)सरल कीजिए :
(sin θ + sin 3θ + sin 5θ) / (cos θ + cos 3θ + cos 5θ)
Acot 3θcot 3θ
Btan 3θtan 3θ
Ctan 2θtan 2θ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)tan 3θtan 3θ
Explanation
sin θ + sin 5θ = 2 sin 3θ cos 2θ, so the numerator is sin 3θ(2cos 2θ + 1); likewise the denominator is cos 3θ(2cos 2θ + 1). The ratio is tan 3θ.sin θ + sin 5θ = 2 sin 3θ cos 2θ, अतः अंश = sin 3θ(2cos 2θ + 1); इसी प्रकार हर = cos 3θ(2cos 2θ + 1)। अनुपात tan 3θ है।
Q116BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
A cone and a hemisphere have the same base and the same volume. The ratio of their heights isएक शंकु और एक गोलार्द्ध समान आधार और समान आयतन के हैं। उनकी ऊँचाइयों का अनुपात है
A2 : 32 : 3
B3 : 13 : 1
C2 : 12 : 1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)2 : 12 : 1
Explanation
Cone: (1/3)πr²h = hemisphere: (2/3)πr³, so h = 2r. The hemisphere's height is r, so the ratio is 2 : 1.शंकु: (1/3)πr²h = गोलार्द्ध: (2/3)πr³, अतः h = 2r। गोलार्द्ध की ऊँचाई r है, इसलिए अनुपात 2 : 1 है।
Q117BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The radius of curvature of the path of a charged particle in a uniform magnetic field is directly proportional toएकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में एक आवेशित कण के मार्ग की वक्रता-त्रिज्या का सीधा अनुपात है
Aintensity of the magnetic fieldचुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता से
Bmomentum of the charged particleआवेशित कण के संवेग से
Ccharge of the particleकण के आवेश से
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)momentum of the charged particleआवेशित कण के संवेग से
Explanation
r = mv/(qB), so for a given field the radius is directly proportional to the momentum of the particle.r = mv/(qB), इसलिए दिए गए क्षेत्र में त्रिज्या कण के संवेग के समानुपाती होती है।
Q118BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
Imagine a light planet is revolving around a star in circular orbit of radius R with the period of revolution T. If the gravitational force of attraction between the two is proportional to R^(−5/2), thenमानें कि एक हल्का ग्रह एक तारे के चारों ओर R त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में T परिक्रमा काल से विचरण कर रहा है। यदि इन दोनों के बीच में गुरुत्वीय आकर्षण बल R^(−5/2) के समानुपाती है, तब
AT² ∝ R³T² ∝ R³
BT² ∝ R^(3/2)T² ∝ R^(3/2)
CT² ∝ R^(7/2)T² ∝ R^(7/2)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)T² ∝ R^(7/2)T² ∝ R^(7/2)
Explanation
Force ∝ R^(-5/2) supplies centripetal force mv²/R, so v² ∝ R^(-3/2). Then T² ∝ (R/v)² = R²·R^(3/2) = R^(7/2).बल ∝ R^(-5/2) अभिकेन्द्र बल mv²/R देता है, अतः v² ∝ R^(-3/2)। तब T² ∝ (R/v)² = R²·R^(3/2) = R^(7/2)।
Q119BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The resistivity of a given conductor depends uponकिसी दिए गए चालक की प्रतिरोधकता निर्भर करती है
Atemperatureतापमान पर
Blength of the conductorचालक की लंबाई पर
Carea of cross-sectionअनुप्रस्थ-काट के क्षेत्रफल पर
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)temperatureतापमान पर
Explanation
Resistivity is a property of the material and depends on temperature, not on the length or area of cross-section.प्रतिरोधकता पदार्थ का गुण है और तापमान पर निर्भर करती है, चालक की लम्बाई या अनुप्रस्थ काट पर नहीं।
Q120BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The area under velocity-time graph for a particle in a given interval of time representsकिसी दिए गए समय-अंतराल में एक कण के लिए वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्र प्रतिनिधित्व करता है
Adisplacementविस्थापन का
Baccelerationत्वरण का
Cwork doneकिए गए कार्य का
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)displacementविस्थापन का
Explanation
The area under a velocity-time graph equals displacement.वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन के बराबर होता है।
Q121BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
If the light moving in a straight line bends by a small but fixed angle, it may be a case ofयदि प्रकाश एक सीधी रेखा में चलते-चलते एक लघु किन्तु स्थिर कोण से मुड़ जाए, तो यह घटना है
Adiffractionविवर्तन की
Bdispersionप्रकीर्णन की
Cinterferenceव्यतिकरण की
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
A ray bending by a small fixed angle is refraction (e.g. through a prism for one colour), which is not among the options.सीधी रेखा में चलता प्रकाश एक निश्चित छोटे कोण से मुड़े तो यह अपवर्तन है, जो विकल्पों में नहीं है।
Q122BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
If the speed and radius of a body moving in a circular path are doubled, then the magnitude of centripetal acceleration will beयदि वृत्ताकार गति करते किसी पिण्ड की चाल एवं त्रिज्या दोनों को दोगुना कर दें, तो अभिकेंद्रीय त्वरण का परिमाण होगा
Ahalfआधा
Bfour timesचार गुना
Cdoubledदोगुना
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)doubledदोगुना
Explanation
a = v²/r. Doubling v and r gives (2v)²/(2r) = 2v²/r, so the acceleration doubles.a = v²/r। v और r दोनों दुगुने करने पर (2v)²/(2r) = 2v²/r, अतः त्वरण दुगुना होता है।
Q123BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
Why does carbon form compounds mainly through covalent bonding?क्यों मुख्य रूप से कार्बन सहसंयोजक बंधन द्वारा यौगिक बनाता है?
AThere are 4 electrons in outermost orbitइसकी सबसे बाहरी कक्षा में 4 इलेक्ट्रॉन स्थित होते हैं
BIt requires large amount of energy to form C⁴⁺इसमें C⁴⁺ बनाने के लिए काफी मात्रा में ऊर्जा की आवश्यकता होती है
CIt shares its valence electrons to complete its octetअपने अष्टक को पूरा करने हेतु अपने संयोजकता इलेक्ट्रॉन को यह बाँटता है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
Carbon has 4 valence electrons and forming C⁴⁺ needs too much energy, so it shares electrons to complete its octet; more than one option is correct.कार्बन के 4 संयोजकता इलेक्ट्रॉन हैं और C⁴⁺ बनाने में बहुत ऊर्जा लगती है, इसलिए वह इलेक्ट्रॉन साझा करता है; एक से अधिक विकल्प सही हैं।
Q124BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics and Science Class 6-8
The contraction and expansion movement of the wall of food pipe is known asभोजन-नली की दीवार के संकुचन एवं विस्तार संचलन को कहते हैं
Atranslocationट्रान्सलोकेशन
Btranspirationट्रान्सपिरेशन
Cperistaltic movementपेरीस्टैल्टिक संचलन
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
The rhythmic contraction and relaxation of the gut wall that pushes food along is peristalsis.आहारनाल की दीवार का लयबद्ध संकुचन और शिथिलन, जो भोजन को आगे धकेलता है, क्रमाकुंचन गति कहलाता है।
Q125BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let D be a subset of real line. Consider the assertion: “Every infinite sequence in D has a subsequence which converges in D.” This assertion is true ifमान लीजिए D वास्तविक रेखा का एक उपसमुच्चय है। इस दावे पर विचार करें: “D में प्रत्येक अनंत अनुक्रम का एक उप-अनुक्रम होता है जो D में परिवर्तित होता है।” यह दावा सत्य है यदि
AD = [0, ∞)D = [0, ∞)
BD = [0, 1] ∪ [3, 4]D = [0, 1] ∪ [3, 4]
CD = [−1, 1) ∪ (1, 2]D = [−1, 1) ∪ (1, 2]
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
The assertion holds exactly when D is compact (Bolzano-Weierstrass). [0,1] ∪ [3,4] is closed and bounded, while [0,∞) is unbounded and [−1,1) ∪ (1,2] is not closed.यह दावा तभी सत्य है जब D संहत (बंद और परिबद्ध) हो। [0,1] ∪ [3,4] बंद और परिबद्ध है, जबकि [0,∞) परिबद्ध नहीं है और [−1,1) ∪ (1,2] बंद नहीं है।
Q126BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Evaluate:
lim (n→∞) ∑ (k = 0 to n) n / (k² + n²)मूल्यांकन करें:
lim (n→∞) ∑ (k = 0 से n) n / (k² + n²)
Aπ/2π/2
Bππ
Cπ/4π/4
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)π/4π/4
Explanation
Write the term as (1/n)·1/(1 + (k/n)²); the sum is a Riemann sum for ∫₀¹ dx/(1 + x²) = tan⁻¹(1) = π/4.पद को (1/n)·1/(1 + (k/n)²) के रूप में लिखने पर योग ∫₀¹ dx/(1 + x²) का रीमान योग है, जिसका मान tan⁻¹(1) = π/4 है।
Q127BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
If {xₙ} is a convergent sequence in ℝ and {yₙ} is a bounded sequence in ℝ, then we can conclude thatयदि {xₙ}, ℝ में एक अभिसरण अनुक्रम है और {yₙ}, ℝ में एक बद्ध अनुक्रम है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि
A{xₙ + yₙ} is convergent{xₙ + yₙ} अभिसरण है
B{xₙ + yₙ} is bounded{xₙ + yₙ} परिबद्ध है
C{xₙ + yₙ} has no convergent subsequence{xₙ + yₙ} का कोई अभिसरण उपअनुक्रम नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B){xₙ + yₙ} is bounded{xₙ + yₙ} परिबद्ध है
Explanation
A convergent sequence is bounded, and the sum of two bounded sequences is bounded. Convergence of the sum need not hold, and by Bolzano-Weierstrass a bounded sequence always has a convergent subsequence.अभिसरण अनुक्रम परिबद्ध होता है और दो परिबद्ध अनुक्रमों का योग परिबद्ध होता है। योग का अभिसरण आवश्यक नहीं है, और बोल्जानो-वायरस्ट्रास प्रमेय से परिबद्ध अनुक्रम का अभिसरण उपअनुक्रम अवश्य होता है।
Q128BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let α = ∫₀^∞ 1/(1 + t²) dt
Which of the following is true?मान लीजिए α = ∫₀^∞ 1/(1 + t²) dt
निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
Adα/dt = 1/(1 + t²)dα/dt = 1/(1 + t²)
Bα is a rational numberα एक परिमेय संख्या है
Csin(α) = 1sin(α) = 1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)sin(α) = 1sin(α) = 1
Explanation
α = tan⁻¹(∞) − tan⁻¹(0) = π/2, a constant. So dα/dt = 0, α is irrational, and sin(π/2) = 1.α = tan⁻¹(∞) − tan⁻¹(0) = π/2 एक अचर है। अतः dα/dt = 0, α अपरिमेय है और sin(π/2) = 1 है।
Q129BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Define f(x) = 1/√x for x > 0. Then f is uniformly continuousयदि x > 0 के लिए f(x) = 1/√x, तो f एकसमानतः संतत है
Aon (0, ∞)(0, ∞) पर
Bon [r, ∞) for any r > 0[r, ∞) पर सब r > 0 के लिए
Con (0, r] for any r > 0(0, r] पर सब r > 0 के लिए
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)on [r, ∞) for any r > 0[r, ∞) पर सब r > 0 के लिए
Explanation
On [r, ∞) the derivative |f′(x)| = 1/(2x^(3/2)) is bounded, so f is Lipschitz and uniformly continuous. Near 0, f is unbounded, so it fails on (0, ∞) and on (0, r].[r, ∞) पर |f′(x)| = 1/(2x^(3/2)) परिबद्ध है, अतः f एकसमानतः संतत है। 0 के निकट f अपरिबद्ध है, इसलिए यह (0, ∞) और (0, r] पर एकसमानतः संतत नहीं है।
Q130BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let gₙ(x) = nx / (1 + n²x²), x ∈ [0, ∞)
Which of the following is true as n → ∞?मान लीजिए gₙ(x) = nx / (1 + n²x²), x ∈ [0, ∞)
n → ∞ होने पर निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Agₙ → 0 pointwise but not uniformlygₙ → 0 बिंदुवार लेकिन एकसमानतः नहीं
Bgₙ → 0 uniformlygₙ → 0 एकसमानतः
Cgₙ(x) → x ∀ x ∈ [0, ∞)gₙ(x) → x ∀ x ∈ [0, ∞)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)gₙ → 0 pointwise but not uniformlygₙ → 0 बिंदुवार लेकिन एकसमानतः नहीं
Explanation
For fixed x the limit is 0, but gₙ(1/n) = 1/2 for every n, so the sup-norm does not tend to 0. Hence convergence is pointwise only.स्थिर x के लिए सीमा 0 है, परंतु प्रत्येक n के लिए gₙ(1/n) = 1/2 है, अतः अधिकतम अंतर 0 की ओर नहीं जाता। इसलिए अभिसरण केवल बिंदुवार है।
Q131BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the vector space ℙₙ of real polynomial in x of degree less than or equal to n. Define T : ℙ₂ → ℙ₃ by
(Tf)(x) = ∫₀ˣ f(t) dt + f′(x)
Then the matrix representation of T with respect to the bases {1, x, x²} and {1, x, x², x³} isn से कम या उसके बराबर डिग्री वाले x में वास्तविक बहुपदों के सदिश समष्टि ℙₙ पर विचार करें। यदि T : ℙ₂ → ℙ₃ को
(Tf)(x) = ∫₀ˣ f(t) dt + f′(x)
द्वारा परिभाषित करें, तो आधारों {1, x, x²} तथा {1, x, x², x³} के लिए T का आव्यूह निरूपण है
T(1) = x, T(x) = x²/2 + 1, T(x²) = x³/3 + 2x. Writing these as columns in the basis {1, x, x², x³} gives the 4×3 matrix with rows (0,1,0), (1,0,2), (0,1/2,0), (0,0,1/3), which is option (B).T(1) = x, T(x) = x²/2 + 1, T(x²) = x³/3 + 2x। इन्हें आधार {1, x, x², x³} में स्तंभ के रूप में लिखने पर 4×3 आव्यूह की पंक्तियाँ (0,1,0), (1,0,2), (0,1/2,0), (0,0,1/3) मिलती हैं, जो विकल्प (B) है।
Q132BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let A = [[0, 1], [−1, 1]]. Then the smallest positive integer n such that Aⁿ = I isमानें कि A = [[0, 1], [−1, 1]] है। तो न्यूनतम धन पूर्णांक n ताकि Aⁿ = I है
A11
B22
C66
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)66
Explanation
The characteristic polynomial is λ² − λ + 1, so A² = A − I and A³ = −I. Hence A⁶ = I, and no smaller power equals I.अभिलाक्षणिक बहुपद λ² − λ + 1 है, अतः A² = A − I और A³ = −I। इसलिए A⁶ = I है और कोई छोटी घात I के बराबर नहीं है।
Q133BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let A be a real matrix with characteristic polynomial (X − 1)³. Pick the correct statement from below:यदि A वास्तविक आव्यूह हो जिसका अभिलाक्षणिक बहुपद (X − 1)³ हो तो निम्न में से सही कथन चुनिए:
AA is necessarily diagonalizableA आवश्यक रूप से विकर्णीय है।
BIf the minimal polynomial of A is (X − 1)³, then A is diagonalizableयदि A का न्यूनतम बहुपद (X − 1)³ है, तो A विकर्णीय है।
CCharacteristic polynomial of A² is (X − 1)³A² का अभिलाक्षणिक बहुपद (X − 1)³ है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)Characteristic polynomial of A² is (X − 1)³A² का अभिलाक्षणिक बहुपद (X − 1)³ है।
Explanation
All eigenvalues of A equal 1, so those of A² are 1² = 1 and its characteristic polynomial is (X − 1)³. A need not be diagonalizable, and a minimal polynomial with a repeated factor means it is not diagonalizable.A के सभी आइगेनमान 1 हैं, अतः A² के भी 1² = 1 हैं और इसका अभिलाक्षणिक बहुपद (X − 1)³ है। A का विकर्णीय होना आवश्यक नहीं है, और न्यूनतम बहुपद में repeated गुणनखंड हो तो A विकर्णीय नहीं होता।
Q134BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let T : ℝⁿ → ℝⁿ be a linear map that satisfies T² = T − Iₙ. Then which of the following are true?मान लीजिए T : ℝⁿ → ℝⁿ एक रेखीय मानचित्र है जो T² = T − Iₙ को संतुष्ट करता है। निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
AT is invertibleT व्युत्क्रमणीय है।
BT − Iₙ is not invertibleT − Iₙ व्युत्क्रमणीय नहीं है।
CT has a real eigenvalueT का वास्तविक अभिलाक्षणिक मान है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)T is invertibleT व्युत्क्रमणीय है।
Explanation
From T² − T = −I we get T(T − I) = −I, so both T and T − I are invertible. An eigenvalue would satisfy λ² − λ + 1 = 0, which has no real root. Only (A) is true.T² − T = −I से T(T − I) = −I मिलता है, अतः T और T − I दोनों व्युत्क्रमणीय हैं। आइगेनमान λ² − λ + 1 = 0 को संतुष्ट करेगा जिसका कोई वास्तविक मूल नहीं है। केवल (A) सत्य है।
Q135BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The trace of the matrix [[2, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]²⁰ isआव्यूह [[2, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]²⁰ का trace है
A7²⁰7²⁰
B2²⁰ + 3²⁰2²⁰ + 3²⁰
C2·2²⁰ + 3²⁰2·2²⁰ + 3²⁰
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)2·2²⁰ + 3²⁰2·2²⁰ + 3²⁰
Explanation
The matrix is upper triangular, so its 20th power has diagonal entries 2²⁰, 2²⁰ and 3²⁰. The trace is 2·2²⁰ + 3²⁰.आव्यूह ऊपरी त्रिकोणीय है, अतः इसकी 20वीं घात के विकर्ण अवयव 2²⁰, 2²⁰ और 3²⁰ हैं। trace = 2·2²⁰ + 3²⁰ है।
Q136BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Which of the following real quadratic forms on ℝ² is positive definite?निम्नलिखित में से ℝ² पर कौन-सा वास्तविक द्विघात रूप positive definite है?
AQ(X, Y) = XYQ(X, Y) = XY
BQ(X, Y) = X² + 2XY + Y²Q(X, Y) = X² + 2XY + Y²
CQ(X, Y) = X² − XY + Y²Q(X, Y) = X² − XY + Y²
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
X² − XY + Y² has matrix [[1, −1/2], [−1/2, 1]] with positive leading minors 1 and 3/4, so it is positive definite. XY is indefinite and X² + 2XY + Y² = (X + Y)² vanishes at (1, −1).X² − XY + Y² का आव्यूह [[1, −1/2], [−1/2, 1]] है जिसके अग्रणी मानक 1 और 3/4 धनात्मक हैं, अतः यह positive definite है। XY अनिश्चित है और X² + 2XY + Y² = (X + Y)² बिंदु (1, −1) पर शून्य हो जाता है।
Q137BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let V be an inner product space and let v₁, v₂, v₃ ∈ V be an orthogonal set of vectors. Which of the following statements is true?मान लीजिए V एक inner product space है और मान लीजिए v₁, v₂, v₃ ∈ V सदिशों का एक ऑर्थोगोनल सेट है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
AThe vectors 5v₁ + 6v₂ + 7v₃, 5v₂ + v₃, v₂ + 3v₃ can be extended to a basis of V.वेक्टर 5v₁ + 6v₂ + 7v₃, 5v₂ + v₃, v₂ + 3v₃ को V के आधार तक बढ़ाया जा सकता है।
BThe vectors 4v₁ + v₂ + 2v₃, v₂ + 3v₃, v₂ + 3v₃ can be extended to an orthogonal basis of V.वेक्टर 4v₁ + v₂ + 2v₃, v₂ + 3v₃, v₂ + 3v₃ को V के ऑर्थोगोनल आधार तक बढ़ाया जा सकता है।
CThe vectors v₁ + v₂ + 2v₃, v₂ + v₃, 2v₁ + v₂ + 3v₃ can be extended to a basis of V.वेक्टर v₁ + v₂ + 2v₃, v₂ + v₃, 2v₁ + v₂ + 3v₃ को V के आधार तक बढ़ाया जा सकता है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)The vectors 5v₁ + 6v₂ + 7v₃, 5v₂ + v₃, v₂ + 3v₃ can be extended to a basis of V.वेक्टर 5v₁ + 6v₂ + 7v₃, 5v₂ + v₃, v₂ + 3v₃ को V के आधार तक बढ़ाया जा सकता है।
Explanation
Since v₁, v₂, v₃ are orthogonal (independent), the vectors in (A) are independent because their coefficient matrix has determinant 5(15 − 1) = 70 ≠ 0, so they extend to a basis. In (B) two vectors are equal, and in (C) the coefficient determinant is 0, so those sets are dependent.(A) के सदिशों के गुणांक आव्यूह का सारणिक 5·(15 − 1) = 70 ≠ 0 है, अतः वे रैखिकतः स्वतंत्र हैं और आधार तक बढ़ाए जा सकते हैं। (B) में दो सदिश समान हैं और (C) में गुणांक सारणिक 0 है, अतः वे आश्रित हैं।
Q138BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The number of group homomorphisms from ℤ₁₀ to ℤ₂₀ isℤ₁₀ से ℤ₂₀ तक समूह समरूपता की संख्या है
Azeroशून्य
Boneएक
Ctenदस
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)tenदस
Explanation
The number of homomorphisms from ℤ_m to ℤ_n is gcd(m, n). Here gcd(10, 20) = 10.ℤ_m से ℤ_n तक समरूपताओं की संख्या gcd(m, n) होती है। यहाँ gcd(10, 20) = 10 है।
Q139BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let S₇ denote the group of permutations of the set {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Which of the following is true?मान लीजिए S₇ सेट {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} के क्रमपरिवर्तन के समूह को दर्शाता है। निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
AThere are no elements of order 6 in S₇S₇ में order 6 का कोई element नहीं है।
BThere are no elements of order 8 in S₇S₇ में order 8 का कोई element नहीं है।
CThere are no elements of order 7 in S₇S₇ में order 7 का कोई element नहीं है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)There are no elements of order 8 in S₇S₇ में order 8 का कोई element नहीं है।
Explanation
Orders in S₇ are lcm's of cycle lengths summing to at most 7. Order 6 occurs (a 3-cycle times a 2-cycle), order 7 occurs (a 7-cycle), but order 8 would need an 8-cycle (or a 4-cycle together with a disjoint element of order 8), which does not fit in 7 points.S₇ में कोटियाँ उन चक्र-लंबाइयों के ल.स. हैं जिनका योग अधिकतम 7 है। कोटि 6 (3-चक्र × 2-चक्र) और कोटि 7 (7-चक्र) संभव हैं, पर कोटि 8 के लिए 8-चक्र चाहिए जो S₇ में असंभव है।
Q140BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let p be a prime number. How many distinct sub-rings (with unity) of cardinality p does the field F_{p²} have?मानें कि p एक अविभाज्य संख्या है। फ़ील्ड F_{p²} में कार्डिनैलिटी p के कितने अलग-अलग उप-रिंग (एकता के साथ) हैं?
A00
B11
Cpp
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)11
Explanation
A subring with unity of size p contains 1 and hence the prime field F_p, which already has p elements. So it is exactly F_p, and there is only one.p अवयवों वाले एकता-सहित उप-रिंग में 1 होता है, अतः वह अभाज्य क्षेत्र F_p को समाहित करता है जिसमें पहले से p अवयव हैं। इसलिए वह ठीक F_p है और केवल एक है।
Q141BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let p ≥ 5 be a prime. Thenमानें कि p ≥ 5 एक अविभाज्य संख्या है। तो
A𝔽ₚ × 𝔽ₚ has at least five subgroups of order p𝔽ₚ × 𝔽ₚ के कोटि p के कम-से-कम पाँच उपसमूह हैं
Bevery subgroup of 𝔽ₚ × 𝔽ₚ is of the form H₁ × H₂ where H₁, H₂ are subgroups of 𝔽ₚ𝔽ₚ × 𝔽ₚ का प्रत्येक उपसमूह H₁ × H₂ रूप का है, जहाँ H₁, H₂, 𝔽ₚ के उपसमूह हैं
Cevery subgroup of 𝔽ₚ × 𝔽ₚ is an ideal of the ring 𝔽ₚ × 𝔽ₚ𝔽ₚ × 𝔽ₚ का प्रत्येक उपसमूह वलय 𝔽ₚ × 𝔽ₚ का एक आदर्श है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)𝔽ₚ × 𝔽ₚ has at least five subgroups of order p𝔽ₚ × 𝔽ₚ के कोटि p के कम-से-कम पाँच उपसमूह हैं
Explanation
𝔽ₚ × 𝔽ₚ ≅ ℤₚ × ℤₚ has p + 1 subgroups of order p, and p + 1 ≥ 6, so (A) holds. The diagonal subgroup {(a, a)} is not of product form and is not an ideal, so (B) and (C) fail.𝔽ₚ × 𝔽ₚ ≅ ℤₚ × ℤₚ में कोटि p के p + 1 उपसमूह हैं और p + 1 ≥ 6, अतः (A) सत्य है। विकर्ण उपसमूह {(a, a)} गुणनफल रूप का नहीं है और आदर्श भी नहीं है, इसलिए (B) और (C) असत्य हैं।
Q142BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Any group of order 25 isक्रम 25 का कोई भी समूह है
Acyclicचक्रीय
Bsimpleसरल
CAbelian but not simpleएबेलियन लेकिन सरल नहीं
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)Abelian but not simpleएबेलियन लेकिन सरल नहीं
Explanation
Every group of order p² is Abelian, but it need not be cyclic (ℤ₅ × ℤ₅). It has a normal subgroup of order 5, so it is not simple.कोटि p² का प्रत्येक समूह एबेलियन होता है, पर चक्रीय होना आवश्यक नहीं (ℤ₅ × ℤ₅)। इसमें कोटि 5 का प्रसामान्य उपसमूह होता है, अतः यह सरल नहीं है।
Q143BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
If R is a ring with unity, a, b ∈ R such that ab = 1, thenयदि R एकता वाला एक वलय है, a, b ∈ R जैसे कि ab = 1, तो
Aba is an idempotent in R but (1 − ba) is notR में ba एक idempotent है लेकिन (1 − ba) नहीं है
Bboth ba and (1 − ba) are idempotent elements in Rba और (1 − ba) दोनों R में idempotent element हैं
Cneither ba nor (1 − ba) is an idempotent element in RR में न तो ba और न ही (1 − ba) कोई idempotent element है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)both ba and (1 − ba) are idempotent elements in Rba और (1 − ba) दोनों R में idempotent element हैं
Explanation
(ba)(ba) = b(ab)a = ba, so ba is idempotent. Then (1 − ba)² = 1 − 2ba + ba = 1 − ba, so 1 − ba is idempotent too.(ba)(ba) = b(ab)a = ba, अतः ba idempotent है। तब (1 − ba)² = 1 − 2ba + ba = 1 − ba, अतः 1 − ba भी idempotent है।
Q144BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let G be a commutative group of order 202. Then the number of element(s) of order 2 in G isमान लीजिए कि G क्रम 202 का एक क्रमविनिमेय समूह है। तब G में क्रम 2 के तत्वों की संख्या है
A11
B22
C101101
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)101101
Explanation
Note: the official key gives (C), but 202 = 2 × 101 with distinct primes, so G ≅ ℤ₂₀₂ and has exactly one element of order 2, which is option (A). Official key kept.टिप्पणी: आधिकारिक कुंजी (C) देती है, परंतु 202 = 2 × 101 है, अतः G ≅ ℤ₂₀₂ और इसमें क्रम 2 का केवल एक ही तत्व होता है, जो विकल्प (A) है। आधिकारिक कुंजी यथावत रखी गई है।
Q145BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The class equation of a group of order 10 isक्रम 10 के समूह का वर्ग समीकरण है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
The official key is (D), more than one of the above: both (A) and (C) can occur. A group of order 10 is either abelian (ℤ₁₀: ten classes of size 1, option A) or the dihedral group D₅ with class sizes 1, 2, 2, 5 (option C). Option (B) is not possible, so the key is 'more than one'.आधिकारिक कुंजी (D) है: (A) और (C) दोनों संभव हैं। क्रम 10 का समूह या तो आबेली (ℤ₁₀, दस वर्ग प्रत्येक आकार 1, विकल्प A) है या डायहेड्रल समूह D₅ है जिसके वर्ग-आकार 1, 2, 2, 5 हैं (विकल्प C)। विकल्प (B) असंभव है, इसलिए उत्तर 'एक से अधिक' है।
Q146BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The function f(z) = |z|² isफलन f(z) = |z|²
Acontinuous at the origin onlyकेवल मूल पर ही संतत है
Bcontinuous everywhere but nowhere differentiableहर जगह संतत लेकिन कहीं भी differentiable नहीं है
Ccontinuous everywhere but nowhere differentiable, except at the originसर्वत्र संतत लेकिन मूल को छोड़कर कहीं भी differentiable नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)continuous everywhere but nowhere differentiable, except at the originसर्वत्र संतत लेकिन मूल को छोड़कर कहीं भी differentiable नहीं है
Explanation
f = x² + y² is continuous everywhere. The Cauchy-Riemann equations 2x = 2y and 2y = −2x hold only at (0, 0), so f is complex differentiable only at the origin.f = x² + y² सर्वत्र संतत है। कॉशी-रीमान समीकरण 2x = 2y और 2y = −2x केवल (0, 0) पर संतुष्ट होते हैं, अतः f केवल मूल पर अवकलनीय है।
Q147BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
For the function f(z) = (1 − e⁻ᶻ)/z, the point z = 0 is a/anफलन f(z) = (1 − e⁻ᶻ)/z के लिए, बिंदु z = 0 एक है
Aessential singularityआवश्यक विलक्षणता
Bpole of order oneorder एक का पोल
Cremovable singularityहटाने योग्य विलक्षणता
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (C)removable singularityहटाने योग्य विलक्षणता
Explanation
1 − e⁻ᶻ = z − z²/2 + …, so f(z) = 1 − z/2 + … has a finite limit 1 at z = 0. The singularity is removable.1 − e⁻ᶻ = z − z²/2 + …, अतः f(z) = 1 − z/2 + … की z = 0 पर सीमित सीमा 1 है। यह हटाने योग्य विलक्षणता है।
Q148BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let γ be any positively oriented circle whose centre is at the origin. Then the value of the integral ∫_γ (cos z / z²) dz isमान लीजिए γ कोई धनात्मक उन्मुख वृत्त है जिसका केन्द्र मूल बिंदु पर है। फिर समाकलन ∫_γ (cos z / z²) dz का मान है
A2πi2πi
B00
C−2πi−2πi
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (B)00
Explanation
cos z / z² = 1/z² − 1/2 + …, which has no 1/z term, so the residue at 0 is 0 and the integral is 2πi × 0 = 0.cos z / z² = 1/z² − 1/2 + … में 1/z का पद नहीं है, अतः 0 पर अवशेष 0 है और समाकलन 2πi × 0 = 0 है।
Q149BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let a₋₂ be the coefficient of 1/z² in the Laurent series of f(z) = (z + 1) / (z³(z² + 1)) around z = 0 in the region 0 < |z| < 1. Then a₋₂ is equal toमान लें कि क्षेत्र 0 < |z| < 1 में z = 0 के आसपास f(z) = (z + 1) / (z³(z² + 1)) की लॉरेंट शृंखला में 1/z² का गुणांक a₋₂ है। तब a₋₂ बराबर है
A11
B00
C−1−1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)11
Explanation
Using 1/(1 + z²) = 1 − z² + …, f(z) = (1 + z)(1 − z² + …)/z³ = (1 + z − z² − …)/z³ = 1/z³ + 1/z² − 1/z − …. The coefficient of 1/z² is 1.1/(1 + z²) = 1 − z² + … का प्रयोग करने पर f(z) = (1 + z)(1 − z² + …)/z³ = 1/z³ + 1/z² − 1/z − …। 1/z² का गुणांक 1 है।
Q150BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let f : ℂ → ℂ be an entire function with f(0) = 1 and f(1) = 0. Then f mapsमान लीजिए f : ℂ → ℂ, f(0) = 1 और f(1) = 0 के साथ एक संपूर्ण फ़ंक्शन है। फिर f मैप करता है
Aopen sets in ℂ into open sets in ℂℂ में खुले सेटों को ℂ में खुले सेटों में
Bclosed sets in ℂ into closed sets in ℂℂ में बंद सेटों को ℂ में बंद सेटों में
Copen sets in ℂ into closed sets in ℂℂ में खुले सेटों को ℂ में बंद सेटों में
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Show answerHide answer
Correct answer: (A)open sets in ℂ into open sets in ℂℂ में खुले सेटों को ℂ में खुले सेटों में
Explanation
f takes two different values, so it is non-constant, and by the open mapping theorem a non-constant entire function maps open sets to open sets.f दो भिन्न मान लेता है, अतः अचर नहीं है, और विवृत मानचित्रण प्रमेय के अनुसार अचर न होने वाला संपूर्ण फलन खुले समुच्चयों को खुले समुच्चयों में भेजता है।
How to use these BPSC TRE Mathematics questions
Every question here was asked in a real BPSC TRE paper; the paper and shift are shown on the card, and the number opens the question on its own page. Try each one before tapping Show answer, then attempt the full BPSC TRE papers as timed tests to check your speed under exam conditions.