521 Mathematics questions asked in BPSC TRE previous year papers, each with the correct answer and explanation. Read them free on UTpaper, or attempt the full papers as timed online tests.
Q151BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A non-constant entire functionएक अचर-भिन्न (non-constant) संपूर्ण फ़ंक्शन
Ahas at least one zero in ℂℂ में कम-से-कम एक शून्य होता है
Bcannot have finite number of real zerosमें वास्तविक शून्यों की संख्या सीमित नहीं हो सकती
Ccannot have uncountable number of zeros in ℂमें ℂ में शून्यों की बेशुमार संख्या नहीं हो सकती
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)cannot have uncountable number of zeros in ℂमें ℂ में शून्यों की बेशुमार संख्या नहीं हो सकती
Explanation
Zeros of a non-constant entire function are isolated, so they form a countable set and cannot be uncountable. e^z has no zero, and z has just one real zero, so (A) and (B) are false.अचर-भिन्न संपूर्ण फलन के शून्य विलगित होते हैं, अतः वे गणनीय होते हैं और बेशुमार नहीं हो सकते। e^z का कोई शून्य नहीं है और z का केवल एक वास्तविक शून्य है, इसलिए (A) और (B) असत्य हैं।
Q152BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
f is an entire function. If f satisfies the following two equations f(z + 1) = f(z) and f(z + i) = f(z) for every z ∈ ℂ thenf एक संपूर्ण फ़ंक्शन है। यदि f, ℂ में प्रत्येक z के लिए निम्नलिखित दो समीकरण f(z + 1) = f(z) और f(z + i) = f(z) को संतुष्ट करता है तो
Af ≡ constantf ≡ constant
Bf(z) ∈ ℝ ∀ zf(z) ∈ ℝ ∀ z
Cf is a non-constant polynomialf एक non-constant बहुपद है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)f ≡ constantf ≡ constant
Explanation
f is periodic with periods 1 and i, so its values are all attained on the compact unit square. Hence f is bounded and entire, and by Liouville's theorem it is constant.f के आवर्त 1 और i हैं, अतः इसके सभी मान संहत इकाई वर्ग पर ही मिलते हैं। इसलिए f परिबद्ध और संपूर्ण है और लिउविल प्रमेय से अचर है।
Q153BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
For any positive integers a and 3, there exist unique integers q and r such that a = 3q + r, where r must satisfyकिसी भी धनात्मक पूर्णांक a और 3 के लिए, अद्वितीय पूर्णांक q और r मौजूद हैं जैसे कि a = 3q + r, जहाँ r को संतुष्ट करना होगा
A1 < r < 31 < r < 3
B0 < r < 30 < r < 3
C0 ≤ r < 30 ≤ r < 3
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)0 ≤ r < 30 ≤ r < 3
Explanation
By the division algorithm the remainder satisfies 0 ≤ r < 3 (r can be 0 when 3 divides a).भाग-एल्गोरिथ्म के अनुसार शेषफल 0 ≤ r < 3 को संतुष्ट करता है (जब 3, a को विभाजित करे तब r = 0 होता है)।
Q154BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the congruence xⁿ ≡ 2 (mod 13). This congruence has a solution for x ifसर्वांगसमता xⁿ ≡ 2 (mod 13) पर विचार करें। इस सर्वांगसमता का x के लिए एक समाधान है यदि
An = 8n = 8
Bn = 7n = 7
Cn = 6n = 6
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)n = 7n = 7
Explanation
2 is a primitive root mod 13 (order 12), so xⁿ ≡ 2 is solvable only when gcd(n, 12) = 1. Only n = 7 satisfies this; n = 8 and n = 6 do not.2, मॉड्यूलो 13 का आदिम मूल है (क्रम 12), अतः xⁿ ≡ 2 का हल तभी होता है जब gcd(n, 12) = 1 हो। केवल n = 7 यह शर्त पूरी करता है; n = 8 और n = 6 नहीं।
Q155BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Which of the following statements is true?निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा सत्य है?
AEvery even integer n ≥ 16 divides (n − 1)! + 3प्रत्येक सम पूर्णांक n ≥ 16, (n − 1)! + 3 को विभाजित करता है
BEvery odd integer n ≥ 16 divides (n − 1)!प्रत्येक विषम पूर्णांक n ≥ 16, (n − 1)! को विभाजित करता है
CEvery even integer n ≥ 16 divides (n − 1)!प्रत्येक सम पूर्णांक n ≥ 16, (n − 1)! को विभाजित करता है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)Every even integer n ≥ 16 divides (n − 1)!प्रत्येक सम पूर्णांक n ≥ 16, (n − 1)! को विभाजित करता है
Explanation
An even n ≥ 16 can be written 2m with m ≥ 8, and 2 and m are distinct numbers below n, so both occur in (n − 1)! and n divides it. An odd prime n does not divide (n − 1)!, so (B) fails.सम n ≥ 16 को 2m (m ≥ 8) लिखा जा सकता है, और 2 तथा m, n से छोटी भिन्न संख्याएँ हैं, अतः दोनों (n − 1)! में आते हैं और n इसे विभाजित करता है। विषम अभाज्य n, (n − 1)! को विभाजित नहीं करता, इसलिए (B) असत्य है।
Q156BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let p be a prime number and Nₚ be the number of pairs of positive integers (x, y) such that
1/x + 1/y = 1/p⁴
Which among the following are possible values of Nₚ?मान लीजिए p एक अभाज्य संख्या है और Nₚ धनात्मक पूर्णांक (x, y) के युग्मों की संख्या इस प्रकार है कि
1/x + 1/y = 1/p⁴
निम्नलिखित में से Nₚ के संभावित मान कौन-से हैं?
A00
B44
C99
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)99
Explanation
The equation is equivalent to (x − p⁴)(y − p⁴) = p⁸. Positive solutions correspond to positive divisors of p⁸, so Nₚ = 9 for every prime p.समीकरण (x − p⁴)(y − p⁴) = p⁸ के तुल्य है। धनात्मक हल p⁸ के धनात्मक भाजकों से मिलते हैं, अतः प्रत्येक अभाज्य p के लिए Nₚ = 9 है।
Q157BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the function f(n) = n⁵ − 2n³ + n, where n is a positive integer. Which of the following statements is not true?फलन f(n) = n⁵ − 2n³ + n पर विचार करें, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है?
AFor every positive integer k, there exists a positive integer n such that f(n) is divisible by 2ᵏ.प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक k के लिए, एक धनात्मक पूर्णांक n मौजूद होता है जैसे कि f(n), 2ᵏ से विभाज्य हो।
Bf(n) is even for every integer n ≥ 20.f(n) प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 20 के लिए सम है।
CFor every integer n ≥ 20, either f(n) is odd or f(n) is divisible by 4.प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 20 के लिए, या तो f(n) विषम है या f(n), 4 से विभाज्य है।
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)For every integer n ≥ 20, either f(n) is odd or f(n) is divisible by 4.प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 20 के लिए, या तो f(n) विषम है या f(n), 4 से विभाज्य है।
Explanation
f(n) = n(n − 1)²(n + 1)² is always even, so it is never odd. For n = 22 it equals 22 × (21 × 23)², which is not divisible by 4, so (C) is not true. (A) holds with n = 2ᵏ and (B) holds always.f(n) = n(n − 1)²(n + 1)² सदैव सम है, अतः कभी विषम नहीं होता। n = 22 के लिए यह 22 × (21 × 23)² है जो 4 से विभाज्य नहीं है, इसलिए (C) सत्य नहीं है। (A) n = 2ᵏ से और (B) सदैव सत्य है।
Q158BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let a, b be positive integers with a > b and a + b = 24. Suppose that the following congruences have a common integer solution:
2x ≡ 3a (mod 5); x ≡ 4b (mod 5)
Which of the following statements is true?मान लीजिए कि a, b धनात्मक पूर्णांक हैं जिनमें a > b और a + b = 24 हैं। मान लीजिए कि निम्नलिखित सर्वांगसमताओं का एक सामान्य पूर्णांक समाधान है:
2x ≡ 3a (mod 5); x ≡ 4b (mod 5)
निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा सही है?
Aa − b is divisible by 5a − b, 5 से विभाज्य है
B3b > a > 2b3b > a > 2b
Ca > 3ba > 3b
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)a − b is divisible by 5a − b, 5 से विभाज्य है
Explanation
The first congruence gives x ≡ 3 × 3a ≡ 4a (mod 5). A common solution requires 4a ≡ 4b (mod 5), i.e. a ≡ b (mod 5), so 5 divides a − b. The pairs (17, 7) and (22, 2) both fit, and (B) and (C) fail for at least one of them.पहली सर्वांगसमता से x ≡ 3 × 3a ≡ 4a (mod 5) मिलता है। उभयनिष्ठ हल के लिए 4a ≡ 4b (mod 5), अर्थात a ≡ b (mod 5) चाहिए, अतः 5, a − b को विभाजित करता है। युग्म (17, 7) और (22, 2) दोनों संभव हैं और (B), (C) कम से कम एक के लिए असत्य हैं।
Q159BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
For α ∈ ℝ, let ⌊α⌋ denote the greatest integer smaller than or equal to α. Define d : ℝ × ℝ → [0, ∞) by
d(x, y) = ⌊|x − y|⌋, x, y ∈ ℝ
Then which of the following is true?α ∈ ℝ के लिए मान लीजिए ⌊α⌋ α से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। d : ℝ × ℝ → [0, ∞) को
d(x, y) = ⌊|x − y|⌋, x, y ∈ ℝ
द्वारा परिभाषित करें, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
Ad(x, y) = 0 if and only if x = y, x, y ∈ ℝd(x, y) = 0 यदि और केवल यदि x = y, x, y ∈ ℝ
Bd(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝd(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝ
Cd(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), x, y, z ∈ ℝd(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), x, y, z ∈ ℝ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)d(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝd(x, y) = d(y, x), x, y ∈ ℝ
Explanation
|x − y| = |y − x|, so d is symmetric. (A) fails since d(0, 0.5) = 0, and (C) fails for x = 0, z = 0.6, y = 1.2, where d(x, y) = 1 but d(x, z) + d(z, y) = 0.|x − y| = |y − x| होने से d सममित है। (A) असत्य है क्योंकि d(0, 0.5) = 0 है, और (C) x = 0, z = 0.6, y = 1.2 के लिए असत्य है जहाँ d(x, y) = 1 पर d(x, z) + d(z, y) = 0 है।
Q160BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let X be a countable set. Then which of the following is not true?मान लें कि X एक गणनीय समुच्चय है। तो निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य नहीं है?
AThere exists a metric d on X such that (X, d) is completeX पर एक मीट्रिक d इस प्रकार मौजूद है कि (X, d) पूर्ण है
BThere exists a metric d on X such that (X, d) is not completeX पर एक मीट्रिक d इस प्रकार मौजूद है कि (X, d) पूर्ण नहीं है
CThere exists a metric d on X such that (X, d) is compactX पर एक मीट्रिक d इस प्रकार मौजूद है कि (X, d) सघन है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
For a countably infinite X all three statements are true: the discrete metric is complete, ℚ-type metrics are incomplete, and X can be given the metric of {0} ∪ {1/n}, which is compact. So none of (A)-(C) is false, which is option (E).गणनीय अनंत X के लिए तीनों कथन सत्य हैं: असतत मीट्रिक पूर्ण है, ℚ जैसी मीट्रिक अपूर्ण है, और {0} ∪ {1/n} की मीट्रिक देने पर X संहत हो जाता है। अतः (A)-(C) में से कोई असत्य नहीं है, यानी विकल्प (E)।
Q161BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let (X, d) be a metric space and let A ⊆ X. For x ∈ X, define
d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}
If d(x, A) = 0 for all x ∈ X, then which of the following assertions must be true?मान लीजिए (X, d) एक मीट्रिक स्थान है और A ⊆ X है। x ∈ X के लिए, परिभाषित करें
d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}
यदि सभी x ∈ X के लिए d(x, A) = 0, तो निम्नलिखित में से कौन-सा दावा सत्य होना चाहिए?
AA is compactA कॉम्पैक्ट है
BA is closedA बंद है
CA is dense in XA, X में सघन है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)A is dense in XA, X में सघन है
Explanation
d(x, A) = 0 means x is in the closure of A. Since this holds for every x ∈ X, the closure of A is X, i.e. A is dense in X.d(x, A) = 0 का अर्थ है कि x, A के सवृत (closure) में है। यह प्रत्येक x ∈ X के लिए सत्य है, अतः A का सवृत X है, अर्थात A, X में सघन है।
Q162BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The equation
(αxy³ + y cos x) dx + (x²y² + β sin x) dy = 0
is exact forसमीकरण
(αxy³ + y cos x) dx + (x²y² + β sin x) dy = 0
बिल्कुल सही (exact) है
Aα = 2/3, β = 1α = 2/3, β = 1 के लिए
Bα = 1, β = 3/2α = 1, β = 3/2 के लिए
Cα = 1, β = 2/3α = 1, β = 2/3 के लिए
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)α = 2/3, β = 1α = 2/3, β = 1 के लिए
Explanation
Exactness needs ∂M/∂y = ∂N/∂x: 3αxy² + cos x = 2xy² + β cos x. Hence 3α = 2 and β = 1, i.e. α = 2/3, β = 1.यथातथ होने के लिए ∂M/∂y = ∂N/∂x चाहिए: 3αxy² + cos x = 2xy² + β cos x। अतः 3α = 2 और β = 1, यानी α = 2/3, β = 1।
Q163BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
An integrating factor of
x dy/dx + (3x + 1)y = x e⁻²ˣ
isएक समाकलन कारक
x dy/dx + (3x + 1)y = x e⁻²ˣ
का है
Ax e³ˣx e³ˣ
B3x eˣ3x eˣ
Cx eˣx eˣ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)x e³ˣx e³ˣ
Explanation
Divide by x: dy/dx + (3 + 1/x)y = e⁻²ˣ. The integrating factor is exp(∫(3 + 1/x) dx) = e³ˣ · x = x e³ˣ.x से भाग देने पर dy/dx + (3 + 1/x)y = e⁻²ˣ। समाकलन कारक exp(∫(3 + 1/x) dx) = e³ˣ · x = x e³ˣ है।
Q164BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The differential equation representing the family of circles touching y-axis at the origin isमूल बिन्दु पर y-अक्ष को छूने वाले वृत्तों के परिवार का प्रतिनिधित्व करने वाला अंतर समीकरण है
Alinear and of first orderरैखिक और प्रथम क्रम का
Blinear and of second orderरैखिक और दूसरे क्रम का
Cnon-linear and of first orderअरैखिक और प्रथम क्रम का
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
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Correct answer: (C)non-linear and of first orderअरैखिक और प्रथम क्रम का
Explanation
The family is x² + y² = 2ax with one parameter. Eliminating a gives y² − x² = 2xy y′, a first-order equation that is non-linear in y.परिवार x² + y² = 2ax है जिसमें एक प्राचल है। a हटाने पर y² − x² = 2xy y′ मिलता है, जो प्रथम क्रम का और y में अरैखिक है।
Q165BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let f, g : [−1, 1] → ℝ, f(x) = x³, g(x) = x²|x|. Thenमान लीजिए f, g : [−1, 1] → ℝ, f(x) = x³, g(x) = x²|x| तब
Af and g are linearly independent on [−1, 1]f और g रैखिक रूप से [−1, 1] पर स्वतंत्र हैं
Bf and g are linearly dependent on [−1, 1]f और g रैखिक रूप से [−1, 1] पर निर्भर हैं
Cf(x)g′(x) − f′(x)g(x) is not identically zero on [−1, 1]f(x)g′(x) − f′(x)g(x), [−1, 1] पर समान रूप से शून्य नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)f and g are linearly independent on [−1, 1]f और g रैखिक रूप से [−1, 1] पर स्वतंत्र हैं
Explanation
g = f for x ≥ 0 and g = −f for x < 0, so no single constant relation holds on the whole interval and f, g are linearly independent. Their Wronskian is zero everywhere, so (C) is false.x ≥ 0 पर g = f और x < 0 पर g = −f है, अतः पूरे अंतराल पर कोई एक अचर संबंध नहीं बनता और f, g रैखिकतः स्वतंत्र हैं। इनका रॉन्स्कियन सर्वत्र शून्य है, इसलिए (C) असत्य है।
Q166BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let y be the solution of the initial value problem
d²y/dx² + y = 6 cos 2x, y(0) = 3, y′(0) = 1
Let the Laplace transform of y be F(s). Then the value of F(1) isमान लीजिए y प्रारंभिक मान समस्या
d²y/dx² + y = 6 cos 2x, y(0) = 3, y′(0) = 1
का समाधान है। माना कि y का लाप्लास रूपांतरण F(s) है। तब, F(1) का मान है
A17/517/5
B13/513/5
C11/511/5
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Correct answer: (B)13/513/5
Explanation
Transforming: (s² + 1)F = 3s + 1 + 6s/(s² + 4). At s = 1, 2F(1) = 4 + 6/5 = 26/5, so F(1) = 13/5.रूपांतरण करने पर (s² + 1)F = 3s + 1 + 6s/(s² + 4)। s = 1 पर 2F(1) = 4 + 6/5 = 26/5, अतः F(1) = 13/5।
Q167BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The integral surface satisfying the equation
y ∂z/∂x + x ∂z/∂y = x² + y²
and passing through the curve x = 1 − t, y = 1 + t, z = 1 + t² isसमाकलन सतह, जो समीकरण
y ∂z/∂x + x ∂z/∂y = x² + y²
को संतुष्ट करती है और वक्र x = 1 − t, y = 1 + t, z = 1 + t² से होकर गुजरती है, है
Az = xy + (1/2)(x² − y²)²z = xy + (1/2)(x² − y²)²
Bz = xy + (1/4)(x² − y²)²z = xy + (1/4)(x² − y²)²
Cz = xy + (1/8)(x² − y²)²z = xy + (1/8)(x² − y²)²
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The characteristics give x² − y² = c₁ and z − xy = c₂, so z − xy = φ(x² − y²). On the curve, z − xy = 2t² and x² − y² = −4t, so φ(c) = c²/8. Hence z = xy + (x² − y²)²/8.अभिलक्षणों से x² − y² = c₁ और z − xy = c₂ मिलते हैं, अतः z − xy = φ(x² − y²)। वक्र पर z − xy = 2t² और x² − y² = −4t है, इसलिए φ(c) = c²/8। अतः z = xy + (x² − y²)²/8।
Q168BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let the general integral of the partial differential equation
(2xy − 1) ∂z/∂x + (z − 2x²) ∂z/∂y = 2(x − yz)
be given by F(u, v) = 0, where F : ℝ² → ℝ is a continuously differentiable function.
(ℝ is the set of all real numbers and ℝ² = {(x, y) : x, y ∈ ℝ})
Then which of the following is true?मान लीजिए कि आंशिक अवकल समीकरण
(2xy − 1) ∂z/∂x + (z − 2x²) ∂z/∂y = 2(x − yz)
का सामान्य समाकलन F(u, v) = 0 द्वारा दिया गया है, जहाँ F : ℝ² → ℝ एक निरंतर अवकलनीय फलन है।
(ℝ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और ℝ² = {(x, y) : x, y ∈ ℝ})
तो निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
Au = x² + y² + z, v = xz + yu = x² + y² + z, v = xz + y
Bu = x² + y² − z, v = xz − yu = x² + y² − z, v = xz − y
Cu = x² − y² + z, v = yz + xu = x² − y² + z, v = yz + x
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ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)u = x² + y² + z, v = xz + yu = x² + y² + z, v = xz + y
Explanation
u and v must be constant along the characteristics, i.e. satisfy (2xy − 1)uₓ + (z − 2x²)u_y + 2(x − yz)u_z = 0. For u = x² + y² + z this gives 2x(2xy − 1) + 2y(z − 2x²) + 2(x − yz) = 0, and likewise for v = xz + y, so (A) is correct.u और v को अभिलक्षणों के अनुदिश अचर होना चाहिए, अर्थात (2xy − 1)uₓ + (z − 2x²)u_y + 2(x − yz)u_z = 0। u = x² + y² + z के लिए 2x(2xy − 1) + 2y(z − 2x²) + 2(x − yz) = 0 मिलता है, और इसी प्रकार v = xz + y के लिए भी, अतः (A) सही है।
Q169BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The partial differential equation
x ∂²u/∂x² + (x − y) ∂²u/∂x∂y − y ∂²u/∂y² + (1/4)(∂u/∂y − ∂u/∂x) = 0
isआंशिक अवकल समीकरण
x ∂²u/∂x² + (x − y) ∂²u/∂x∂y − y ∂²u/∂y² + (1/4)(∂u/∂y − ∂u/∂x) = 0
है
Ahyperbolic along the line x + y = 0रेखा x + y = 0 के अनुदिश अतिपरवलयिक
Belliptic along the line x − y = 0रेखा x − y = 0 के अनुदिश दीर्घवृत्तीय
Cparabolic along the line x + y = 0रेखा x + y = 0 के अनुदिश परवलयिक
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)parabolic along the line x + y = 0रेखा x + y = 0 के अनुदिश परवलयिक
Explanation
With A = x, 2B = x − y, C = −y, the discriminant is B² − AC = (x − y)²/4 + xy = (x + y)²/4. It vanishes exactly on x + y = 0, so the equation is parabolic there and hyperbolic elsewhere (never elliptic).A = x, 2B = x − y, C = −y लेने पर विविक्तकर B² − AC = (x − y)²/4 + xy = (x + y)²/4 है। यह ठीक x + y = 0 पर शून्य होता है, अतः समीकरण वहाँ परवलयिक है और अन्यत्र अतिपरवलयिक (दीर्घवृत्तीय कहीं नहीं)।
Q170BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the wave equation
∂²u/∂t² = 4 ∂²u/∂x², 0 < x < π, t > 0
with u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = sin x and ∂u/∂t = 0 at t = 0.
Then u(π/2, π/2) isतरंग समीकरण पर विचार करें:
∂²u/∂t² = 4 ∂²u/∂x², 0 < x < π, t > 0
u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = sin x और t = 0 पर ∂u/∂t = 0 के साथ, तब u(π/2, π/2) है
A22
B11
C−1−1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)−1−1
Explanation
The solution is u = sin x cos 2t (it satisfies the equation and all conditions). At (π/2, π/2) it equals 1 × cos π = −1.हल u = sin x cos 2t है (यह समीकरण और सभी शर्तों को संतुष्ट करता है)। (π/2, π/2) पर इसका मान 1 × cos π = −1 है।
Q171BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let φ : [0, 1] → ℝ be three times continuously differentiable. Suppose that the iterates defined by xₙ₊₁ = φ(xₙ), n ≥ 0 converge to the fixed point ξ of φ. If the order of convergence is three, thenमान लीजिए φ : [0, 1] → ℝ तीन गुना निरंतर अवकलनीय है। मान लीजिए कि xₙ₊₁ = φ(xₙ), n ≥ 0 द्वारा परिभाषित पुनरावृत्त φ के निश्चित बिन्दु ξ पर एकत्रित होते हैं। यदि अभिसरण का क्रम तीन है, तो
Aφ′(ξ) = 0, φ″(ξ) = 0φ′(ξ) = 0, φ″(ξ) = 0
Bφ′(ξ) ≠ 0, φ″(ξ) = 0φ′(ξ) ≠ 0, φ″(ξ) = 0
Cφ′(ξ) ≠ 0, φ″(ξ) ≠ 0φ′(ξ) ≠ 0, φ″(ξ) ≠ 0
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
By Taylor expansion, convergence of order p requires the first p − 1 derivatives of φ to vanish at ξ and the p-th not to. For order three, φ′(ξ) = φ″(ξ) = 0 and φ‴(ξ) ≠ 0.टेलर प्रसार से, p क्रम के अभिसरण के लिए ξ पर φ के पहले p − 1 अवकलज शून्य होने चाहिए और p-वाँ शून्य नहीं। क्रम तीन के लिए φ′(ξ) = φ″(ξ) = 0 और φ‴(ξ) ≠ 0 होता है।
Q172BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
While solving the equation x² − 3x + 1 = 0 using the Newton-Raphson method with the initial guess of a root as 1, the value of the root after one iteration isसमीकरण x² − 3x + 1 = 0 को Newton-Raphson विधि का उपयोग करके हल करते समय जड़ के प्रारंभिक अनुमान 1 के साथ, एक पुनरावृत्ति के बाद जड़ का मान है
A1·51·5
B00
C11
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Q173BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the system of equations
[[5, 2, 1], [−2, 5, 2], [−1, 2, 8]] [x₁, x₂, x₃]ᵀ = [13, −22, 14]ᵀ
With the initial guess of the solution [x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, x₃⁽⁰⁾]ᵀ = [1, 1, 1]ᵀ the approximate value of the solution [x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾, x₃⁽¹⁾]ᵀ after one iteration by the Gauss-Seidel method isसमीकरणों की प्रणाली पर विचार करें:
[[5, 2, 1], [−2, 5, 2], [−1, 2, 8]] [x₁, x₂, x₃]ᵀ = [13, −22, 14]ᵀ
समाधान [x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, x₃⁽⁰⁾]ᵀ = [1, 1, 1]ᵀ के प्रारंभिक अनुमान के साथ गॉस-सीडेल विधि द्वारा एक पुनरावृत्ति के बाद समाधान [x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾, x₃⁽¹⁾]ᵀ का अनुमानित मूल्य है
A[2, −4·4, 1·625]ᵀ[2, −4·4, 1·625]ᵀ
B[2, −4, −3]ᵀ[2, −4, −3]ᵀ
C[2, −4, 3]ᵀ[2, −4, 3]ᵀ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)[2, −4, 3]ᵀ[2, −4, 3]ᵀ
Explanation
x₁ = (13 − 2·1 − 1)/5 = 2. Using the new x₁: x₂ = (−22 + 2·2 − 2·1)/5 = −4. Then x₃ = (14 + 2 − 2(−4))/8 = 3. The result is [2, −4, 3]ᵀ.x₁ = (13 − 2·1 − 1)/5 = 2। नए x₁ से x₂ = (−22 + 2·2 − 2·1)/5 = −4। फिर x₃ = (14 + 2 − 2(−4))/8 = 3। परिणाम [2, −4, 3]ᵀ है।
Q174BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
For what values of α and β, the quadrature formula
∫₋₁¹ f(x) dx ≈ α f(−1) + f(β)
is exact for all polynomials of degree ≤ 1?α और β के किन मानों के लिए, चतुर्भुज सूत्र
∫₋₁¹ f(x) dx ≈ α f(−1) + f(β)
घात ≤ 1 के सभी बहुपदों के लिए सटीक है?
Aα = 1, β = 1α = 1, β = 1
Bα = −1, β = 1α = −1, β = 1
Cα = 1, β = −1α = 1, β = −1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)α = 1, β = 1α = 1, β = 1
Explanation
Exactness for f = 1 gives 2 = α + 1, so α = 1. For f = x it gives 0 = −α + β, so β = α = 1.f = 1 के लिए सटीकता से 2 = α + 1, अतः α = 1। f = x के लिए 0 = −α + β, अतः β = α = 1।
Q175BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The value of the integral
I = ∫₋₁¹ exp(x²) dx
using a rectangular rule is approximated as 2. Then, the approximation error |I − 2| lies in the intervalअभिन्न (समाकलन)
I = ∫₋₁¹ exp(x²) dx
का मूल्य एक आयताकार नियम का उपयोग करके 2 के रूप में अनुमानित किया गया है। फिर, सन्निकटन त्रुटि |I − 2| किस मध्यान्तर में स्थित है?
A(2e, 3e](2e, 3e]
B(2/3, 2e](2/3, 2e]
C(0, e/8](0, e/8]
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)(2/3, 2e](2/3, 2e]
Explanation
The true value is I ≈ 2.925 (from the series 2(1 + 1/3 + 1/10 + 1/42 + …)), so |I − 2| ≈ 0.925. This lies in (2/3, 2e] and not in the other two intervals.वास्तविक मान I ≈ 2.925 है (श्रेणी 2(1 + 1/3 + 1/10 + 1/42 + …) से), अतः |I − 2| ≈ 0.925। यह (2/3, 2e] में स्थित है, अन्य दो अंतरालों में नहीं।
Q176BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Which of the following is true?निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
AEvery linear programming problem has a feasible solutionप्रत्येक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का एक व्यवहार्य समाधान होता है
BIf a linear programming problem has an optimal solution then it is uniqueयदि एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का इष्टतम समाधान है, तो यह अद्वितीय है
CExtreme points of the disk x² + y² ≤ 1 are the points on the circle x² + y² = 1डिस्क x² + y² ≤ 1 के चरम बिन्दु वृत्त x² + y² = 1 पर बिन्दु हैं
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)Extreme points of the disk x² + y² ≤ 1 are the points on the circle x² + y² = 1डिस्क x² + y² ≤ 1 के चरम बिन्दु वृत्त x² + y² = 1 पर बिन्दु हैं
Explanation
Every boundary point of the closed unit disk cannot be written as a proper convex combination of two other points of the disk, so the extreme points are exactly the points of the circle. A problem can be infeasible, and optima need not be unique.बंद इकाई डिस्क का प्रत्येक सीमा-बिंदु डिस्क के दो अन्य बिंदुओं के उचित उत्तल संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता, अतः चरम बिंदु ठीक वृत्त के बिंदु हैं। कोई समस्या अव्यवहार्य हो सकती है और इष्टतम हल अद्वितीय होना आवश्यक नहीं।
Q177BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The Linear Programming Problem
Maximize z = x₁ + x₂
subject to
x₁ + 2x₂ ≤ 20
x₁ + x₂ ≤ 15
x₂ ≤ 6
x₁, x₂ ≥ 0रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या
Maximize z = x₁ + x₂
subject to
x₁ + 2x₂ ≤ 20
x₁ + x₂ ≤ 15
x₂ ≤ 6
x₁, x₂ ≥ 0
Ahas exactly one optimum solutionका बिल्कुल एक इष्टतम समाधान है
Bhas more than one optimum solutionके एक से अधिक इष्टतम समाधान हैं
Chas no solutionका कोई समाधान नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)has exactly one optimum solutionका बिल्कुल एक इष्टतम समाधान है
Explanation
Note: the official key gives (A), but the objective x₁ + x₂ is parallel to the constraint x₁ + x₂ ≤ 15. The vertices (15, 0) and (10, 5) are both feasible with z = 15 (the maximum), so every point on the segment joining them is optimal, which is option (B). Official key kept.टिप्पणी: आधिकारिक कुंजी (A) देती है, परंतु उद्देश्य फलन x₁ + x₂ और प्रतिबंध x₁ + x₂ ≤ 15 समानांतर हैं। शीर्ष (15, 0) और (10, 5) दोनों संभव हैं और दोनों पर z = 15 (अधिकतम) है, अतः उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंड का प्रत्येक बिंदु इष्टतम है, जो विकल्प (B) है। आधिकारिक कुंजी यथावत रखी गई है।
Q178BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The dual of the linear programming problem:
Minimize cᵀx subject to Ax ≥ b and x ≥ 0
isरैखिक प्रोग्रामिंग समस्या:
Minimize cᵀx subject to Ax ≥ b और x ≥ 0
का द्वैत है
Amaximize bᵀw subject to Aᵀw ≥ c and w ≥ 0maximize bᵀw subject to Aᵀw ≥ c और w ≥ 0
Bmaximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c and w ≥ 0maximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c और w ≥ 0
Cmaximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c and w is unrestrictedmaximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c और w अप्रतिबंधित है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)maximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c and w ≥ 0maximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c और w ≥ 0
Explanation
For a minimization problem with Ax ≥ b and x ≥ 0 (the canonical form), the dual is: maximize bᵀw subject to Aᵀw ≤ c, w ≥ 0.न्यूनतमीकरण समस्या Ax ≥ b, x ≥ 0 (मानक रूप) का द्वैत है: bᵀw अधिकतम करें, प्रतिबंध Aᵀw ≤ c, w ≥ 0।
Q179BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A transportation problem isपरिवहन की समस्या है
Adual problemदोहरी समस्या
Bnon-linear programming problemगैर-रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या
Cspecial case of linear programming problemरैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का विशेष मामला
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)special case of linear programming problemरैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का विशेष मामला
Explanation
A transportation problem has a linear cost objective and linear supply-demand constraints, so it is a special case of a linear programming problem.परिवहन समस्या में रैखिक लागत फलन और रैखिक पूर्ति-माँग प्रतिबंध होते हैं, अतः यह रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का विशेष मामला है।
Q180BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Consider the map f : ℝ² → ℝ² defined by
f(x, y) = (3x − 2y + x², 4x + 5y + y²)
thenयदि मानचित्र f : ℝ² → ℝ² को
f(x, y) = (3x − 2y + x², 4x + 5y + y²)
द्वारा परिभाषित किया गया है, तब
Af is discontinuous at (0, 0)f, (0, 0) पर असंतत है
Bf is continuous at (0, 0) and all directional derivatives exist at (0, 0)f, (0, 0) पर संतत है और सभी दिशात्मक डेरिवेटिव (0, 0) पर मौजूद हैं
Cf is differentiable at (0, 0) but the derivative Df(0, 0) is not invertiblef, (0, 0) पर अवकलनीय है लेकिन डेरिवेटिव Df(0, 0) उलटा नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)f is continuous at (0, 0) and all directional derivatives exist at (0, 0)f, (0, 0) पर संतत है और सभी दिशात्मक डेरिवेटिव (0, 0) पर मौजूद हैं
Explanation
f is a polynomial map, so it is continuous and differentiable everywhere, and all directional derivatives exist. Df(0, 0) = [[3, −2], [4, 5]] has determinant 23 ≠ 0, so it is invertible and (C) is false.f बहुपदीय मानचित्र है, अतः सर्वत्र संतत और अवकलनीय है तथा सभी दिशात्मक डेरिवेटिव मौजूद हैं। Df(0, 0) = [[3, −2], [4, 5]] का सारणिक 23 ≠ 0 है, अतः यह उलटा है और (C) असत्य है।
Q181BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The function
f(x, y) = 3x²y + 4y³ − 3x² − 12y² + 1
has a saddle point atफ़ंक्शन
f(x, y) = 3x²y + 4y³ − 3x² − 12y² + 1
का एक सैडल बिन्दु है
A(0, 0)(0, 0) पर
B(0, 2)(0, 2) पर
C(−2, 1)(−2, 1) पर
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)(−2, 1)(−2, 1) पर
Explanation
fₓ = 6x(y − 1) and f_y = 3x² + 12y² − 24y give critical points (0, 0), (0, 2), (±2, 1). At (0, 0) the Hessian is diag(−6, −24), a maximum; at (0, 2) it is diag(6, 24), a minimum; at (−2, 1) it is [[0, −12], [−12, 0]] with negative determinant, a saddle.fₓ = 6x(y − 1) और f_y = 3x² + 12y² − 24y से क्रांतिक बिंदु (0, 0), (0, 2), (±2, 1) मिलते हैं। (0, 0) पर हेसियन diag(−6, −24) है (उच्चिष्ठ); (0, 2) पर diag(6, 24) है (निम्निष्ठ); (−2, 1) पर [[0, −12], [−12, 0]] है जिसका सारणिक ऋणात्मक है, अतः यह सैडल बिंदु है।
Q182BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let f(x, y) = x²y / (x² + y²) for (x, y) ≠ (0, 0). Thenमान लीजिए कि (x, y) ≠ (0, 0) के लिए f(x, y) = x²y / (x² + y²) है। तब
A∂f/∂x and f are bounded∂f/∂x और f परिबद्ध हैं
B∂f/∂x is bounded and f is unbounded∂f/∂x परिबद्ध है और f अपरिबद्ध है
Cf is continuousf संतत है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
The official key is (D), more than one of the above: both (B) and (C) are true. On x = y we get f = y/2, so f is unbounded, and ∂f/∂x = 2xy³/(x² + y²)² is bounded, so (B) is true; f is a quotient of continuous functions on its domain, so (C) is true as well.आधिकारिक कुंजी (D) है: (B) और (C) दोनों सत्य हैं। x = y पर f = y/2 है, अतः f अपरिबद्ध है, और ∂f/∂x = 2xy³/(x² + y²)² परिबद्ध है, इसलिए (B) सत्य है; अपने प्रांत में f संतत फलनों का भागफल है, अतः (C) भी सत्य है।
Q183BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let C be the circle (x − 1)² + y² = 1, oriented counter-clockwise. Then the value of the line integral
∫_C −(4/3)xy³ dx + x⁴ dy
isमान लीजिए C वृत्त (x − 1)² + y² = 1 है, जो वामावर्त दिशा में उन्मुख है। फिर लाइन इंटीग्रल
∫_C −(4/3)xy³ dx + x⁴ dy
का मान है
A6π6π
B8π8π
C12π12π
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)8π8π
Explanation
By Green's theorem the integral equals ∬(4x³ + 4xy²) dA = 4∬ x(x² + y²) dA over the disk. In polar form (r ≤ 2cos θ) this is 4∫ cos θ · (2cos θ)⁵/5 dθ = (128/5)∫cos⁶θ dθ over (−π/2, π/2) = (128/5)(5π/16) = 8π.ग्रीन प्रमेय से समाकलन डिस्क पर ∬(4x³ + 4xy²) dA = 4∬ x(x² + y²) dA है। ध्रुवीय रूप में (r ≤ 2cos θ) यह 4∫ cos θ · (2cos θ)⁵/5 dθ = (128/5)∫cos⁶θ dθ (−π/2 से π/2) = (128/5)(5π/16) = 8π है।
Q184BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The equation xy − z log y + e^(xz) = 1 can be solved in a neighbourhood of the point (0, 1, 1) as y = f(x, z) for some continuously differentiable function f. Thenयदि समीकरण xy − z log y + e^(xz) = 1 को बिन्दु (0, 1, 1) के पड़ोस में, y = f(x, z) के रूप में हल किया जा सकता है किसी निरंतर अवकलनीय फलन f के लिए, तो
A∇f(0, 1) = (2, 0)∇f(0, 1) = (2, 0)
B∇f(0, 1) = (0, 2)∇f(0, 1) = (0, 2)
C∇f(0, 1) = (0, 1)∇f(0, 1) = (0, 1)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
With F = xy − z log y + e^(xz) − 1, at (0, 1, 1): Fₓ = y + z e^(xz) = 2, F_y = x − z/y = −1, F_z = −log y + x e^(xz) = 0. So f_x = −Fₓ/F_y = 2 and f_z = −F_z/F_y = 0, giving ∇f(0, 1) = (2, 0).F = xy − z log y + e^(xz) − 1 के लिए (0, 1, 1) पर Fₓ = y + z e^(xz) = 2, F_y = x − z/y = −1, F_z = −log y + x e^(xz) = 0। अतः f_x = −Fₓ/F_y = 2 और f_z = −F_z/F_y = 0, इसलिए ∇f(0, 1) = (2, 0)।
Q185BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let V be the solid region in ℝ³ bounded by the paraboloid y = (x² + z²) and the plane y = 4. Then the value of
∭_V 15√(x² + z²) dV
isमान लीजिए V, ℝ³ में एक ठोस क्षेत्र है जो परवलयज y = (x² + z²) और समतल y = 4 से घिरा है। तो
∭_V 15√(x² + z²) dV
का मान है
A128π128π
B64π64π
C28π28π
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)128π128π
Explanation
Use cylindrical coordinates about the y-axis: r from 0 to 2 and y from r² to 4. The integral is 2π × 15 ∫₀² r · r (4 − r²) dr = 30π (32/3 − 32/5) = 30π × 64/15 = 128π.y-अक्ष के परितः बेलनाकार निर्देशांक लें: r 0 से 2 और y, r² से 4 तक। समाकलन 2π × 15 ∫₀² r · r (4 − r²) dr = 30π (32/3 − 32/5) = 30π × 64/15 = 128π है।
Q186BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Which of the following is the imaginary part of a possible value of ln(√i)?निम्नलिखित में से कौन-सा ln(√i) के संभावित मान का काल्पनिक भाग है?
Aππ
Bπ/2π/2
Cπ/4π/4
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)π/4π/4
Explanation
√i = e^(iπ/4) (or e^(i5π/4)), so ln(√i) = iπ/4 + 2πik, whose imaginary parts include π/4. π and π/2 are not of the form π/4 + 2πk or 5π/4 + 2πk.√i = e^(iπ/4) (या e^(i5π/4)), अतः ln(√i) = iπ/4 + 2πik, जिसके काल्पनिक भागों में π/4 आता है। π और π/2 रूप π/4 + 2πk या 5π/4 + 2πk के नहीं हैं।
Q187BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The principal value of (−1)^(−2i/π) is(−1)^(−2i/π) का प्रिन्सिपल मान है
Ae²ⁱe²ⁱ
Be²e²
Ce⁻²e⁻²
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)e²e²
Explanation
(−1)^w = exp(w · Log(−1)) = exp(w · iπ). With w = −2i/π this is exp((−2i/π)(iπ)) = e².(−1)^w = exp(w · Log(−1)) = exp(w · iπ)। w = −2i/π लेने पर यह exp((−2i/π)(iπ)) = e² है।
Q188BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The number of surjective maps from a set of 4 elements to a set of 3 elements is4 तत्त्वों के सेट से 3 तत्त्वों के सेट तक आच्छादी मानचित्रों की संख्या है
A3636
B6464
C6969
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)3636
Explanation
By inclusion-exclusion the count is 3⁴ − 3·2⁴ + 3·1⁴ = 81 − 48 + 3 = 36.समावेशन-अपवर्जन से संख्या 3⁴ − 3·2⁴ + 3·1⁴ = 81 − 48 + 3 = 36 है।
Q189BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Which of the following sets is countable?निम्नलिखित में से कौन-सा समुच्चय गणनीय है?
AThe set of all functions from ℝ to {0, 1}ℝ से {0, 1} तक सभी फंक्शन्स का समुच्चय
BThe set of all functions from ℕ to {0, 1}ℕ से {0, 1} तक सभी फंक्शन्स का समुच्चय
CThe set of all finite subsets of ℕℕ के सभी परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)The set of all finite subsets of ℕℕ के सभी परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय
Explanation
Functions from ℝ or ℕ to {0, 1} correspond to subsets of ℝ or ℕ, which are uncountable. The set of finite subsets of ℕ is a countable union of countable sets, hence countable.ℝ या ℕ से {0, 1} तक के फलन ℝ या ℕ के उपसमुच्चयों के संगत हैं, जो अगणनीय हैं। ℕ के परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय गणनीय समुच्चयों का गणनीय संघ है, अतः गणनीय है।
Q190BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The maximum number of positive real roots of the equation
2x⁷ − x⁴ + 4x³ − 5 = 0
isसमीकरण
2x⁷ − x⁴ + 4x³ − 5 = 0
के धनात्मक वास्तविक मूलों की अधिकतम संख्या है
A22
B33
C66
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)33
Explanation
By Descartes' rule of signs, the coefficient signs +, −, +, − have 3 sign changes, so there are at most 3 positive real roots.डेकार्ट के चिह्न नियम से गुणांकों के चिह्न +, −, +, − में 3 परिवर्तन हैं, अतः धनात्मक वास्तविक मूल अधिकतम 3 हैं।
Q191BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Find the shortest distance between the lines
(x − 8)/3 = (y + 9)/(−16) = (z − 10)/7 and
(x − 15)/3 = (y − 29)/8 = (z − 5)/(−5)निम्न रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
(x − 8)/3 = (y + 9)/(−16) = (z − 10)/7 और
(x − 15)/3 = (y − 29)/8 = (z − 5)/(−5)
A1616
B1414
C1515
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)1414
Explanation
d₁ × d₂ = (3, −16, 7) × (3, 8, −5) = (24, 36, 72) = 12(2, 3, 6), of magnitude 84. With a₂ − a₁ = (7, 38, −5), the scalar triple product is 12(14 + 114 − 30) = 1176, so the distance is 1176/84 = 14.d₁ × d₂ = (3, −16, 7) × (3, 8, −5) = (24, 36, 72) = 12(2, 3, 6), जिसका परिमाण 84 है। a₂ − a₁ = (7, 38, −5) के साथ अदिश त्रिक गुणनफल 12(14 + 114 − 30) = 1176 है, अतः दूरी 1176/84 = 14 है।
Q192BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
In polar coordinate system the component of velocity along radius vector and perpendicular to radius vector isध्रुवीय समन्वय प्रणाली में त्रिज्या वेक्टर के अनुदिश और त्रिज्या वेक्टर के लंबवत् वेग का घटक क्या है?
Adr/dt and r dθ/dtdr/dt और r dθ/dt
Bd²r/dt² and r² dθ/dtd²r/dt² और r² dθ/dt
Cdr/dt and (1/r) dθ/dtdr/dt और (1/r) dθ/dt
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)dr/dt and r dθ/dtdr/dt और r dθ/dt
Explanation
Velocity in polar coordinates is v = (dr/dt) r̂ + r (dθ/dt) θ̂, so the radial component is dr/dt and the transverse component is r dθ/dt.ध्रुवीय निर्देशांकों में वेग v = (dr/dt) r̂ + r (dθ/dt) θ̂ होता है, अतः त्रिज्य घटक dr/dt और अनुप्रस्थ घटक r dθ/dt है।
Q193BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Kepler's law of planetary motion are given below:
I. The square of the periodic time of planets are proportional to the cubes of the major axes of their orbits.
II. The radius vector drawn from the sun to the planet describes equal arc in equal time.
III. Each planet describes the ellipse having the sun in one of its foci.
The order of these three laws are as follows:ग्रहों की गति के बारे में केप्लर का नियम नीचे दिया गया है:
I. ग्रहों के आवर्त समय का वर्ग उनकी कक्षाओं के प्रमुख अक्षों के घनों के समानुपाती होता है।
II. सूर्य से ग्रह तक खींचा गया त्रिज्या वेक्टर समान समय में समान चाप का वर्णन करता है।
III. प्रत्येक ग्रह उस दीर्घवृत्त का वर्णन करता है जिसके एक केंद्र में सूर्य है।
इन तीनों नियमों का क्रम इस प्रकार है:
AI, II, IIII, II, III
BIII, II, IIII, II, I
CIII, I, IIIII, I, II
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)III, II, IIII, II, I
Explanation
Kepler's first law is the elliptical orbit (III), the second is equal areas in equal times (II), and the third is the period-axis relation T² ∝ a³ (I). The order is III, II, I.केप्लर का पहला नियम दीर्घवृत्तीय कक्षा (III), दूसरा समान समय में समान क्षेत्रफल (II) और तीसरा आवर्त-अक्ष संबंध T² ∝ a³ (I) है। अतः क्रम III, II, I है।
Q194BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
In planetary motionग्रहों की गति में
Athe total angular momentum remains constantकुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है
Bthe angular speed remains constantकोणीय गति स्थिर रहती है
Cthe linear speed remains constantरैखिक गति स्थिर रहती है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)the total angular momentum remains constantकुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है
Explanation
The gravitational force is central, so there is no torque about the Sun and the total angular momentum is conserved. The angular and linear speeds vary along the elliptical orbit.गुरुत्वाकर्षण बल केंद्रीय है, अतः सूर्य के परितः बल-आघूर्ण शून्य रहता है और कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। दीर्घवृत्तीय कक्षा में कोणीय और रैखिक चाल बदलती रहती हैं।
Q195BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A particle coming rest from infinity will reach the earth's surface with a velocityअनंत से विराम अवस्था में आने वाला एक कण किस वेग से पृथ्वी की सतह पर पहुँचेगा?
A√(gr)√(gr)
B√(2gr)√(2gr)
C2√(gr)2√(gr)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)√(2gr)√(2gr)
Explanation
By energy conservation, ½v² = GM/r = gr (with g = GM/r²), so v = √(2gr), the escape speed.ऊर्जा संरक्षण से ½v² = GM/r = gr (जहाँ g = GM/r²), अतः v = √(2gr), जो पलायन वेग है।
Q196BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
The point in the immersed body through which the resultant pressure of the liquid may be taken to act is known asतरल पदार्थ का परिणामी दबाव डूबी हुई वस्तु में जिस बिन्दु के माध्यम से कार्य करता है उसे कहा जा सकता है
Acentre of gravityगुरुत्वाकर्षण का केन्द्र
Bcentre of depthगहराई का केन्द्र
Ccentre of pressureदबाव का केन्द्र
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)centre of pressureदबाव का केन्द्र
Explanation
By definition, the point through which the total (resultant) fluid pressure force on a submerged surface acts is the centre of pressure.परिभाषा के अनुसार, डूबी हुई सतह पर कुल (परिणामी) तरल दाब बल जिस बिंदु से होकर कार्य करता है, उसे दाब केन्द्र कहते हैं।
Q197BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
In an inclined plane submerged in water, the centre of pressure is locatedपानी में डूबे एक झुके हुए समतल में, दबाव का केन्द्र स्थित होता है
Aat the centroidकेन्द्रक पर
Bbelow the centroidकेन्द्रक के नीचे
Cabove the centroidकेन्द्रक के ऊपर
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)below the centroidकेन्द्रक के नीचे
Explanation
Pressure increases with depth, so the resultant acts below the centroid: depth of centre of pressure = h̄ + I_G sin²θ/(A h̄), which is greater than h̄.गहराई के साथ दाब बढ़ता है, अतः परिणामी बल केन्द्रक के नीचे लगता है: दाब केन्द्र की गहराई = h̄ + I_G sin²θ/(A h̄), जो h̄ से अधिक है।
Q198BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A fine uniform cycloidal tube is held with its axis vertical and vertex downwards and equal weights of two liquids occupy lengths a and b. Then the heights of the free surfaces of the liquids above the vertex are in the ratioएक फाइन यूनीफॉर्म साइक्लोइडल ट्यूब की धुरी ऊर्ध्वाधर और शीर्ष नीचे की ओर है और दो तरल पदार्थ समान वजन के हैं और लंबाई a और b पर कब्जा (occupy) करते हैं। शीर्ष के ऊपर तरल पदार्थों की मुक्त सतहों की ऊँचाई का अनुपात होता है
A(3a + b)² : (3b + a)²(3a + b)² : (3b + a)²
B(3a + b) : (3b + a)(3a + b) : (3b + a)
C(3b + a)² : (3a + b)²(3b + a)² : (3a + b)²
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
This is a standard result for a cycloidal tube with equal weights of two liquids; the official key gives (A), the ratio (3a + b)² : (3b + a)². (Not independently re-derived.)यह साइक्लोइडल नली में समान भार के दो तरलों का मानक परिणाम है; आधिकारिक कुंजी (A) देती है, अर्थात अनुपात (3a + b)² : (3b + a)²। (स्वतंत्र रूप से पुनः व्युत्पन्न नहीं किया गया।)
Q199BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
A box contains 10 mangoes out of which 4 are rotten. 2 mangoes are taken out together. If one of them is found to be good, then probability that the other is also good isएक डिब्बे में 10 आम हैं जिनमें से 4 सड़े हुए हैं। 2 आम एक साथ निकाले जाते हैं। यदि उनमें से एक अच्छा पाया जाता है, तो संभावना यह कि दूसरा भी अच्छा है, क्या है?
A1/31/3
B8/158/15
C5/135/13
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)5/135/13
Explanation
Given at least one good: P(both good) = C(6,2)/C(10,2) = 15/45 and P(at least one good) = 1 − C(4,2)/45 = 39/45. The conditional probability is 15/39 = 5/13.कम से कम एक अच्छा होने पर: P(दोनों अच्छे) = C(6,2)/C(10,2) = 15/45 और P(कम से कम एक अच्छा) = 1 − C(4,2)/45 = 39/45। सप्रतिबंध प्रायिकता 15/39 = 5/13 है।
Q200BPSC TRE 2.0 (2023) Mathematics Class 9-10 (Re-exam)
Let X has probability density function
f(x) = 0·75(1 − x²), x ∈ [−1, 1]; 0 otherwise
What is the probability of P(−1/2 ≤ X ≤ 1/2)?माना कि X में संभाव्यता घनत्व फलन है
f(x) = 0·75(1 − x²), x ∈ [−1, 1]; अन्यथा 0
प्रायिकता P(−1/2 ≤ X ≤ 1/2) क्या है?
A0·680·68
B0·600·60
C0·650·65
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)0·680·68
Explanation
P = 0.75 ∫ from −1/2 to 1/2 of (1 − x²) dx = 0.75 (1 − 1/12) = 0.6875, which is about 0.68 (the closest option).P = 0.75 ∫ (−1/2 से 1/2) (1 − x²) dx = 0.75 (1 − 1/12) = 0.6875, जो लगभग 0.68 है (निकटतम विकल्प)।
How to use these BPSC TRE Mathematics questions
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