521 Mathematics questions asked in BPSC TRE previous year papers, each with the correct answer and explanation. Read them free on UTpaper, or attempt the full papers as timed online tests.
Three metalic balls of radius 6, 8 and r cm respectively are melted and a new ball is formed. If the radius of the new ball is 12 cm, then the value of r isतीन गोलीय गेंदों की त्रिज्याएं 6, 8 और r सेमी है, इनको पिघलाकर 12 सेमी वाला एक बड़ा गोला बनाया गया है, तो r का मान है
A10 cm10 सेमी
B9 cm9 सेमी
C8 cm8 सेमी
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)10 cm10 सेमी
Explanation
6³ + 8³ + r³ = 12³: 216 + 512 + r³ = 1728, so r³ = 1000 and r = 10 cm.216 + 512 + r³ = 1728 से r³ = 1000, r = 10 सेमी।
A and B complete a work in 12 days and 15 days respectively. They worked for 4 days together and then A left. The remaining portion of the work will be completed by B inA तथा B किसी कार्य को क्रमश: 12 दिन तथा 15 दिन में पूरा कर सकते है। उन्होंने मिलकर कार्य करना शुरू किया, लेकिन 4 दिन बाद A काम छोड़कर चला गया। शेष कार्य को B ने आगे कितने दिनों में पूरा किया होगा?
A20/3 days20/3 दिन
B25/3 days25/3 दिन
C6 days6 दिन
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)6 days6 दिन
Explanation
In 4 days they finish 4(1/12 + 1/15) = 3/5; B does the remaining 2/5 in 2/5 × 15 = 6 days.4 दिन में 4(1/12 + 1/15) = 3/5 काम; शेष 2/5 को B, 2/5 × 15 = 6 दिन में पूरा करेगा।
If the rate of sugar is increased by 25%, in order to not increase the expenditure on sugar a consumer has to reduce the use of sugar.यदि चीनी की कीमत में 25% वृद्धि हो जाए, तो किसी गृहस्थ को चीनी की खपत में कितने प्रतिशत कमी करनी पड़ेगी, ताकि उसका चीनी का खर्च न बड़े?
A10%10%
B20%20%
C18%18%
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
A square of area 121 cm² is made by a copper wire. If a circle is made with the same wire, then its radius isएक तांबे के तार को मोड़कर वर्गाकार बनाया गया है, जिसका क्षेत्रफल 121 सेमी² है। यदि उसी तार को मोड़कर वृत्त बनाया जाए, तो उस वृत्त की त्रिज्या कितनी सेमी होगी?
A7 cm7 cm
B10 cm10 cm
C11 cm11 cm
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)7 cm7 cm
Explanation
Side = 11 cm, wire = 44 cm = 2πr, so r = 44 × 7/44 = 7 cm.भुजा 11 cm, तार = 44 cm = 2πr, अतः r = 7 cm।
If radius of a circle is increased by 50%, then its area will be increased byयदि किसी वृत्त की त्रिज्या में 50% वृद्धि कर दी जाए, तो उसके क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होगा?
A50%50%
B75%75%
C125%125%
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)125%125%
Explanation
New area = 1.5² = 2.25 times, an increase of 125%.नया क्षेत्रफल 1.5² = 2.25 गुना, अर्थात् 125% वृद्धि।
Areas of two similar triangles are 81 cm² and 49 cm² respectively. The ratio of their corresponding heights isदो समरूप त्रिभुज के क्षेत्रफल क्रमश: 81 सेमी² तथा 49 सेमी² है। उनकी संगत ऊँचाइयों का अनुपात है
A7 : 97 : 9
B9 : 79 : 7
C81 : 4981 : 49
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)9 : 79 : 7
Explanation
For similar triangles the ratio of areas is the square of the ratio of corresponding heights: √(81/49) = 9 : 7.समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत ऊँचाइयों के अनुपात का वर्ग होता है: √(81/49) = 9 : 7।
Digging price of a tube well of depth 280 m and diameter 3 m with the rate ₹3.60 / cubic meter is280 मी. गहरे तथा 3 मी. व्यास वाले नलकूप की खुदाई की किमत ₹3.60 प्रति मी³ की दर से क्या होगी?
A₹7,128₹7,128
B₹2,728₹2,728
C₹7,282₹7,282
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
The number that reduces the ratio 49 : 68 to the ratio 6 : 7 by adding to each of the number of the ratio isवह कोन सी संख्या है, जिसे अनुपात 49 : 68 की प्रत्येक संख्या में जोड़ने पर वह अनुपात 6 : 7 हो जाता है?
A6565
B5555
C7575
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)6565
Explanation
(49 + x)/(68 + x) = 6/7 gives 343 + 7x = 408 + 6x, so x = 65.(49 + x)/(68 + x) = 6/7 से x = 65।
If A, B and C complete a work in 30 days and A and B complete it in 50 days working together. Then C alone will complete it inA, B तथा C मिलकर किसी कार्य को 30 दिन में पूरा कर सकते है। A तथा B मिलकर उस कार्य को 50 दिन में पूरा कर सकते है। तो C अकेला उस कार्य को कितने समय में पूरा कर सकेगा :
A60 days60 दिन
B75 days75 दिन
C80 days80 दिन
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)75 days75 दिन
Explanation
C's one-day work = 1/30 − 1/50 = 1/75, so C alone takes 75 days.C का एक दिन का काम = 1/30 − 1/50 = 1/75, अतः 75 दिन।
The ratio of ages of father and son is 5 : 2. If the difference of their ages is 27 years, then the age of father after 6 years will beपिता और पुत्र की वर्तमान आयु का अनुपात 5 : 2 है। यदि उनकी आयु में 27 वर्ष का अन्तर है, तो 6 वर्ष बाद पिता की आयु कितनी होगी?
A49 years49 years
B45 years45 years
C51 years51 years
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)51 years51 years
Explanation
5k − 2k = 27 gives k = 9; father = 45 years now, so 51 years after 6 years.5k − 2k = 27 से k = 9; पिता की आयु 45 वर्ष, 6 वर्ष बाद 51 वर्ष।
Let a relation R be defined over the set of non-zero rational numbers Q* by aRb, if a = 1/b. Then over Q*, this relation R isमाना अशून्येतर परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q* पर एक सम्बन्ध R, aRb यदि a = 1/b, द्वारा परिभाषित है। तब Q* पर यह सम्बन्ध R
Areflexive, but not symmetric and transitiveस्वतुल्य है, किन्तु सममित और संक्रामक नहीं है
Bsymmetric, but not reflexive and transitiveसममित है, किन्तु स्वतुल्य और संक्रामक नहीं है
Ctransitive, but not reflexive and symmetricसंक्रामक है, किन्तु स्वतुल्य और सममित नहीं है
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)symmetric, but not reflexive and transitiveसममित है, किन्तु स्वतुल्य और संक्रामक नहीं है
Explanation
a = 1/b is the same as ab = 1, which is symmetric. It is not reflexive (2·2 ≠ 1), and not transitive: 2R(1/2) and (1/2)R2 but 2 is not related to 2.a = 1/b का अर्थ ab = 1 है, जो सममित है। यह स्वतुल्य नहीं है (2·2 ≠ 1) और संक्रामक भी नहीं है: 2R(1/2) और (1/2)R2 हैं, पर 2 का सम्बन्ध 2 से नहीं है।
In how many ways can 5 rings of different types be worn in 4 fingers?4 अँगुलियों में विभिन्न प्रकार की 5 अँगूठियाँ कितने प्रकार से पहनी जा सकती हैं?
A2⁵2⁵
B3⁵3⁵
C4⁵4⁵
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)4⁵4⁵
Explanation
Each of the 5 distinct rings can be worn on any of the 4 fingers independently, giving 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵ ways (ignoring the order of rings on a finger).5 भिन्न अँगूठियों में से प्रत्येक को 4 अँगुलियों में से किसी पर भी स्वतंत्र रूप से पहना जा सकता है, इसलिए 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵ प्रकार होते हैं (एक अँगुली में अँगूठियों का क्रम नहीं गिना गया)।
The nth roots of unity can be arranged inइकाई के nवें मूलों को व्यवस्थित किया जा सकता है
Aan arithmetic progressionएक समान्तर श्रेढ़ी में
Ba geometric progressionएक गुणोत्तर श्रेढ़ी में
Ca harmonic progressionएक हरात्मक श्रेढ़ी में
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)a geometric progressionएक गुणोत्तर श्रेढ़ी में
Explanation
The nth roots of unity are 1, ω, ω², ..., ωⁿ⁻¹ with ω = e^(2πi/n); each is ω times the previous one, so they form a geometric progression with common ratio ω.इकाई के nवें मूल 1, ω, ω², ..., ωⁿ⁻¹ हैं, जहाँ ω = e^(2πi/n); प्रत्येक मूल पिछले मूल का ω गुना है, इसलिए वे सार्वानुपात ω वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
If the matrix
[5 8 6]
[3 2 4]
[1 7 9]
is expressed in the form A + B, where A is symmetric and B is skew-symmetric, then the value of B isयदि आव्यूह
[5 8 6]
[3 2 4]
[1 7 9]
को A + B के रूप में व्यक्त किया जाए, जहाँ A सममित और B विषम-सममित हो, तो B का मान है
The skew-symmetric part is B = (M − Mᵀ)/2. Its entries are b₁₂ = (8 − 3)/2 = 5/2, b₁₃ = (6 − 1)/2 = 5/2 and b₂₃ = (4 − 7)/2 = −3/2, with zeros on the diagonal and b_ji = −b_ij, which is option (B).विषम-सममित भाग B = (M − Mᵀ)/2 है। इसकी प्रविष्टियाँ b₁₂ = (8 − 3)/2 = 5/2, b₁₃ = (6 − 1)/2 = 5/2 और b₂₃ = (4 − 7)/2 = −3/2 हैं, विकर्ण पर शून्य हैं और b_ji = −b_ij है, जो विकल्प (B) है।
If x + 1/x = 1, then the value of x²⁰⁰⁰ + 1/x²⁰⁰⁰ isयदि x + 1/x = 1, तो x²⁰⁰⁰ + 1/x²⁰⁰⁰ का मान है
A00
B11
C22
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
x + 1/x = 1 gives x² − x + 1 = 0, so x³ = −1 and x⁶ = 1. Since 2000 = 6·333 + 2, x²⁰⁰⁰ = x², so the value is x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = −1. This is not among (A)–(C), so the answer is (E).x + 1/x = 1 से x² − x + 1 = 0 मिलता है, इसलिए x³ = −1 और x⁶ = 1। चूँकि 2000 = 6·333 + 2, x²⁰⁰⁰ = x², अतः मान x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = −1 है। यह (A)–(C) में नहीं है, इसलिए उत्तर (E) है।
The equation of the circle described on the line joining the points (−1, −2) and (1, 3) as diameter isबिन्दुओं (−1, −2) एवं (1, 3) को मिलाने वाली रेखा को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण है
Ax² + y² − y − 7 = 0x² + y² − y − 7 = 0
Bx² + y² = 7x² + y² = 7
Cx² + y² − y − 6 = 0x² + y² − y − 6 = 0
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)x² + y² − y − 7 = 0x² + y² − y − 7 = 0
Explanation
The diameter form is (x + 1)(x − 1) + (y + 2)(y − 3) = 0, i.e. x² − 1 + y² − y − 6 = 0, which is x² + y² − y − 7 = 0.व्यास रूप का समीकरण (x + 1)(x − 1) + (y + 2)(y − 3) = 0 है, अर्थात् x² − 1 + y² − y − 6 = 0, जो x² + y² − y − 7 = 0 है।
If z₁ = 2 − i and z₂ = 1 + i, then the value of |(z₁ + z₂ + 1)/(z₁ − z₂ + i)|² isयदि z₁ = 2 − i और z₂ = 1 + i, तो |(z₁ + z₂ + 1)/(z₁ − z₂ + i)|² का मान है
A88
B1212
C1616
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)88
Explanation
z₁ + z₂ + 1 = 4 and z₁ − z₂ + i = 1 − 2i + i = 1 − i. So the modulus squared is 16/|1 − i|² = 16/2 = 8.z₁ + z₂ + 1 = 4 और z₁ − z₂ + i = 1 − 2i + i = 1 − i है। अतः मापांक का वर्ग 16/|1 − i|² = 16/2 = 8 है।
Which function is not discontinuous at x = 0?कौन-सा फलन, x = 0 पर असंतत नहीं है?
Asin(1/x)sin(1/x)
Btan⁻¹(1/x)tan⁻¹(1/x)
Ctan xtan x
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)tan xtan x
Explanation
sin(1/x) and tan⁻¹(1/x) are undefined at x = 0 and have no limit there (tan⁻¹(1/x) jumps from −π/2 to π/2), whereas tan x is continuous at x = 0 (tan 0 = 0).sin(1/x) और tan⁻¹(1/x) x = 0 पर परिभाषित नहीं हैं और वहाँ इनकी कोई सीमा नहीं है (tan⁻¹(1/x) −π/2 से π/2 पर छलांग लगाता है), जबकि tan x, x = 0 पर संतत है (tan 0 = 0)।
(4x + 3)/(2x − 5) − 6 < 0 gives (33 − 8x)/(2x − 5) < 0, i.e. (8x − 33)/(2x − 5) > 0. This holds for x < 5/2 or x > 33/8, both endpoints excluded.(4x + 3)/(2x − 5) − 6 < 0 से (33 − 8x)/(2x − 5) < 0 मिलता है, अर्थात् (8x − 33)/(2x − 5) > 0। यह x < 5/2 या x > 33/8 के लिए सत्य है, दोनों अन्त बिन्दु शामिल नहीं हैं।
A line lying in the yz-plane is inclined at an angle α with z-axis. Its direction cosines areyz-समतल में स्थित कोई रेखा z-अक्ष के साथ α कोण पर झुकी हुई है। इसकी दिक्-कोज्यायें हैं
A0, sin α, cos α0, sin α, cos α
B0, cos α, sin α0, cos α, sin α
Csin α, cos α, 0sin α, cos α, 0
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)0, sin α, cos α0, sin α, cos α
Explanation
A line in the yz-plane makes 90° with the x-axis (l = 0). It makes α with the z-axis (n = cos α) and therefore 90° − α with the y-axis (m = sin α).yz-समतल की रेखा x-अक्ष से 90° बनाती है (l = 0)। यह z-अक्ष से α बनाती है (n = cos α) और इसलिए y-अक्ष से 90° − α बनाती है (m = sin α)।
If (2n)!/(3!(2n − 3)!) and n!/(2!(n − 2)!) are in the ratio 44 : 3, then n isयदि (2n)!/(3!(2n − 3)!) और n!/(2!(n − 2)!) का अनुपात 44 : 3 है, तो n है
A44
B66
C33
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)66
Explanation
The first is 2n(2n − 1)(2n − 2)/6 and the second is n(n − 1)/2. Their ratio simplifies to 4(2n − 1)/3 = 44/3, so 2n − 1 = 11 and n = 6.पहला 2n(2n − 1)(2n − 2)/6 है और दूसरा n(n − 1)/2। इनका अनुपात सरल करने पर 4(2n − 1)/3 = 44/3 मिलता है, अतः 2n − 1 = 11 और n = 6।
Writing Lagrange's mean value theorem as f(b) − f(a) = (b − a) f′(c), a < c < b, the value of c, if f(x) = x(x − 1), a = 0, b = 1/2, isलैग्रान्ज के माध्यमान प्रमेय को f(b) − f(a) = (b − a) f′(c), a < c < b लिखने पर c का मान, यदि f(x) = x(x − 1), a = 0, b = 1/2 है, है
A1/41/4
B1/31/3
C1/51/5
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)1/41/4
Explanation
f(1/2) − f(0) = (1/2)(−1/2) = −1/4 and f′(c) = 2c − 1. So (1/2)(2c − 1) = −1/4, which gives 2c − 1 = −1/2 and c = 1/4.f(1/2) − f(0) = (1/2)(−1/2) = −1/4 और f′(c) = 2c − 1। अतः (1/2)(2c − 1) = −1/4, जिससे 2c − 1 = −1/2 और c = 1/4।
If ⁿPᵣ = ⁿPᵣ₊₁ and ⁿCᵣ = ⁿCᵣ₋₁, then the values of n and r are respectivelyयदि ⁿPᵣ = ⁿPᵣ₊₁ और ⁿCᵣ = ⁿCᵣ₋₁, तो n और r के मान हैं, क्रमशः
A3 and 23 and 2
B4 and 34 and 3
C1 and 21 and 2
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)3 and 23 and 2
Explanation
ⁿPᵣ₊₁ = ⁿPᵣ·(n − r), so n − r = 1. ⁿCᵣ = ⁿCᵣ₋₁ means r + (r − 1) = n, so n = 2r − 1. Solving gives r = 2 and n = 3.ⁿPᵣ₊₁ = ⁿPᵣ·(n − r), इसलिए n − r = 1। ⁿCᵣ = ⁿCᵣ₋₁ का अर्थ है r + (r − 1) = n, अतः n = 2r − 1। हल करने पर r = 2 और n = 3 मिलता है।
The radius of an air bubble is increasing at the rate of 1/2 cm/second. At what rate is the volume of the bubble increasing when its radius is 1 cm?हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या 1/2 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है, जब उसकी त्रिज्या 1 सेमी है?
Aπ cm³/secondπ सेमी³/सेकण्ड
B2π cm³/second2π सेमी³/सेकण्ड
C3π cm³/second3π सेमी³/सेकण्ड
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)2π cm³/second2π सेमी³/सेकण्ड
Explanation
V = (4/3)πr³, so dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(1)²(1/2) = 2π cm³/s.V = (4/3)πr³, इसलिए dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(1)²(1/2) = 2π सेमी³/सेकण्ड।
From 6 boys and 4 girls, 5 students are to be selected for admission to a course. In how many ways can this be done if there must be exactly 2 girls?एक पाठ्यक्रम में प्रवेश पाने के लिए 6 लड़कों और 4 लड़कियों में से 5 विद्यार्थियों का चयन किया जाना है। यह कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि ठीक 2 लड़कियाँ ही हों?
A100100
B110110
C115115
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
Choose 2 of the 4 girls and 3 of the 6 boys: ⁴C₂ × ⁶C₃ = 6 × 20 = 120. This is not among (A)–(C), so the answer is (E).4 लड़कियों में से 2 और 6 लड़कों में से 3 चुनें: ⁴C₂ × ⁶C₃ = 6 × 20 = 120। यह (A)–(C) में नहीं है, इसलिए उत्तर (E) है।
Find the points on the curve x²/9 + y²/16 = 1, the tangents at which are parallel to x-axis.वक्र x²/9 + y²/16 = 1 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जिन पर स्पर्श-रेखाएँ x-अक्ष के समानान्तर हैं।
A(0, ±4)(0, ±4)
B(±3, 0)(±3, 0)
C(3, ±4)(3, ±4)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)(0, ±4)(0, ±4)
Explanation
Differentiating, dy/dx = −16x/(9y). The tangent is horizontal when x = 0, which gives y² = 16, i.e. the points (0, ±4).अवकलन करने पर dy/dx = −16x/(9y)। स्पर्श-रेखा तब क्षैतिज होती है जब x = 0, जिससे y² = 16, अर्थात् बिन्दु (0, ±4)।
If C₀, C₁, C₂, ..., Cₙ are the coefficients in the expansion of (1 + x)ⁿ, then C₁ + 2C₂ + 3C₃ + ... + nCₙ is equal to(1 + x)ⁿ के विस्तार में यदि C₀, C₁, C₂, ..., Cₙ गुणांक हों, तो C₁ + 2C₂ + 3C₃ + ... + nCₙ बराबर है
An·2ⁿ⁻¹n·2ⁿ⁻¹
B2ⁿ⁻¹2ⁿ⁻¹
Cn·2ⁿn·2ⁿ
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)n·2ⁿ⁻¹n·2ⁿ⁻¹
Explanation
Differentiate (1 + x)ⁿ = ΣCᵣxʳ to get n(1 + x)ⁿ⁻¹ = ΣrCᵣxʳ⁻¹, then put x = 1: the sum is n·2ⁿ⁻¹.(1 + x)ⁿ = ΣCᵣxʳ का अवकलन करने पर n(1 + x)ⁿ⁻¹ = ΣrCᵣxʳ⁻¹ मिलता है, फिर x = 1 रखने पर योग n·2ⁿ⁻¹ है।
The radius of the right circular cylinder of maximum curved surface inscribed in a right circular cone of radius r isr त्रिज्या के एक लम्बवृत्तीय शंकु के अन्तर्गत बने महत्तम वक्र पृष्ठ वाले लम्बवृत्तीय बेलन की त्रिज्या है
A2r/32r/3
B2r/52r/5
Cr/2r/2
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)r/2r/2
Explanation
For a cone of height h, a cylinder of radius x has height h(1 − x/r). Its curved surface 2πx·h(1 − x/r) is a quadratic in x that is maximum at x = r/2.h ऊँचाई के शंकु में x त्रिज्या वाले बेलन की ऊँचाई h(1 − x/r) होती है। इसका वक्र पृष्ठ 2πx·h(1 − x/r) x में एक द्विघात है, जो x = r/2 पर अधिकतम होता है।
For what value of n is (aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹)/(aⁿ + bⁿ) the geometrical mean of a and b?n के किस मान के लिए (aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹)/(aⁿ + bⁿ), a और b का गुणोत्तर माध्य है?
A11
B22
C1/21/2
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
Setting (aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹)/(aⁿ + bⁿ) = √(ab) and rearranging gives aⁿ⁺¹ᐟ²(√a − √b) = bⁿ⁺¹ᐟ²(√a − √b), so (a/b)ⁿ⁺¹ᐟ² = 1 and n = −1/2. This is not among (A)–(C), so the answer is (E).(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹)/(aⁿ + bⁿ) = √(ab) रखकर सरल करने पर aⁿ⁺¹ᐟ²(√a − √b) = bⁿ⁺¹ᐟ²(√a − √b) मिलता है, अतः (a/b)ⁿ⁺¹ᐟ² = 1 और n = −1/2। यह (A)–(C) में नहीं है, इसलिए उत्तर (E) है।
The sum of three numbers in AP is −3 and their product is 8. The numbers areसमान्तर श्रेढ़ी में तीन संख्याओं का योग −3 है और उनका गुणनफल 8 है। संख्याएँ हैं
A−4, −1, 2−4, −1, 2
B2, −1, −42, −1, −4
C1, −8, −11, −8, −1
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (D)More than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
Explanation
Take the numbers as a − d, a, a + d. Then 3a = −3 gives a = −1, and −(1 − d²) = 8 gives d = ±3. The numbers are −4, −1, 2 (or 2, −1, −4), so both (A) and (B) are correct.संख्याओं को a − d, a, a + d मानें। तब 3a = −3 से a = −1 और −(1 − d²) = 8 से d = ±3। संख्याएँ −4, −1, 2 (या 2, −1, −4) हैं, इसलिए (A) और (B) दोनों सही हैं।
An appropriate substitution for the integral ∫ (1 + x^(1/2))/(1 + x^(1/3)) dx isसमाकल ∫ (1 + x^(1/2))/(1 + x^(1/3)) dx के लिए उपयुक्त प्रतिस्थापन है
Ax = t²x = t²
Bx = t³x = t³
Cx = t⁶x = t⁶
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)x = t⁶x = t⁶
Explanation
The LCM of the root indices 2 and 3 is 6, so x = t⁶ turns x^(1/2) and x^(1/3) into t³ and t², making the integrand rational.मूल-घातांकों 2 और 3 का ल.स. 6 है, इसलिए x = t⁶ रखने पर x^(1/2) और x^(1/3) क्रमशः t³ और t² बन जाते हैं और समाकल्य परिमेय हो जाता है।
The radius of a circular disc in which an arc of 12π cm subtends an angle of 36° at the centre isएक वृत्ताकार डिस्क की त्रिज्या, जिसके केन्द्र में 12π सेमी का एक चाप 36° का कोण बनाता है, है
A30 cm30 सेमी
B45 cm45 सेमी
C60 cm60 सेमी
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)60 cm60 सेमी
Explanation
36° = π/5 radians. From arc length = rθ, r = 12π ÷ (π/5) = 60 cm.36° = π/5 रेडियन। चाप की लम्बाई = rθ से r = 12π ÷ (π/5) = 60 सेमी।
Write the integrand as xⁿ⁻¹/(xⁿ(xⁿ + 1)) and put t = xⁿ (dt = nxⁿ⁻¹dx). The integral becomes (1/n)∫dt/(t(t + 1)) = (1/n) log|t/(t + 1)| + c = (1/n) log|xⁿ/(xⁿ + 1)| + c.समाकल्य को xⁿ⁻¹/(xⁿ(xⁿ + 1)) लिखें और t = xⁿ रखें (dt = nxⁿ⁻¹dx)। तब समाकल (1/n)∫dt/(t(t + 1)) = (1/n) log|t/(t + 1)| + c = (1/n) log|xⁿ/(xⁿ + 1)| + c हो जाता है।
The value of the determinant
|1 x y|
|0 cos x sin y|
|0 sin x cos y|
isसारणिक
|1 x y|
|0 cos x sin y|
|0 sin x cos y|
का मान है
Asin(x + y)sin(x + y)
Bsin(x − y)sin(x − y)
Ccos(x + y)cos(x + y)
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)cos(x + y)cos(x + y)
Explanation
Expanding along the first column gives 1·(cos x cos y − sin x sin y) = cos(x + y).पहले स्तम्भ के अनुदिश प्रसरण करने पर 1·(cos x cos y − sin x sin y) = cos(x + y) मिलता है।
Find the differential equation representing the family of curves y = a sin(x + b), where a and b are arbitrary constants.वक्रों के कुल y = a sin(x + b), जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं, को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ad²y/dx² + dy/dx + y = 0d²y/dx² + dy/dx + y = 0
Bd²y/dx² + x = 0d²y/dx² + x = 0
Cd²y/dx² + y = 0d²y/dx² + y = 0
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)d²y/dx² + y = 0d²y/dx² + y = 0
Explanation
y′ = a cos(x + b) and y″ = −a sin(x + b) = −y. Eliminating a and b gives d²y/dx² + y = 0.y′ = a cos(x + b) और y″ = −a sin(x + b) = −y। a और b का विलोपन करने पर d²y/dx² + y = 0 मिलता है।
cos(π sin θ) = sin(π/2 + π sin θ), so π cos θ = π/2 + π sin θ, i.e. cos θ − sin θ = 1/2. Squaring gives 1 − sin 2θ = 1/4, so sin 2θ = 3/4 and θ = (1/2) sin⁻¹(3/4).cos(π sin θ) = sin(π/2 + π sin θ), इसलिए π cos θ = π/2 + π sin θ, अर्थात् cos θ − sin θ = 1/2। वर्ग करने पर 1 − sin 2θ = 1/4, अतः sin 2θ = 3/4 और θ = (1/2) sin⁻¹(3/4)।
The differential equation dy/dx + Py = Qyⁿ, where P and Q are functions of x alone, can be reduced to linear form by dividing the equation by yⁿ and puttingअवकल समीकरण dy/dx + Py = Qyⁿ, जहाँ P और Q, केवल x के फलन हैं, को yⁿ से भाग देकर और निम्नलिखित में से किस विकल्प से रैखिकतः समानीत किया जा सकता है?
A1/yⁿ⁻¹ = v1/yⁿ⁻¹ = v
B1/yⁿ = v1/yⁿ = v
C1/yⁿ⁺¹ = v1/yⁿ⁺¹ = v
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (A)1/yⁿ⁻¹ = v1/yⁿ⁻¹ = v
Explanation
Dividing by yⁿ gives y⁻ⁿ dy/dx + P y¹⁻ⁿ = Q. With v = y¹⁻ⁿ = 1/yⁿ⁻¹, dv/dx = (1 − n)y⁻ⁿ dy/dx, so the equation becomes linear in v (this is Bernoulli's equation).yⁿ से भाग देने पर y⁻ⁿ dy/dx + P y¹⁻ⁿ = Q मिलता है। v = y¹⁻ⁿ = 1/yⁿ⁻¹ रखने पर dv/dx = (1 − n)y⁻ⁿ dy/dx, अतः समीकरण v में रैखिक हो जाता है (यह बरनौली समीकरण है)।
If the points (at₁², 2at₁) and (at₂², 2at₂) are the vertices of focal chord of parabola y² = 4ax, thenयदि बिन्दु (at₁², 2at₁) तथा (at₂², 2at₂), परवलय y² = 4ax की नाभीय जीवा के सिरे हों, तो
At₁t₂ = 1t₁t₂ = 1
Bt₁ = t₂t₁ = t₂
Ct₁ + t₂ = 0t₁ + t₂ = 0
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (E)None of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
Explanation
For the chord joining these points to pass through the focus (a, 0), the slopes from the focus must be equal, which gives t₁t₂ = −1. None of (A)–(C) states this, so the answer is (E).इन बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा नाभि (a, 0) से गुजरे, इसके लिए नाभि से ढलान बराबर होने चाहिए, जिससे t₁t₂ = −1 मिलता है। (A)–(C) में से कोई भी यह नहीं कहता, इसलिए उत्तर (E) है।
The general solution of the differential equation sec²y dy/dx + 2x tan y = x³ isअवकल समीकरण sec²y dy/dx + 2x tan y = x³ का व्यापक हल है
Atan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² + 1)tan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² + 1)
Btan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² − 1)tan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² − 1)
Ctan y = ce^(x²) + (1/2)(x² − 1)tan y = ce^(x²) + (1/2)(x² − 1)
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ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)tan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² − 1)tan y = ce^(−x²) + (1/2)(x² − 1)
Explanation
Put v = tan y, so dv/dx + 2xv = x³. The integrating factor is e^(x²), giving v·e^(x²) = ∫x³e^(x²)dx = (1/2)e^(x²)(x² − 1) + c. Hence tan y = (1/2)(x² − 1) + ce^(−x²).v = tan y रखें, तब dv/dx + 2xv = x³। समाकलन गुणक e^(x²) है, जिससे v·e^(x²) = ∫x³e^(x²)dx = (1/2)e^(x²)(x² − 1) + c। अतः tan y = (1/2)(x² − 1) + ce^(−x²)।
If e₁ and e₂ are eccentricities of the hyperbolas x²/a² − y²/b² = 1 and x²/a² − y²/b² = −1 respectively, then 1/e₁² + 1/e₂² isयदि e₁ और e₂ क्रमशः अतिपरवलय x²/a² − y²/b² = 1 और x²/a² − y²/b² = −1 की उत्केन्द्रताएँ हों, तो 1/e₁² + 1/e₂² है
A11
B−1−1
C22
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The function f(x) = |cos x| isफलन f(x) = |cos x| है
Acontinuous and differentiable on each point of xx के प्रत्येक मान पर संतत तथा अवकलनीय
Bcontinuous on each point of x, but not differentiable on x = (2n + 1)π/2, n ∈ Zx के प्रत्येक मान के लिए संतत, परन्तु x = (2n + 1)π/2, n ∈ Z पर अवकलनीय नहीं
Cneither continuous nor differentiable on x = (2n + 1)π/2, n ∈ Zx = (2n + 1)π/2, n ∈ Z पर न तो संतत न ही अवकलनीय
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)continuous on each point of x, but not differentiable on x = (2n + 1)π/2, n ∈ Zx के प्रत्येक मान के लिए संतत, परन्तु x = (2n + 1)π/2, n ∈ Z पर अवकलनीय नहीं
Explanation
|cos x| is the composition of continuous functions, so it is continuous everywhere. Where cos x = 0, i.e. x = (2n + 1)π/2, the graph has a corner (left and right derivatives are ∓1), so it is not differentiable there.|cos x| संतत फलनों का संयोजन है, इसलिए यह हर जगह संतत है। जहाँ cos x = 0 है, अर्थात् x = (2n + 1)π/2 पर, आलेख में कोना बनता है (बायाँ और दायाँ अवकलज ∓1 हैं), इसलिए वहाँ यह अवकलनीय नहीं है।
The condition, under which the roots of the cubic equation x³ − px² + qx − r = 0 are in a geometrical progression, isवह शर्त, जिसके अन्तर्गत त्रिघाती समीकरण x³ − px² + qx − r = 0 के मूल गुणोत्तर श्रेढ़ी में हों, है
Ap + q − r = 0p + q − r = 0
Bq³r − p³ = 0q³r − p³ = 0
Cp³r − q³ = 0p³r − q³ = 0
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ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (C)p³r − q³ = 0p³r − q³ = 0
Explanation
Let the roots be a/k, a, ak. Their product gives a³ = r. Also p = a(1/k + 1 + k) and q = a²(1/k + 1 + k), so a = q/p. Then r = q³/p³, i.e. p³r − q³ = 0.मान लें मूल a/k, a, ak हैं। इनके गुणनफल से a³ = r। साथ ही p = a(1/k + 1 + k) और q = a²(1/k + 1 + k), इसलिए a = q/p। तब r = q³/p³, अर्थात् p³r − q³ = 0।
If the function f(x) = √(1 − √(1 − x²)), then f(x) isयदि फलन f(x) = √(1 − √(1 − x²)), तो f(x) है
Acontinuous in [−1, 1] and differentiable in (−1, 1)[−1, 1] में संतत तथा (−1, 1) में अवकलनीय
Bcontinuous in [−1, 1] and differentiable in (−1, 0) ∪ (0, 1)[−1, 1] में संतत तथा (−1, 0) ∪ (0, 1) में अवकलनीय
Ccontinuous and differentiable in [−1, 1][−1, 1] में संतत एवं अवकलनीय
DMore than one of the aboveउपर्युक्त में से एक से अधिक
ENone of the aboveउपर्युक्त में से कोई नहीं
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Correct answer: (B)continuous in [−1, 1] and differentiable in (−1, 0) ∪ (0, 1)[−1, 1] में संतत तथा (−1, 0) ∪ (0, 1) में अवकलनीय
Explanation
f is defined and continuous on [−1, 1]. Near x = 0, 1 − √(1 − x²) ≈ x²/2, so f(x) ≈ |x|/√2, which has a corner at 0. Away from 0 inside (−1, 1) it is differentiable, so f is differentiable on (−1, 0) ∪ (0, 1).f, [−1, 1] पर परिभाषित और संतत है। x = 0 के निकट 1 − √(1 − x²) ≈ x²/2, अतः f(x) ≈ |x|/√2, जिसका 0 पर कोना है। (−1, 1) में 0 को छोड़कर यह अवकलनीय है, इसलिए f, (−1, 0) ∪ (0, 1) में अवकलनीय है।
How to use these BPSC TRE Mathematics questions
Every question here was asked in a real BPSC TRE paper; the paper and shift are shown on the card, and the number opens the question on its own page. Try each one before tapping Show answer, then attempt the full BPSC TRE papers as timed tests to check your speed under exam conditions.